Задачи от пресмятане на пълна вероятност и формула на Бейс

§17. Задачи от пресмятане на пълна вероятност и формула на Бейс

Съдържание
1. Формула за пълната вероятност
2. Теорема за Бейс
3. Пресмятане на вероятности по схемата на Бернули
4. Намиране най-вероятен брой сбъдвания на дадено събитие при многократно повторение на
опитите

ТЕОРИЯ
Формула за пълната вероятност. Нека
1
H,
2
H, ...,
n
H е система от събития в пространст-
вото на елементарните изходи
Ω, които са две по две несъвместими и покриват цялото
Ω,
което означава, че
∅=
jiHH при
ji≠, nji≤≤,1, и освен това Ω=+++
nHHHL
21 .
В този случай казваме, че събитията
1
H,
2
H, ...,
nH, които се наричат още хипотези, обра-
зуват пълна система от несъвместими събития .
Нека Ω⊆A е някакво събитие, което се сбъдва само с някоя от хипотезите. Тогава
() ( )( ) ( ) () ( )()
nnHPHAPHPHAPHPHAPAP |||
2211 +++= L ,
което се нарича
формула за пълната вероятност .
Формула на Бейс се нарича формулата

()
( )()
()()()() ()()
nn
kk
kHPHAPHPHAPHPHAP
HPHAP
AHP
|||
|
|
2211 +++
=
L
,
Вероятността ()nP
k за точно k появи на събитието A в серия от n на брой независими
опита е равна на
()
knk
k
qp
k
n
nP
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ,
nk ,,2,1,0K=.
В тази формула (формула на Бернули) ()APp= е вероятността събитието A да се сбъдне
при един опит, а () pAPq −==1.
З а най-вероятния брой успехи m в схемата на Бернули имаме
pnpmqnp +≤≤−


ЗАДАЧИ
Задача 1. Дадени са пет кутии, от които две сини, една червена и две зелени. Всяка от сините
кутии съдържа по 2 бели и 1 черна топка, в червената кутия има 10 черни топки, а във всяка
от зелените кутии има по 3 бели и една черна топка. Произволно е избрана една кутия и от
нея по случаен начин е извадена една топка. Каква е вероятността извадената топка да е бя-
ла?
Решение. Нека Н 1 е хипотезата “Топката е извадена от синя кутия”, Н 2 е хипотезата “Топката
е извадена от червена кутия”, а Н 3 е хипотезата “Топката е извадена от зелена кутия”. Нека А
е събитието “Извадена е бяла топка”. Тогава
() ( )( ) ( ) ( )()( )=++=
332211/././.HAPHPHAPHPHAPHPAP

30
17
4
3
.
5
2
0.
5
1
3
2
.
5
2
=++= .
Задача 2. Петнадесет изпитни билета съдържат по 2 въпроса, които не се повтарят. Студент
знае само 25 от всички въпроси. Каква е вероятността той да вземе изпита, ако за това е дос-
татъчно да отговори на двата въпроса от изтегления билет или на един въпрос от билета и на
един допълнителен въпрос от останалите въпроси.

2
Решение. Нека Н 0 е хипотезата “Студентът не знае нито един въпрос от билета”, Н 1 е хипоте-
зата “Студентът знае само един въпрос от билета”, а Н 2 е хипотезата “Студентът знае двата
въпроса от билета”. Нека А е събитието “Студентът е взел изпита” . Тогава.
() ( )( ) ( ) ( )()( )=++=
221100/././.HAPHPHAPHPHAPHPAP


203
190
1..
.
0.
2
30
2
25
1
28
1
24
2
30
1
5
1
25
2
30
2
5
=++=
C
C
C
C
C
CC
C
C
.
Задача 3. В първата от три кутии има 2 бели и четири черни топки, във втората има 3 бели и
3 черни, а в третата има 4 бели и 2 черни топки. Една топка е извадена случайно, но не е из-
вестно от коя кутия и се е оказала бяла. Да се определи вероятността топката да е извадена от
първата кутия.
Решение. Нека Н 1 е хипотезата “Топката е извадена от първата кутия”, Н 2 е хипотезата “Топ-
ката е извадена от втората кутия”, а Н 3 е хипотезата “Топката е извадена от третата кутия”.
Нека А е събитието “Извадена е бяла топка”. Тогава използваме теоремата на Бейс и нами-
раме
()
()( )
()( ) ()( ) ()( )
=
++
=
332211
11
1
/././.
/.
/
HAPHPHAPHPHAPHP
HAPHP
AHP


9
2
6
4
.
3
1
6
3
.
3
1
6
2
.
3
1
6
2
.
3
1
=
++
=

Задача 4. Известно е. че 96% от дадена продукция е качествена. Опростена система за конт-
рол признава за годна стандартна продукция с вероятност 0,98 и нестандартна продукция за
годна с вероятност 0,05. Да се определи вероятността на събитието В - “изделие преминало
качествения контрол е качествено”.
Решение. Нека Н 1 е хипотезата “Изделието е качествено”, Н 2 е хипотезата “Изделието не е
качествено”, а А е събитието “Изделието е минало опростения контрол”. Тогава
() ( )
()( )
()( ) ()( )
=
+
==
2211
11
1/./.
/.
/
HAPHPHAPHP
HAPHP
AHPBP
998,0
05,0.04,098,0.96,0
98,0.96,0
=
+
=
Задача 5. На всеки 6 изстрела един курсант улучва целта средно 5 пъти. Да се намери веро-
ятността при дванадесет изстрела той да улучи целта точно три пъти.
Решение. Прилагаме формулата на Бернули
()
knkk
nk
qpCnP
−
= ..
при
6
1
;
6
5
;3;12 ====
qpkn. Тогава
() 197.0
6
1
.
6
5
.12
93
3
123
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=CP
Задача 6. Стрелец стреля по цел 3 пъти. Вероятността, че той ще улучи целта поне един път
е 0,992. Да се намери вероятността за улучване на целта при един изстрел.
Решение. Нека А е събитието – "При един изстрел стрелецът улучва целта" и ()pAP=. То-
гава () qpAP =−=1 и
() () 8.02.02.0008.0992.01131992.0
333
0
=⇒=⇒==−=⇒−=−= pqqqP
Задача 7. Процентът на изделията от първо качество в едно предприятие е 31. Какъв е най-
вероятния брой изделия от първо качество в партида от 75 изделия?

3
Решение. Нека А е събитието – "Случайно избрано изделие от партидата е от първо качест-
во". Тогава () 69.01;31.0=−=== pqpAP . Прилагаме формулата pnpkqnp +≤≤− , при
75=n и получаваме 56.2356.22 ≤≤k . Следователно 23=k
Задача 8. Най-вероятния брой на попаденията при стрелба с оръдие по невидима цел е 10
при вероятност за попадение при един изстрел 0,8. Да се определи броят на изстрелите.
Решение. От формулата pnpkqnp +≤≤− , при 8.0=p ; 2.0=q и 10=k получаваме
75.12
8.0
2.10
102.0.8.0 =≤⇒≤− nn
и от другото неравенство
5.11
8.0
2.9
108.0.8.0 =≥⇒≥+ nn
Следователно броят на проведените изстрели е 12.
Задача 9. За поражение на цел при стрелба с оръдие е достатъчно едно попадение. Вероят-
ността за попадение при всеки изстрел е 0.15. Какъв ще бъде разходът на снаряди, ако веро-
ятността за поражение на целта трябва да бъде по-голяма от 0.94?
Решение. Нека А е събитието – "Целта е улучена". Тогава ()15.0=AP . Използваме формула-
та

()
()p
P
n
−
−
>
1lg
1lg

и получаваме

()
()
31.17
1625.0
8134.2
15.01lg
94.01lg
=
−
−
>
−
−
>n
Следователно 18=n.