Задачи от закони за големите числа

§18. Задачи от закони за големите числа

Съдържание
1. Теорема на Чебишев
2. Теорема на Бернули
3. Централна гранична теорема
4.Теорема на Моавър-Лаплас

ТЕОРИЯ
Неравенство на Чебишев. Нека X е случайна величина, []0>XD. Тогава за всяко 0>ε е
изпълнено неравенството
[]()
[]
2
ε
≤ε≥−
X
XXP
D
E
.
Закон за големите числа. Нека
1
X,
2
X, ...,
nX, ... са редица от две по две независими слу-
чайни величини с равномерно ограничени дисперсии, []CX
n
≤D , K,2,1=n . Тогава за всяко
0>ε е изпълнено

[] [] []
0lim
2111
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ε≥
+++
−
+++
∞→ n
XXX
n
XXX
P
nn
nEEELL
.
Теорема на Бернули. За броя на успехите ()pnBU
n
,∈ в схема с независими повторения на
опитите е изпълнено
0lim =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ε≥−
∞→
p
n
U
P
n
n
.
Централна гранична теорема. Нека {}
nX е редица от независими и еднакво разпределени
случайни величини с очаквания []μ=
nXE и дисперсии []
2
σ=
nXD . Тогава е изпълнено
()xx
n
nY
P
n
n
Φ=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
σ
μ−
∞→
lim
където
() ∫
∞−
−
=Φ
xt
dtex
2
2
2
1π

е функцията на нормално стандартно разпределение.
Теорема на Моавър-Лаплас. Нека ()pnBU
n
,∈ е броят на успехите в схемата на Бернули.
Тогава
()xx
npq
npU
P
n
n
Φ=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<
−
∞→
lim
където
() ∫
∞−
−
=Φ
xt
dtex
2
2
2
1π

функцията на нормално стандартно разпределение
За приблизително пресмятане на вероятностите ( )bUaP
n << , се използва формулата
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−
Φ−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−
Φ≈<<
npq
npa
npq
npb
bUaP
n

ЗАДАЧИ.
Задача 1. Случайната величина X е зададена чрез закона на разпределение.
X 2 4 6 8 10 12
P 0.1 0.3 0.25 0.15 0.15 0.05
Да се определи вероятността X да приеме значение по-малко от 7. Да се оцени тази вероят-
ност чрез лемата на Чебишев. Чрез неравенството на Чебишев да се изчисли вероятността
случайната величина да се отклони от математическото си очакване не повече от 3.
Решение.
65,025,03,01,0)6()4()2()7(
=++==+=+==< XPXPXPXP

2,605,0.1215,0.1015,0.825,0.63,0.41,0.2m
x
=+++++=
От лемата на Чебишев следва 886,0
7
2,6
7
m
7)P(X
x
==≤<
56 ,72,605,0.14415,0.10015,0.6425,0.363,0.161,0.4
22
=−+++++=σ
От неравенството на Чебишев се получава

16,0
9
56,7
1
3
1)3m(
2
2
x
=−=−>≤−
σ
XP
Задача 2. Въз основа на геодезични измервания на разстоянието между две точки е получено
1000 м при средно квадратично отклонение σ =3 м. Да се намери вероятността допуснатата
грешка да е по-малка от 4 м.
Решение. От неравенството на Чебишев се получава

16
7
16
9
1
4
1)40001(
2
2
=−=−>≤−
σ
XP
Задача 3. Вероятността за осъществяване на едно събитие при дадено изпитание е 0,36. из-
вършени са 1000 изпитвания. Да се оцени вероятността относителната честота на появяване
на събитието да се отклонява от неговата вероятност по абсолютна стойност с не повече от
0,2.
Решение. Прилагаме теоремата на Бернули

2
1
ε
−>
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ε<−
n
pq
p
n
k
P

и получаваме

()
9424,00576,0164,0.09,01
4
64,0.36,0
1
2,01000
64,0.36,0
12,0
2
=−=−=−=−>
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<−p
n
k
P .