Задачи от уравнение на равнина

§7. Задачи от уравнение на равнина

Съдържание
1. Задаване на равнина
2. Видове уравнения на равнина

ТЕОРИЯ
Ако положението на една равнина е определено с точка и нормален (перпендику-
лярен) вектор


()
()
CBAN
zyxM
,,
,,
000
r
⊥
∈
→
α
α

то уравнението и се записва

()()
( )0
000
=−+−+−→ zzCyyBxxAα
Ако положението на една равнина е определено с точка и два успоредни на рав-
нината вектора, т.е.


()
()
()
α
α
α
α||,,
||,,
,,
321
321
0000bbbb
aaaa
zyxM
r
r
∈
→

то уравнението и се записва

0
321
321
000
=
−−−
→
bbb
aaa
zzyyxxα
или с в параметричен вид

330
220
110
bazz
bayy
baxxμλ
μλ
μλ
α++=
++=
++=
→
,
където
λ и μ са параметри.

Разстоянието ()Ad,α от точка ( )
000
,,zyxA до равнината

0=+
++→ DCzByAxα
се намира по формулата

()
222
000
,
CBA
DCzByAx
Ad
++
+++
=α .
Множеството от всички равнини, минаващи през една и съща права се нарича
сноп равнини с насител тази права.
ЗАДАЧИ
Задача 1
. Точките ()5,2,1−A,
( )5,4,0−B , ( )1,2,3−C и ()4,2,1D са върхове на пирамида.
Да се напишат уравненията на равнините

а)
ABC
α, през точките A, B и C.
б) α∈A, α∈B и α е успоредна на ръба CD.
в) β, минаваща през точките C и D и перпендикулярна на
ABCα.
г) γ, минаваща през точката D и перпендикулярна на ръба AB.
Решение.
а) За определители на
ABC
α избираме

( )
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−−
−
∈−
→
ABC
ABC
ABC
ABC
AC
AB
A α
α
α
α||4,0,2
||0,6,1
5,2,1

Тогава

0
402
061
521
=
−−
−
−−+
→
zyx
ABCα ,
следователно търсеното общо уравнение е
0 1936 =+−+→
zyx
ABC
α .


б) За определители на
α избираме

()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
∈−
→
α
α
α
α||0,6,1
||3,0,4
5,2,1
AB
CD
A
.
Тогава

0
061
304
521
=
−
−−+
→
zyxα .
Общото уравнение на
α е 04486 =+−+→ zyxα .

в) За определители на β избираме

()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
∈−
→
α
α
α
β||3,1,6
||3,0,4
1,2,3
N
CD
C
r
.
Тогава
0
316
304
123
=
−
−−+
→
zyxβ .
Общото уравнение на
β е 0734303 =+−−→ zyxβ .
г) От условията ()γ∈4,2,1D и ( )0,6,1−⊥ABγ намираме

()( )
()0402611 =−+−−−→ zyx... γ ,
т.е. 0 116 =+−→yxγ .
Задача 2 . Да се намери обемът на куб, ако две от стените му лежат на равнини с урав-
нения
0122 =−+− zyx и 0522
=++− zyx .
Решение.
От едната равнина избираме точка и намираме разстоянието и до другата
равнина. То по абсолютна стойност ще представлява дължината на ръба на куба. В
уравнението 0 122 =−+−
zyx заместваме 0
=x и 0=y. Получаваме 1=z, т.е. от рав-
нината
0122 =−+−→ zyx
ρ е избрана точка ()1,0,0A. Търсим разстоянието от тази
точка до равнината 0 522 =++−→ zyxβ . Това разстояние е равно на

()
()
2
3
6
122
510202
,
222
−=
−
=
+−+−
++−
=
..βAd .
Следователно дължината на ръба на куба е
22=−=a, а обемът на куба е

82
33
===aV.

Задача 3. Дадени са равнините 0 7243 =−++→ zyxα и 0 932 =−+−→ zyxβ . Да се
намери уравнението на равнината, определена от пресечницата на α и β и точка
()2,2,1A.
Решение. Ще предложим две решения на дадената задача.

1

) Върху пресечницата на двете равнини определяме две различни точки

като в систе-
мата от уравненията на дадените равнини заместим едно от трите неизвестни с подхо-
дящо избрани стойности (така, че системите да се решат по-лесно). Ако изберем 0=y
ще получим системата

92
723
=+
=+
zx
zx

с решение
11=x и 13−=z. Това означава, че сме намерили точка ()13,0,11−M от пре-
сечницата на двете равнини. По същия начин ако изберем 1
=y ще получим системата

122
323
=+
=+
zx
zx

решение 21=x и 30−=z. Така получаваме друга точка ( )30,1,21−N от пресечницата.
За търсената равнина използваме задаването

()
()
() γ
γ
γ
γ||32,1,20
||15,2,10
2,2,1
−−
−−
∈
→
AN
AM
A
.
Тогава нейното общо уравнение ще получим така

0
32120
15210
221
=
−−
−−
−−−
→
zyxγ ,
т.е. 0 149302049 =−
++→ zyxγ .
2) Записваме уравнението на търсената равнина γ като уравнение на равнина от снопа,
зададен с двете равнини, т.е.

() 09327243
=−+−+−++→ zyxqzyxγ ,
а параметъра q определяме от условието дадената точка ()2,2,1A да лежи на γ.

11
8
11
8
922.31.2
72.22.41.3
=
−
−=
−+−
−++
−=q .
Тогава
() 0932
11
8
7243 =−+−+−++→ zyxzyxγ ,
т.е.

()
( )0932.87243.11 =−+−+−++→ zyxzyxγ ,
следователно за търсеното уравнение намираме

0149302049
=−++→ zyxγ .
Задача 4. Да се напише уравнението на равнина ω, която минава през пресечницата на
равнините
0123 =−+
−→ zyxα и 0124 =−+−→ zyxβ и е перпендикулярна на рав-
нината
0232 =+
−+→ zyxγ .
Решение.
Записваме уравнението на ω като уравнение на равнина от снопа, определен
от двете дадени равнини

() 0124123
=−+−+−+−→ zyxqzyxω .
Тогава

()( )
( ) 0121423 =−−++−−++→ qzqyqxqω
и нормален вектор на тази равнина е ( )qqqN 21,42,3 +−−+
ω
r
. Тъй като по условие ω е
перпендикулярна на γ, то трябва нормалния вектор ( )3,1,2−
γN
r
да е перпендикулярен на
ω
N
r
, т.е

()( )( ) 02134232
=+−−−++ qqq.. ,
следователно

8
1
=q.
Заместваме в уравнението на ω и получаваме

09102025 =−+−→ zyx
ω .
Задача 5. Трите координатни равнини и равнината 0 12236 =−++→ zyxα са стени на
триъгълна пирамида. Да се намери центърът
C на описаната около пирамидата сфера.
Решение.

Използваме, че центърът на описаната около пирамидата сфера лежи на симет-
ралните равнини на ръбовете на пирамидата. Намираме отрезите на дадената равнина
от координатните оси чрез отрезовото уравнение
1
642
=++→
zyxα .
Тези отрези са
2=OA, 4
=OB и 6=OC съответно от осите Ox, Oy и Oz. Си-
метралната равнина на посочените отсечки имат съответно уравнения
1=x, 2
=y и
3=z, които се пресичат в точката ()3,2,1G и следователно това е центърът на описана-
та около пирамидата сфера.
Задача 6. Да се намери косинуса на ъгъла между равнините
0623 =−
−−→ zyxα и 01143 =++−→ zyxβ .
Решение.
Косинуса на ъгъла между равнините определяме чрез косинуса на ъгъла меж-
ду нормалните вектори на дадените равнини.

() ()
()()()
912
5
149.1691
142331
,cos,cos =
++++
−+−−+
==
...
βαβα NN
rr