Задачи от диференциални уравнения от първи ред

§8. Задачи от диференциални уравнения от първи ред

Съдържание
1. Уравнения с отделящи се променливи
2. Хомогенни диференциални уравнения
3. Линейни уравнения и уравнения на Бернули
4. Точни уравнения. Уравнения на Лагранж и Клеро

ТЕОРИЯ
Уравнения с разделящи се променливи. Такива са уравненията от вида

()()ygxfy=′,
където
()xf и ()xg са непрекъснати функции. Уравнението записваме във вида

()()ygxf
dx
dy
=,
което позволява да разделим променливите

()
()dxxf
yg
dy= .
Като интегрираме последното, за общото решение получаваме формулата

()
()Cdxxf
yg
dy+=∫∫
,
където
C е произволна константа. Нека едно уравнение може да се преобразува във вида

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=′
x
y
fy.
Тогава след полагане xuy=, ()xuu=, то се свежда към уравнение с разделящи се промен-
ливи. Имаме
uxuy
′+=′. След заместване получаваме

()ufuux =+′,
()ufu
dx
du
x =+,
() x
dx
uuf
du
=
−
,
откъдето за общото решение на намираме формулата

()
C
x
dx
uuf
du
+=
−∫∫
,
в която след решаване на интегралите трябва да се върнем към първоначалните променливи
x и y.
Линейни уравнения. Диференциалното уравнение от първи ред се нарича линейно,
когато има вида

() ()xbyxay =+′
където коефициентите
()xa и ()xb се предполагат непрекъснати функции в отворения интер-
вал
Δ. Всичките му решения се дават по формулата

() ()
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∫∫
=∫
−
Cdxxbeey
dxxadxxa

Уравнението на Бернули

() ()
m
yxbyxay =+′, 0≠m, 1≠m,
се свежда до линейно след полагането
m
yz
−
=
1
. Това уравнение е

()()()() xbmzxamz
−=−+′11 .
Точни диференциални уравнения. Диференциалното уравнение

() () 0,,=+ dyyxQdxyxP

се нарича точно, когато диференциалната форма QdyPdx+ се явява пълен диференциал на
някоя функция
()yxU,. По тази причина точните уравнения се наричат още уравнения, про-
изхождащи от пълен диференциал. Условието

() () yxPyxQ
yx,, ′≡′
се нарича
условие за точност . Ако уравнението е точно и е породено от пълния диференци-
ал на
()yxU,, то може да се запише във вида
()0,=yxdU, а неговото общо решение се дава
по формулата

() CyxU =,
където
C е произволна константа.

ЗАДАЧИ
Задача 1 . Да се решат уравненията
1.1.
011
22
=−+− dyxydxy , 1.2. ()01=++ dyxxydx,
1.3. ( ) 0cos1
22
=++ xdydxyx , 1.4. ( )01
2
=++ dyyxyarctgxdx ,
1.5. 0 =−
−
dxdy
yx
l , 1.6.
yxyx
y
−+
+=′ll,
1.7.
( ) 023
3
=+−+ ydyxxdxx
y
l , 1.8.
x
y
x
y
tgy +=′ ,
1.9.
()
x
x
y
arctgyyx =−′.
Решение. 1.1.
011
22
=−+− dyxydxy
Уравнението е с отделящи се променливи. Очевидно
1;1;1;1 −=
=−== yyxx удовлетворяват
това уравнение.
1;1;1;1
−==−== yyxx са особени решения (особени интеграли) на уравне-
нието. Нека
1±≠x и 1±
≠y . Тогава уравнението с отделени променливи е
0
11
22
=
−
+
− y
ydy
x
dx
.
Интегрираме почленно и получаваме

C
y
ydy
x
dx
=
−
+
−∫∫
22
11

Общият интеграл на уравнението е

Cyx =−−
2
1arcsin .
1.2. Особени интеграли на уравнението

() 01=++ dyxxydx са: 1−=x и 0
=y
Общ интеграл на уравнението е

() Cyxx lnln1ln =++−
който можем да запишем и така
()
x
yxCl=+1.
1.3. Особени интеграли на уравнението

( ) 0cos1
22
=++ xdydxyx са () nnx ;
2
12
π
+= - цяло число
а общ интеграл е
Cyxxx =++ arctgcoslntg .
1.4. Особен интеграл на уравнението

( )01arctg
2
=++ dyyxdxxy е 0=y
а общ интеграл е

() Cyyxxx =++−+ ln2arctg1
22

1.5. Отговор C
yx
=−
−−
ll
1.6.Отговор.
yx
C llarctg=+
1.7. Отговор
()
()
y
yC
xx
x
−
++=
−
−
+
−l.1
13
1
2
1
ln
9
2

1.8. Уравнението е хомогенно. Полагаме

()xz
x
y
=
и диференцираме спрямо x равенството
xzy.= zxzy ′+=′⇒.
Заместваме в даденото уравнение. Получава се уравнението с отделящи се променливи
Czx
tgz
dz
x
dx
tgz
dx
dz
xztgzzxzlnsinlnln..+=⇒=⇒=⇒+=′+
Общият му интеграл е

zCxsin.=
Тогава общ интеграл на даденото уравнение ще бъде

x
y
Cx
sin.=
1.9. Уравнението е хомогенно, а общият му интеграл е

x
y
x
y
yxC
arctg
22
l=+ .
Задача 2 . Да се решат уравненията
2.1.
4
22xyyx =−′
2.2. () yxyx2412 +=′+
2.3.
() 0arctg1
2
=−++′ xyxy,
Решение. 2.1. Уравненията 2.1.; 2.2.; 2.3. са линейни и се решават по готова формула.Ако
всяко от уравненията е преобразувано във вида

() ()xbyxay+=′ .
то общият му интеграл се дава с формулата

()
()
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∫
+
∫
=∫
−
dxxbCy
dxxadxxa
ll..
За уравнение
2.1 решението изглежда така. Преобразуваме го спрямо първата производна на
неизвестната функция

3
2.
2xy
x
y +=′
и прилагаме формулата като съобразяваме, че

()
x
xa
2
=; ()
3
2xxb=
Тогава


( ) ( )=+=+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ∫
+
∫
=
−
∫∫∫
−
−
dxxCdxxCdxxCy
xxxx
dx
x
dx
x
22
ln3lnln23ln2
2
3
2
.2.2.2 llllll

( )
422
.2 xCxdxxCx +=+∫
.
Следователно общият интеграл на уравнение
2.1 е

42
xCxy +=.
2.2. Отговор ()()() 112ln.1212
+++++= xxxCy
2.3. Отговор 1 arctg −+=
−
xCy
arctgx
l .

Задача 3
. Да се решат уравненията
3.1.
x
yyyl
2
2=+′
3.2. xyxyytgcos
4
+=′ ,
3.3.
x
y
y
x
y
2
cos
2
.
2
=+′ .
Решение.
3.1. Уравнението е от тип на Бернули и трябва да се преобразува във вида

() () 1;0;.. ≠+=′ myxbyxay
m

да се определят функциите
()xa; ()xb и степента m.

()() 2;;2;..2
2
==−=+−=′ mxbxayyy
xx
ll
За решаването му използваме формулата

()()
()()
()()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∫
−+
∫
=∫
−−
−
dxxbmCy
dxxamdxxam
m11
1
1 ll .
Тогава

( )
xxxdxx
dx
x
dx
CdxCdxCy lllllll+=−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∫
−
∫
=∫∫
−
−
− 22
22
1
.
Общият интеграл на уравнението е

xx
C
y ll+=
21
.
3.2. Отговор
[] xC
y
tg3cos
1
3
3
−=
3.3. Отговор xxxCyx coslntg++=.
Задача 4 . Да се решат уравненията
4.1. ( )( )06492
3322
=−+− dyyxydxyxx
4.2. ( )02 =+−
−− yy
xydxll
4.3. ( )( ) 011
2222
=++−+++ ydyyxdxyxx
4.4. ( ) 0cos22sin1
22
=−+ xdyydxxy
Решение.
4.1. 4.1; 4.2; 4.3; 4.4 са точни диференциални уравнения. Това се определя чрез ус-
ловието

x
Q
y
P∂∂
∂
∂
=
ако уравнението е от вида
()
()0,, =+ yxQdxyxP . За уравнението
( )( )06492
3322
=−+− dyyxydxyxx
()
22
92, yxxyxP −= и () yxyyxQ
33
64, −= , а
yx
y
P
2
18−=
∂
∂
, yx
x
Q
2
18−=
∂
∂

Вижда се, че

x
Q
y
P∂∂
∂
∂
=
Тогава търсим функция

() () () ()
() ()∫∫
ϕ+−=ϕ+−=ϕ+= yyxxydxyxxydxyxPyxu
23222
392,,
където
()y
ϕ засега е неопределена. Намираме
()yyx
y
uϕ
∂
∂
′+−=
3
6

и сравняваме с

() yxyyxQ
33
64, −=
Така определяме, че

()
3
4yy=′ϕ
Интегрираме и намираме

()∫
==
43
4 ydyyyϕ
Заместваме в израза

() ()
4232232
33, yyxxyyxxyxu +−=+−=ϕ
Общият интеграл на уравнението се получава като заместим дясната страна на
()yxu, с
константа
C. Следователно общият интеграл на уравнението 4.1. е
Cyyxx =+−
4232
3.
4.2. Отговор Cyx
y
=−
− 2
.l
4.3. Отговор
()
C
yxy
x =
+
+−
32
2
3
222

4.4. Отговор Cxyx =−
22
cos .
Задача 5 . Да се решат уравненията
5.1.
( )( )02345
222
=++++ dyxyxdxyxyx
5.2. () 01 =−+ xdydxxyy
5.3. ( ) 022
22
=+++ ydydxxyx
ако това уравнение допуска интегриращ множител ( )
22
yx+=μμ .
Решение.
5.1. Уравнението допуска интегриращ множител

()
()
() 2ln212
1238
xx
x
dx
xyx
xyxy
dx
Q
QP
xy
==
∫
=
∫
=μ
+
+−+′−′
lll
защото

Q
QP
xy
′−′

е функция само на
x. Чрез множителя
2
x уравнението се преобразува в точно диференциал-
но уравнение. Следователно общият интеграл на уравнението е
Cyxyxx =++
3245
.
5.2. Уравнението допуска интегриращ множител

()
∫
=
−
′−′
dy
P
QP
xy
ylμ
защото

P
QP
xy
−
′−′
е функция само на
y. Чрез множителя
2
1
y
уравнението се преобразува в точно диференци-
ално уравнение. Следователно общият интеграл на уравнението е
C
y
xx
=+
2
2
.
5.3. Интегриращ множител на уравнението е

22
1
yx+

а общият интеграл е

( )Cyxx =++
22
ln .
Задача 6 . Да се решат уравненията
6.1.
3
73yyxy ′−′=
6.2. yyxy ′=′+ 4
6.3.
32
2yyxy ′−′=
6.4. yyyx ′=−′ ln2
6.5.() yyyx =′+′2
Решение. 6.1. Уравненията 6.1; 6.2; 6.3 и 6.4 са от тип на Лагранж и се решават чрез привеж-
дане към линейни диференциални уравнения като се положи ()ypy=′ . Тогава

3
73ppxy −=
и

dx
dp
p
dx
dp
xpy
.2133
2
−+=′
откъдето

()
dx
dp
pxp
.2132
2
−=− т.е.
2
21
.
2
3
p
x
pdp
dx
+−=

което е линейно уравнение с общ интеграл

2
3p
pp
C
x +=.
Следователно общия интеграл на уравнението 6.1. е

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
+=
3
2
2
3
3
p
p
C
y
p
pp
C
x

6.2. Отговор
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++−=
+=
ppCpy
pC
p
x
4ln
ln
1

6.3. Отговор
()()
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−+−
−
=
+−
−
=
332
2
2
32
2
223
1
23
1
1
pppC
p
p
y
ppC
p
x

6.4. Отговор
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−+=
−=
2
2
ln
1
2
p
C
py
pp
C
x

6.5. Отговор
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
=
2
2
p
p
C
y
p
C
x

Задача 7 . Да се решат уравненията
7.1. ()yyxy ′+−′= 2
7.2. ()yyxy −′=′3
3

Решение. 7.1. Уравнението е от тип на Клеро. Общ интеграл се получава като в даденото
уравнение заместим
y
′ с C, т.е. ()CCxy +−= 2 , а особен интеграл в параметричен вид се
получава от общия интеграл след диференциране спрямо
C и заместване на полученото
1=x в израза за y. Особен интеграл на уравнението е

⎩
⎨
⎧
−=
=
2
1
y
x
.
7.2. Отговор. Общ интеграл
3
3
C
Cxy −= . Особен интеграл в параметричен вид

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
3
2
3
2
py
px