Количествена теория на естествените числа

§
8
. Количествена теория на естествените числа
Числата възникват в резултат от необходимостта за броене и измерване и претърп
я
ват дълъг път на историческо развитие.
Наблюдавайки окръжаваЧислата възникват в резултат от необходимостта за броене и измерване и претърпяват дълъг път на историческо развитие.
Наблюдавайки окръжаващата го среда, първобитният човек е започнал да отделя елементите от множествата (

елен от стадо, кон от стадо и др.). По този начин у човека са започнали да се образуват представите за един елемент и много елементи на множества. В началото множествата и елементите им са конкретни, но от многократното служене с тях в хилядолет
и
ятНаблюдавайки окръжаващата го среда, първобитният човек е започнал да отделя елемент
и
те от множествата ( елен от стадо, кон от стадо и др.). По този начи
н
у човека са започнали да се образуват представите за един елемент и много елементи на множества. В началото множествата и елементите им са конкретни, но от многократното служене с тях в хилядолетията в практиката се формират отвлечени от конкретността поняти
я
за едно и много. В съответствие с това се развива и езикът на народите, явява
т
се закономерни изменения в окончанията на думите- единственото и множественото
ч
исло.
Сравняването на крайни множества става чрез установяване на взаимно-еднозначно съответствие между конкретни множес
т
ва или между
е
дно множество и подмножество на друго множество, т.е. на този етап човекът е възп
р
иемал числеността на предметите без да ги брои. При такъв способ сравняваните множества трябва да бъдат едновременно обозрими. Отначало броенето се оказва възможно само за крайно огран
и
чени множества, съдържащи сравнително малък брой елементи, зад пределите на които количествените различия се осъзнават смътно ( с думата много).
В резултат на

дълъг период на развитие човекът преминава към следващия етап – за сравняване на множества започва да използва множества-посредници: камъчета, раковини, пръсти
и
т.н. Тъй като някои предмети съставляват равносилни множества, като например дво
й
ка очи, двойка уши, два крака, две ръце, пет пръста на ръката и на крака и т.н., т
е
зи множества се затвърдяват в паметта и се използват като мярка за срамняване с някои множества. Така „очи” става синоним на две, китката на ръката – на пет и т.н.
Едва сл
е
д като се научава да оперира с множества-посредници, човекът установил общото, коет
о съществува например между пет пръста и пет ябълки, т.е. става отвличане от природата на елементите на множествата-посредници и в резултат на това възникнала пре
д
ставата за естествено число. На този етап при броенето например на ябълки, той вече

не изговаря „една яб
ълка”, „две ябълки”, а „една”, „две” и т.н. Това е важен етап от развитието н
а
понятието число. Историците считат, че това е станало в к
а
менния век, в епохата на първобитно-общинния строй, около 10-5 хиляди години пр. н. е. Както се вижда, п
р
и това някои множества-посредници (в частност състоящи се от 10,12,20,40,60, 100
е
лементСравняването на крайни множества става чрез установяване на взаимно-еднозначно съответствие между конкретни множества или между едно множество и подмножество на друго множество, т.е. на този етап човекът е възприемал числеността
н
а предметите без да ги брои. При такъв способ сравняваните множества трябва да бъдат ед
н
овременн
о
обозрими. Отначало броенето се оказва възможно само за крайно ограничени множества, съдържащи сравнително малък брой елементи, зад пределите на които количестве
н
ите различия се осъзнават смътно ( с думата много).
В резултат на дълъг период на развитие

човекът преминава към следващия етап – за сравняване на множества започва да използва множества-посредници: камъчета, раковини, пръсти и т.н. Тъй като някои предмети съставляват равносилни множества, като например двойка очи, двойка

уши, два крака, две ръце, пет пръста на ръката и на крака и т.н., тези множества с
е
Т
и
пичната грешка, правена от децата, е неабстр
а
хирането от големината на разглежданите елементи, напр. при 3 малки ябълки в к
о
шница и 3 големи ябълки в също такава кошница, някои твърдят, че големите са повече, като не си дават сметка в какъв смисъл са повече. Ако е дадено множество с безразборно разположени елементи, могат да се обхванат с поглед около 5 елемента; над това число трябва или да броят, или

да се разбиват на по-малки групи, или да се сравняват с друго множество с известен брой елементи.
Понеже в основата на нещата е равномощността на множества, първо се установява, че тази релация е релация на еквивалентност. За децата се оказва, ч
е
значение има транзитивността, която, за разлика от първите две свойства, които за де
ц
ата са очевидни, за някои деца не е очевидна. Оказва се, че след уст
а
новяване на това, че в кутийката А има толкова предмета, колкото в кутийката В, а в В –толкова предмета, колкото в кутийката С, запитани къде има повече предмети – в А или С, децата започват да сравняват елементите в А и С.
1. Множество на естествените числа
Нека разгледаме съвкупността EMBED Equation.3
 на всички крайни множества.

Фактор-множеството EMBED Equation.3
 е разбиване на EMBED Equation.3
 на к
л
асове на еквивалентност.
Например ако EMBED Equation.3
 е множеството от върховете на триъгълник, в един клас с него

попадат множе
с
твото от страните на триъгълника, множеството от буквите на думата „мир” и др.
П
о
-нататък на всеки елемент EMBED Equation.3
 се съпоставя някакъв еднозначно определен обект (характеристика), който се нарича мощност на всяко едно от множествата от класа EMBED E
q
uation.3
 ( това е общото свойство на всички множества от един клас). Ако EMBED Equation.3
, то с EMBED Equation.3
 се означава мощността на множество
т
о EMBED Equation.3
. От казаното по-горе следва, че ако EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
, то EMBED Equation.3
, което означава, че и на двете м
н
ожества е съпоставен един и същ обект. Очевидно, така определената релаПонеже в о
с
новата на нещата е равномощността на множества, първо се установява, че тази релац
и
я е релация на еквивалентност. За децата се оказва, че значение има транзитивността, която, за разлика от първите две свойства, които за децата са очевидни, за някои деца н
е
е очевидна. Оказва се, че след установяване на това, че в кутийката А има толкова
предмета, колкото в кутийката В, а в В –толкова предмета, колкото в кутийката С, запитани къде има повече предмети – в А или С, децата започват да сравняват елемен
т
ите в А и С.
1. Множество на естествените числа
Нека разгледаме съвкупността EMB
E
D Equation.3
 на в
сички крайни множества. Фактор-множеството EMBED Equation.3
 е разбиване н
а
EMBED Equation.3
 на класове на еквивалентност.
Напри
м
ер ако EMBED Equation.3
 е множеството от върховете на триъгълник, в един клас с него попадат множест
в
ото от страните на триъгълника, множеството от буквите на думата „мир” и др.
По-
н
ататък на всеки елемент EMBED Equation.3
 се съпоставя някакъв еднозначно определен обект (характеристика), който се нарича мощност на всяко едно от множествата от класа EMBED Equation.3
 ( това е общото свойство на всички множе
с
тва от един клас). Ако EMBED Equation.3
, то с EMBED Equation.3
 се означава мощн
о
стта на
м
ножеството EMBED Equation.3
. От казаното по-горе следва, че ако EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
, то EMBED Equation.3
, което означава, че и на

двете множества е съпоставен един и същ обект. Очевидно, така определената релация е изобр
а
жение, което се нарича още кардинал, а самият образ при това изображение – кардинално число.
О.1. Мощността на всяко крайно множество се нарича естествено число.
Следователно, ако EMBED Equation.3
 е крайно множество, то EMBED E
q
uation.3
 е естествено число.
Множеството EMBED Equation.3
 за което от EM
B
Т
е
орема 2. Релацията "EMBED Equation.3
" е
р
елация на строга наредба в множеството на естествените числа EMBED Equation.3
Теорема 3. (закон за трихотомията) За всеки две числаEMBED Equation.3
 е в сила точно една от релациите EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
 или EMBED Equation.3
.
О. 4. Числото EMBED Equation.3
 се нарича по-малко или равно на числото EMBED Equation.3
 (не п
о
-голямо), ако EMBED Equation.3
 или EMBED Equation.3
. Означава се с EMBED Equation.3
.
Теорема 4. РТеорема 3. (закон за трихотомията) За всеки две числаEMBED Equation.3
 е в сила точно една от релациите EMBED Equation.3
, EMBED

Equation.3
 или EMBED Equation.3
.
О. 4. Числото EMBED Equation.3
 се нарича
п
о-малко или равно на числото EMBED Equation.3
 (не по-голямо), ак
о
EMBED Equation.3
 или EMBED Equation.3
. Означава се с EMBED Equation.3
.
Теорема 4. Релацията "EMBED Equation.3
" е релация на линейна наредба в множеството на естествените числа EMBED Equation.3
.
3. Операции в множеството EMBED Equation.3
3.1. Събиране
О.5. Сбор (сума) на числата EMBED Equation.3
 и EMBED Equ
a
tion.3
, се нарича числото EMBED Equation.3
, където EMBED EquatioО. 4. Чи
с
лото EMBED Equation.3
 се нарича по-малко или равно на числото EMBED Equation.3
 (не по-голямо), ако EMBED Equati
o
n.3
 или E
M
BED Equation.3
. Означава се с EMBED Equation.3
.
Теорема 4. Релацията "EM
B
ED Equation.3
" е релация на линейна наредба в множеството на естествените числа EMBED Equation.3
.
3. Операции в множеството EMBED Equation.3

3.1. Събиране
О.5. Сбор (сума) н
а
числата EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
, се нарича числото EMBED Equation.3
, където EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
 и EMBED Equat
i
on.3
. Означава се с EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
 се наричат събираеми.
От Определение 5. и определението за наследник по
л
учаваме равенството EMBED Equation.3
, за всяко EMBED Equation.Теорема 4. Рел
а
цията "EMBED Equation.3
" е релация на линейна наредба в множеството на естеств
е
ните числа EMBED Equation.3
.
3. Операции в множеството EMBED Equation.3

3.1. Събиране
О.5. Сбор (сума) на числата EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
, се на
р
ича числото EMBED Equation.3
, където EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3

и EMBED Equation.3
. Означава се с EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
 се наричат събираеми.
От Определение 5. и определението за

насл3. Операции в множеството EMBED Equation.3

3.1. Събиране
О.5. Сбор (сума) н
а
числата EMBED Equa
tion.3
 и EMBED Equation.3
, се нарича числото EMBED Equation.3
, къд
е
то EMBE3.1. Събиране
О.5. Сбор (сума) на числата EMBED E
q
uatО.5. Сбор (сума) на числата EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
, се нарича числото EMBED Equ
a
tion.3
, където EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
. Означава се с EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
 се наричат събираеми.
От Определение 5. и определението за наследник получаваме равенството EMBED Equation.3
, за всяко EMBED Equation.3
.
Операц
и
ята EMBED Equation.3
, при която по две дадени естествени числа се намира техният сб
о
р, се на
р
ича събиране.
Теорема 5. Операцията EMBED Equation.3
 е алгебрична в множеството EMBED Equation.3
.
Верността на тази теорема следва от факта, че обединени
е
то на всеки две крайни множества е също крайно множество .
Теорема 6. Операцията "EMBED E
q
uation.3
" не зависи от избора на представителите от съответните класове на еквивалентност от множеството EMBED Equation.3
.
Операцията събиране притежава следните свойства:
1. EMBED Equation.3
 – комутативност (разместителн
о
свойство);
2. EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
 – асоциативност (съдружи
т
3
.
2. Изваждане
н
ожествения От гледна точка на теоретико-множествения подход изваждането се де
ф
инира като брой на елементите в допълнението на множеството  EMBED Equation.DSMT4 
 до множеството  EMBED Equation.DSMT4