Средни величини (Задачи)

1

Средни величини
/въпроси и задачи за самостоятелна работа/
1. Въпроси за самостоятелна работа
Какво е емпирично статистическо разпределение?
За какви свойства на съвкупността се отнасят обобща ващите числови
характеристики?
За кое свойство на съвкупността се отнасят средните величини?
Какви са критериите, за да се направи разграничение между различните
видове средни величини? Какви са видовете средни ве личини според
различните критерии?
Каква е основната разлика между алгебричните и неал гебричните средни
величини?
Как се изчислява средната аритметична величина, когато: (1) единиците не са
групирани; (2) единиците са групирани в дискретен статистически ред; (3)
единиците са групирани в интервален статистически ред. Изразете словесно
формулата, като назовете какво се съдържа в числите ля и какво – в
знаменателя.
Кои са шестте свойства на средната аритметична?
Какви са видовете неалгебрични средни величини? Към коя група попадат
медианата, модата, персентилите, децилите, квартилите и квинтилите?
Кога се използва медианата? Какво наричаме медиана? Какви са нейните
предимства пред средната аритметична величина?
Как се изчислява медианата, когато единиците са четен и нечетен брой?
Как се изчислява медианата, когато единиците: (1) не са групирани; (2) са
групирани в дискретен статистически ред; (3) са групирани в интервален
статистически ред? Опишете стъпките, които трябва да се спазят, за да се
извършат съответните изчисления.
Какви замествания във формулите за изчисляване на м едианата трябва да
направим, за да изчислим: (1) персентилите; (2) децилите; (3) квинтилите и
(4) квартилите?
Какво е мода? Как трябва да обработим статистическата информация, за да
изчислим модата? През какви стъпки трябва преминем, за да изчислим
модата? Опишете стъпките, които трябва да се спазят.
2. Задачи за самостоятелна работа
Задача № 1
. Седем работници за една работна смяна са произвели съответно
4, 5, 3, 6, 8, 7 и 2 изделия. Да се изчисли средния брой изделия, които се падат на
един работник.

2
Задача № 2. По5долу е представена информация за броя на издел ията,
произведени от група от 160 работници в една работн а смяна. Да се изчисли
средният брой изделия, които се падат на един работник.
Брой изделия за смяна 2 3 4 5 6 7 8 9 ОБЩО
Брой работници 5 10 20 30 65 10 10 10 160

Задача № 3. По5долу е представена същата информация, както в задача № 2,
но при интервален статистически ред. Да се изчисли средният брой изделия, които
се падат на един работник.
Брой изделия за смяна
От 2 до 3 От 4 до 5 От 6 до 7 От 8 до 9 ОБЩО

Брой работници 15 50 75 20 160

Задача № 4. По5долу е представена същата информация, както в задача № 3,
но при интервален статистически ред с „отворени” първа и последна група. Да се
изчисли средният брой изделия, които се падат на един работник.
Брой изделия за смяна
До 4 От 5 до 7 Над 8 ОБЩО

Брой работници 35 105 20 160

Задача № 5. По5долу е представена информация за броя на краткосрочните
потребителски кредити на 250 домакинства. Да се изч ислят: (1) средната
аритметична; (2) медианата; (3) модата.
№ на групата Размер на кредита (лв.) Брой домакинства
1 До 500 лв. 40
2 Над 500 до 1 000 лв. 65
3 Над 1 000 до 1 500 лв. 72
4 Над 1 500 до 2 000 лв. 34
5 Над 2 000 до 2 500 лв. 12
6 Над 2 500 лв. 27
ОБЩО 250

3
3. Отговори на задачите за самостоятелна работа
Задача № 1. Решението на задачата изисква да се използва формулата за
средна аритметична, когато единиците не са групирани:
х = (4 + 5 + 3 + 6 + 8 + 7 + 2)/7 = 35/7 = 5

Задача № 2. Решението на задачата изисква да се използва за с редна
претеглена аритметична при дискретен статистически ред. Стъпките са в следната
последователност:
1. Намираме произведенията между броя на изделията за една работна смяна
(x
i) и броя на работниците (f i) за всяка група.
2. Намираме сумата от произведенията в т. 1. Сумата е равна на 900 = 10 + 30 +
80 + 150 + 395 + 70 + 80 + 90.
3. Изчисляваме средната аритметична, като разделяме сумата от т. 2 на общия
брой на единиците (сумата от абсолютните честоти във всички групи), т.е. 900
на 160.
63,5
160
900
101010653020105
10*910*810*765*630*520*410*310*2
х ==
+++++++
+++++++
=

Група
№
Брой изделия за една
работна смяна (x i)
Брой работници (f i) xi.fi
1 2 5 2*10 = 10
2 3 10 3*10 = 30
3 4 20 4*20 = 80
4 5 30 5*30 = 150
5 6 65 6*65 = 395
6 7 10 7*10 = 70
7 8 10 8*10 = 80
8 9 10 9*10 = 90
ОБЩО ∑fi =160 ∑xi.fi = 900

Задача № 3. Решението на задачата изисква да се използва за с редна
претеглена аритметична при интервален статистически ред. Стъпките са в следната
последователност:
1. Намираме средите на интервалите за всяка група. Всеки интервал е равен на
средната аритметична от началото и края на интервала във всяка група, т.е.
сумата от началото и края на интервала, делено на 2.
2. Изчисляваме произведенията между средите на интерва ла и абсолютните
честоти във всяка група.
3. Намираме сумата от произведенията в т. 2. Сумата е равна на 920 = 37,5 +
225,0 + 487,5 + 170,0.
4. Изчисляваме средната аритметична, като разделяме сумата от т. 3 на общия
брой на единиците (сумата от абсолютните честоти във всички групи), т.е. 920
на 160.

4
75,5
160
920
20755015
170*5,875*5,650*5,415*5,2
х ==
+++
+++
=
Група
№
Брой изделия за
една работна
смяна (x i)
Брой работници (f i)
Среда на
интервалите (х
’
i
)
х
’
i.fi
1 От 2 до 3 15 (3+2)/2 = 2,5 2,5*15 = 37,5
2 От 4 до 5 50 (5+4)/2 = 4,5 4,5*50 = 225,0
3 От 6 до 7 75 (7+6)/2 = 6,5 6,5*75 = 487,5
4 От 8 до 9 20 (9+8)/2 =8,5 8,5*20 = 170,0
ОБЩО ∑fi =160 3 ∑ х
’
i.fi = 920,0

Задача № 4. Решението на задачата изисква да се използва за средна
претеглена аритметична при интервален статистически ред. Стъпките са в следната
последователност:
1. Построяваме нов статистически ред, като „затваряме” първата и последната
група. Това става, като използваме ширината на интервала на съседната група.
В случая това е група № 2, в която интервалът е дефиниран „от 5 до 7”.
Ширината на интервала е 2, т.е. h
2 = 7 – 5 = 2.
2. Даваме нова дефиниция на първата група, като от нейния „край”, а именно 4,
изваждаме 2, което е ширината на интервала на съседната група. Получаваме
нова формулировка „от 2 до 4”.
3. Даваме нова дефиниция на третата група, като от нейното „начало”, а именно
8, добавяме 2, което е ширината на интервала на със едната група. Така
получаваме „от 8 до 10”.
4. Изчисляваме средите на интервала. Те са съответно 3, 6 и 9.
5. Изчисляваме произведенията между средите на интерва ла в т. 4 и
абсолютните честоти във всяка група.
6. Намираме сумата от произведенията от т. 5. Сумата е равна на 915 = 105 + 630
+ 180.
7. Изчисляваме средната аритметична, като разделяме сумата от т. 6 на общия
брой на единиците (сумата от абсолютните честоти във всички групи), т.е. 915
на 160.
72,5
160
915
2010535
20*9105*635*3
х ==
++
++
=

Група
№
Брой изделия
за една
работна
смяна (x i)
Брой изделия
за една
работна
смяна (x i)*
Брой
работници (f i)
Среда на
интервалите
(х
’
i
)
х
’
i
.fi
1 До 4 От 2 до 4 35 (4+2)/2 = 3 3*35 = 105
2 От 5 до 7 От 5 до 7 105 (7+5)/2 = 6 6*105 = 630
3 Над 8 От 8 до 10 20 (10+8)/2 = 9 9*20 = 180
ОБЩО ∑fi =160 3 ∑ х
’
i
.fi = 915,0

* Ново основание на реда, на база „затварянето” на група № 1 и група № 3

5
Задача № 5. Решението на задачата изисква да се използват формулите за
случаите, когато единиците са групирани в интервален статистически ред.
Средна аритметична :
1. Доколкото две от групите са „отворени”, модифицираме статистическия ред,
като дадем нови дефиниции на група № 1 и група № 6. Това става, като
използваме интервалите в съседните им групи, съответно група № 2 и група
№ 5.
2. Група № 1 предефинираме така „от 0 до 500 лв.”, а група № 6 – „над 2 500 до 3
000 лв.”. Това става, доколкото ширината на интервала на група № 2 и група
№ 5 е 500 лв.
3. Изчисляваме средите на интервалите по формулата (50 0+0)/2 = 250 за
първата група, (1 000 + 500)/2 = 750 за втората група и т.н.
4. Изчисляваме произведението между средите на интерва ла и абсолютните
некумулативни честоти и след това сумираме (40* 250 + 65*750 + 72*1 250 +
34 *1 750 + 12*2 250 + 27*2750 = 309 500).
5. Полученото в т. 4 произведение разделяме на сумата от абсолютните
некумулативни честоти във всяка група и получаваме средната аритметична
величина:
1238
250
309500
271234726540
2750*272250*121750*341250*72750*65250*40
х
==
=
+++++
+++++
=


№ на
групата
Размер на
кредита (лв.)
Размер на
кредита (x i)*
Брой
домакинства (f i)
Среди на
интервала (х
’
i
)

х
’
i.
fi
1 До 500 лв. От 0 до 500 лв. 40 250 10 000
2 Над 501 до
1 000 лв.
Над 500 до
1 000 лв. 65 750 48 750
3 Над 1 000 до
1 500 лв.
Над 1 000 до
1 500 лв. 72 1 250 90 000
4 Над 1 500 до
2 000 лв.
Над 1 500 до
2 000 лв. 34 1 750 59 500
5 Над 2 000 до
2 500 лв.
Над 2 000 до
2 500 лв. 12 2 250 27 000
6 Над 2 500 лв. Над 2 500 до
3 000 лв. 27 2 750 74 250
ОБЩО 250 3 309 500
* Ново основание на реда, на база „затварянето” на група № 1 и група № 6

Медиана:
1. Изчисляваме кумулативните честоти (C
i).
2. Тъй като общият брой на единиците е четно число, определяме номерата на
единицата, за които е изпълнено неравенството:
1i
k
1i
i
in
2
1f
n
+
=≤
+
≤
∑

Това са единиците 125 и 126.

6
3. Определяме „медианната” група според кумулативната честота. Това е група
№ 3, където кумулативната честота е 177, т.е. там попадат единица 125 и 126.
4. Изчисляваме медианата по формулата:
36,1142
72
500
105
2
1250
1000
f
h
C
2
1n
LМ
e
ee
M
i
1MMе
=





−
+
+=





−
+
+=
−


№ на
групата
Размер на кредита (лв.)
Брой домакинства
(fi)
Кумулативни
честоти (C i)
1 До 500 лв. 40 40
2 Над 501 до 1 000 лв. 65 105
3 Над 1 000 до 1 500 лв. 72 177
4 Над 1 500 до 2 000 лв. 34 211
5 Над 2 000 до 2 500 лв. 12 223
6 Над 2 500 лв. 27 250
ОБЩО 250 3

В тази формула 1 000 е началото на интервала на гр упа № 3, 250 е общият
брой на единиците, 105 – кумулативната честота в групата, преди „медианната”
група, 500 – ширината на интервала в „медианната” група (1 500 – 1 000), а 72 –
абсолютната честота в „медианната” група.

Мода:
1. Проверяваме в коя група има най5много единици. Това е група № 3, където
има 72 единици.
2. Определяме „модалния интервал”. Това е интервалът на група № 3, т.е. „от 1
000 до 1 500 лв.”.
3. Изчисляваме модата по формулата:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1078500
34726572
6572
1000h
ffff
ff
LМ
1MM1MM
1MM
Mо
oooo
oo
o
=
−+−
−
+=
−+− −
+=
+−
−

Във формулата 1 000 е началото на интервала в груп а № 3, 72 – абсолютната
честота в група № 3, 65 – абсолютната честота в група № 2, 34 – абсолютната честота
в група № 4, а 500 – ширината на интервала в „модалната” група (1 500 – 1 000 =
500).