Ръководство за решаване на задачи по ЛААГ

ÐÚÊÎÂÎÄÑÒÂÎ
çà ðåøàâàíå íà çàäà÷è ïî
Ëèíåéíà àëãåáðà
è
Àíàëèòè÷íà ãåîìåòðèÿ

2

Ñúäúðæàíèå
0 Óâîäíà ãëàâà 7
0.1 Îñíîâíè ïîíÿòèÿ â êîìáèíàòîðèêàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.1.1 Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè ñ ìíîæåñòâà. Èçîáðàæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.1.2 Ïåðìóòàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.1.3 Âàðèàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.1.4 Êîìáèíàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.1.5 Íþòîíîâ áèíîì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.2 Êîìëåêñíè ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.2.1 Îñíîâíè ïîíÿòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.2.2 Àëãåáðè÷åí âèä íà êîìïëåêñíèòå ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.2.3 Òðèãîíîìåòðè÷åí âèä íà êîìïëåêñíèòå ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.3 Ïîëèíîìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.3.1 Îñíîâíè ïîíÿòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.3.2 Äåéñòâèÿ ñ ïîëèíîìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.3.3 Íóëè íà ïîëèíîìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
0.3.4 Ïðàâèëî íà Õîðíåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1 Ìàòðèöè è äåòåðìèíàíòè 29
1.1 Ìàòðèöè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1.1 Ìàòðèöè - îñíîâíè ïîíÿòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1.2 Äåéñòâèÿ ñ ìàòðèöè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2 Äåòåðìèíàíòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.1 Äåòåðìèíàíòè - îñíîâíè ïîíÿòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.2 Ñâîéñòâà íà äåòåðìèíàíòèòå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2.3 Ïîääåòåðìèíàíòè è àäþíãèðàíè êîëè÷åñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2.4 Óìíîæåíèå íà äåòåðìèíàíòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3 Îáðàòíà ìàòðèöà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2 Âåêòîðè è êîîðäèíàòè 63
2.1 Íàñî÷åíà îòñå÷êà è îðèåíòèðàí úãúë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1.1 Íàñî÷åíà îòñå÷êà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1.2 Îñ è àëãåáðè÷íà ìÿðêà íà íàñî÷åíà îòñå÷êà âúðõó îñ . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1.3 Îðèåíòèðàí úãúë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2 Àôèííè îïåðàöèè ñ âåêòîðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.1 Ðàâåíñòâî íà íàñî÷åíè îòñå÷êè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.2 Ñâîáîäåí âåêòîð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.3 Ñúáèðàíå íà âåêòîðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2.4 Èçâàæäàíå íà âåêòîðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2.5 Óìíîæåíèå íà âåêòîð ñ ðåàëíî ÷èñëî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2.6 Óñëîâèÿ çà êîëèíåàðíîñò è êîìïëàíàðíîñò íà âåêòîðè . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3 Êîîðäèíàòè íà âåêòîðè è òî÷êè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3.1 Êîîðäèíàòè íà âåêòîðè è òî÷êè âúðõó ïðàâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3.2 Êîîðäèíàòè íà âåêòîðè è òî÷êè â ðàâíèíàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3

4
2.3.3 Êîîðäèíàòè íà âåêòîðè è òî÷êè â ïðîñòðàíñòâîòî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.4 Êîîðäèíàòè íà ëèíåéíè êîìáèíàöèè íà âåêòîðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3.5 Àíàëèòè÷íè êðèòåðèè çà êîëèíåàðíîñò íà äâà âåêòîðà è òðè òî÷êè . . . . . . . . . 75
2.3.6 Àíàëèòè÷íè êðèòåðèè çà êîìïëàíàðíîñò íà òðè âåêòîðà è íà ÷åòèðè òî÷êè . . . . 76
2.4 Ìåòðè÷íè îïåðàöèè ñ âåêòîðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4.1 Ñêàëàðíî ïðîèçâåäåíèå íà äâà âåêòîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4.2 Äúëæèíà íà âåêòîð è ðàçñòîÿíèå ìåæäó äâå òî÷êè . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4.3 Äèðåêòîðíè êîñèíóñè íà ïîñîêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4.4 Âåêòîðíî ïðîèçâåäåíèå íà äâà âåêòîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4.5 Ôîðìóëè çà úãëèòå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4.6 Äâîéíî âåêòîðíî ïðîèçâåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4.7 Ñìåñåíî ïðîèçâåäåíèå íà òðè âåêòîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4.8 Ëèöå íà òðèúãúëíèê è îáåì íà òåòðàåäúð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.4.9 ×åòâîðíè ïðîèçâåäåíèÿ íà âåêòîðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5 Ñìÿíà íà êîîðäèíàòíà ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5.1 Ñìÿíà íà êîîðäèíàòíà ñèñòåìà â ðàâíèíàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5.2 Ñìÿíà íà êîîðäèíàòíà ñèñòåìà â ïðîñòðàíñòâîòî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.5.3 Ïîëÿðíà êîîðäèíàòíà ñèñòåìà â ðàâíèíàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.5.4 Ïîëÿðíà è öèëèíäðè÷íà êîîðäèíàòíà ñèñòåìà â ïðîñòðàíñòâîòî . . . . . . . . . . . 98
3 Ñèñòåìè ëèíåéíè óðàâíåíèÿ 105
3.1 Ìåòîä íà Ãàóñ çà ðåøàâàíå íà ñèñòåìè ëèíåéíè óðàâíåíèÿ. Ôîðìóëè íà Êðàìåð . . . . . 105
3.1.1 Ìåòîä íà Ãàóñ çà ðåøàâàíå íà ñèñòåìè ëèíåéíè óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . 105
3.1.2 Ôîðìóëè íà Êðàìåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.1.3 Ìàòðè÷íà ôîðìà íà ñèñòåìè ëèíåéíè óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2n-ìåðíî âåêòîðíî ïðîñòðàíñòâî. Ëèíåéíà çàâèñèìîñò íà âåêòîðè . . . . . . . . . . . . . . 114
3.2.1n-ìåðíî âåêòîðíî ïðîñòðàíñòâî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.2.2 Ëèíåéíà çàâèñèìîñò íà âåêòîðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3 Ðàíã íà ñèñòåìà îò âåêòîðè. Ðàíã íà ìàòðèöà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3.1 Ðàíã íà ñèñòåìà îò âåêòîðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3.2 Ðàíã íà ìàòðèöà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.4 Ñúâìåñòèìîñò íà ñèñòåìà ëèíåéíè óðàâíåíèÿ. Òåîðåìà íà Ðóøå-Êðîíåêåð-Êàïåëè . . . . 119
3.4.1 Òåîðåìà íà Ðóøå-Êðîíåêåð-Êàïåëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4.2 Ñèñòåìà ëèíåéíè õîìîãåííè óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4 Óðàâíåíèÿ íà ïðàâà è ðàâíèíà 127
4.1 Óðàâíåíèÿ íà ïðàâà â ðàâíèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1.1 Ïàðàìåòðè÷íè óðàâíåíèÿ íà ïðàâà â ðàâíèíàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1.2 Îáùî óðàâíåíèå íà ïðàâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1.3 Óðàâíåíèå íà ïðàâà ïðåç åäíà òî÷êà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1.4 Óðàâíåíèå íà ïðàâà ïðåç äâå òî÷êè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1.5 Îòðåçîâî óðàâíåíèå íà ïðàâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.6 Íîðìàëíè óðàâíåíèÿ íà ïðàâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.7 Ðàçñòîÿíèå îò òî÷êà äî ïðàâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.8 Óðàâíåíèÿ íà úãëîïîëîâÿùèòå íà äâå ïðåñåêàòåëíè ïðàâè . . . . . . . . . . . . . . 130
4.1.9 Âçàèìíî ïîëîæåíèå íà äâå ïðàâè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.1.10 Ñíîï ïðàâè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.1.11 Úãúë ìåæäó äâå ïðàâè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2 Óðàâíåíèÿ íà ðàâíèíà è ïðàâà â ïðîñòðàíñòâîòî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.1 Ïàðàìåòðè÷íè óðàâíåíèÿ íà ðàâíèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.2 Îáùî óðàâíåíèå íà ðàâíèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2.3 Óðàâíåíèå íà ðàâíèíà ïðåç òðè íåêîëèíåàðíè òî÷êè . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2.4 Îòðåçîâî óðàâíåíèå íà ðàâíèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2.5 Íîðìàëíè óðàâíåíèÿ íà ðàâíèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2.6 Ðàçñòîÿíèå îò òî÷êà äî ðàâíèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5
4.2.7 Âçàèìíî ïîëîæåíèå íà äâå ðàâíèíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2.8 Ñíîï ðàâíèíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2.9 Úãúë ìåæäó äâå ðàâíèíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2.10 Óðàâíåíèÿ íà úãëîïîëîâÿùèòå ðàâíèíè íà äâå ïðåñåêàòåëíè ðàâíèíè . . . . . . . 144
4.2.11 Ïàðàìåòðè÷íè óðàâíåíèÿ íà ïðàâà â ïðîñòðàíñòâîòî . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.12 Ïðåäñòàâÿíå íà ïðàâà ÷ðåç óðàâíåíèÿ íà äâå ðàâíèíè ïðåç íåÿ . . . . . . . . . . . 144
5 Àíàëèòè÷íî ïðåäñòàâÿíå íà ëèíèè è ïîâúðõíèíè 159
5.1 Îêðúæíîñò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1.1 Îáùî ïîíÿòèå çà ëèíèÿ â ðàâíèíàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1.2 Óðàâíåíèÿ íà îêðúæíîñò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1.3 Èíâåðñèÿ îòíîñíî îêðúæíîñò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.2 Êîíè÷íè ñå÷åíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.2.1 Êîíè÷íè ñå÷åíèÿ - îáùà õàðàêòåðèñòèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.2.2 Åëèïñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.2.3 Õèïåðáîëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.2.4 Ïàðàáîëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3 Ñôåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3.1 Îáùî ïîíÿòèå çà ïîâúðõíèíà è ëèíèÿ â ïðîñòðàíñòâîòî . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3.2 Óðàâíåíèÿ íà ñôåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.4 Öèëèíäðè÷íè, êîíè÷íè è ðîòàöèîííè ïîâúðõíèíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.4.1 Öèëèíäðè÷íà ïîâúðõíèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.4.2 Êîíè÷íà ïîâúðõíèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.4.3 Ðîòàöèîííà ïîâúðõíèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.5 Ïðàâîëèíåéíè îáðàçóâàùè íà ïðîñòèÿ õèïåðáîëîèä è íà õèïåðáîëè÷íèÿ ïàðàáîëîèä . . 186
5.5.1 Ïðîñò õèïåðáîëîèä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.5.2 Õèïåðáîëè÷åí ïàðàáîëîèä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6 Ëèíåéíè ïðîñòðàíñòâà è ëèíåéíè ïðåîáðàçóâàíèÿ 189
6.1 Ëèíåéíè ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.1.1 Ïîëå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.1.2 Ëèíåéíî ïðîñòðàíñòâî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.1.3 Ðàçìåðíîñò è áàçèñ íà ëèíåéíî ïðîñòðàíñòâî . . . . . . .