Комплексни числа и полиноми

§1. Задачи от комплексни числа и полиноми

Съдържание
1. Задаване на комплексни числа
2. Действия с комплексни числа
3. Действия с полиноми
4. Каноничен вид на полином
ТЕОРИЯ
Комплексно число, зададено в алгебричен вид, се нарича числото iyxz+= , къде-
то x и y са реални числа, а i е имагинерната единица, за която 1
2
−=i. Числото x се
нарича реална част на
z, а
y се нарича имагинерна част на z и е се означават съот-
ветно с
zxRe= и zyIm=.Числото
iyxz−= се нарича комплексно спрегнато на
iyxz+= . Ако
111
iyxz += и
222
iyxz += са две комплексни числа, то те могат да се съ-
бират, да се изваждат, да се умножават и делят съответно по правилата

()()
212121
yyixxzz +++=+

()()
212121
yyixxzz −+−=−

()()
2121212121
xyyxiyyxxzz ++−=

() ( )
2
2
2
2
2211
22
21
22
11
2
1
yx
iyxiyx
zz
zz
iyx
iyx
z
z
+
−+
==
+
+
=

Числата
22
yxr += и ϕ (ϕ е ъгълът, който сключва насочената отсечка с кра-
ища точка
()0;0O и точка ()
βα;M с положителната посока на Ox) се наричат съответ-
но модул и аргумент на комплексното число
iy
xz+= и се означават съответно с
zr= и zarg=ϕ

Изразите
()
ϕϕsincosirz += и
ϕi
rez= се наричат съответно тригонометричен и
експоненциален запис на комплексното число
z. Чрез тези представяния лесно се из-
вършват действията степенуване и коренуване по формулите

() ϕϕninrz
nn
sincos+= ,

ϕinnn
erz= ,

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
+
=+=
n
k
n
k
rninrz
nnn πϕπϕ
ϕϕ2
sin
2
cossincos ,
като в последния случай
k приема цели стойности от 0 до 1
−n.
Полином
()xf от n – та степен на променливата
x се нарича

()
01
1
1... axaxaxaxf
n
n
n
n
++++=
−
−
,
където 0
≠
na ,
1−na, ...,
0a са коефициентите на полинома, а 0≥n е естествено число.
Числото
α се нарича нула на полинома ()xf , ако ()0=αf . Нулите на полином с цели

2
коефициенти със старши коефициент 1=
na са някои от делителите на свободния член
0a. Каноничен вид на полином с реални коефициенти ()xf наричаме записа

() ( ) ( )
[ ]LLL
22
γβα+−−= xxaxf
k
n
,
където
na е старшият коефициент,
α е реален корен, а γβi±, 0≠γ, са двойка комп-
лексно спрегнати корени.

ЗАДАЧИ
Задача 1.
Да се извършат действията
1.1.
i
i
+
+
1
3

1.2.
i
i
i
i
−
+
+
−
1
45
:
32
32

Решение.
1.1.
i
i
+
+
1
3
i
i
i
iii
i
i
i
i
−=
−
=
−
−+−
=
−
−
+
+
= 2
2
24
1
33
1
1
.
1
3
2
2

1.2.
i
i
i
i
−
+
+
−
1
45
:
32
32

=
−
+
=
+−
−−
=
+++
+−−
=
+
−
+
−
=
i
i
i
i
iii
iii
i
i
i
i
232
51
232
51
1215810
3322
45
1
.
32
32
2
2


i
iii
533
33
533
113
5294
11510232
2
+−=
+
+++
=

Задача 2.
Да се представят в тригонометричен вид числата
2.1.
iz 31−=
2.2.
iz3=
2.3.
1−=z .
Решение на 2.1.

() ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+=−
6
5
sin
6
5
cos.2
6
5
sin
6
5
cos3131
2
2 ππππ
iii
Решение на 2.2.

3


⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
2
sin
2
cos3
2
sin
2
cos303
22 ππππ
iii
Решение на 2.3.


1−()
() ππππsincossincos01
22
ii +=++−=


Задача 3.
Да се представят в експоненциален вид числата

3.1. iz +−=1
3.2.
iz−=3
Решение на 3.1.

4
iz +−=1=()
ii
ee
4
3
4
3
22
2.11
ππ
=+−


Решение на 3.2.

iz −=3= ()()
2
2
13−+
ππ
6
11
6
11
2ee=

Задача 4.
Да се пресметнат изразите
4.1.
()
()
3
5
1
1
i
i
−
+

4.2. 66
324
53
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
i
i

Решение на 4.1.
Представяме числата
i+1 и i
−1 в тригонометричен вид, повдигаме ги на съот-
ветната степен и тогава извършваме делението като използваме, че се дели модул на
числителя с модул на знаменателя, а от аргумента на числителя се изважда аргумента
на знаменателя
()
()
()
()
() 2)4sin()4cos(2
4
21
sin
4
21
cos2
4
5
sin
4
5
cos2
1
1
3
5
3
5
=−+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
−
+ππ
ππ
ππi
i
i
i
i

Решение на 4.2.
Първо извършваме делението на числата в скобите, след това преобразуваме ре-
зултата в тригонометричен вид и прилагаме формулата на Моавър

()
66666666
28
14314
1216
62031034
324
324
324
53
324
53
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−++
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+ ii
i
i
i
i
i
i


6
66
sin
6
66
cos
6
sin
6
cos
2
1
2
3
66
66
ππππ
iii +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=

1sincos11sin.11cos
−=+=+= ππππ ii
Задача 5. Да се намерят всички стойности на

4
388i+−.
Решение.
Преобразуваме в тригонометричен вид числото

5
() () ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−=+−
3
2
sin
3
2
cos16
3
2
sin
3
2
cos388388
2
2 ππππ
ii
и прилагаме формулата за коренуване. Тогава
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
+
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=+−=ππ
π
π
π
π.
6
31
sin
6
31
cos2
4
.2
3
2
sin.
4
.2
3
2
cos16388
44 k
i
k
k
i
k
iz
k
Следователно

iiiz +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
+
= 3
6
sin
6
cos2
6
0.31
sin
6
0.31
cos2
0
ππ
ππ


31
3
2
sin
3
2
cos2
6
1.31
sin
6
1.31
cos2
1 iiiz +−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
+
=
ππ
ππ


iiiz −−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
+
= 3
6
7
sin
6
7
cos2
6
2.31
sin
6
2.31
cos2
2
ππ
ππ


31
3
5
sin
3
5
cos2
6
3.31
sin
6
3.31
cos2
3 iiiz −=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
+
=
ππ
ππ

Тъй като и четирите числа – стойности на корена имат един и същ модул 2, то те
ще са разположени на една окръжност с радиус 2.


Задача 6. Да се намери полином ()xf от втора степен, който да удовлетворява услови-
ята
()() 381 +
=−+ xxfxf и ()50 =f .
Решение. Нека търсеният полином е () cbxaxxf ++=
2
, в който коефициентите са неиз-
вестни. Тези коефициенти ще определим като използваме дадените условия. От
()50=f се получава 5 0.0.
2
=++ cba , т.е. 5
=c. От ()() 381 +=−+ xxfxf се получава
()() () 3811
22
+=++−++++ xcbxaxcxbxa , т.е. ( ) 3812 +=−+ xbxa. Като сравним ко-
ефициентите пред x от лявата страна на равенството и от дясната страна на равенство-
то се получава, че
82=a, т.е. 4
=a. Като сравним свободните членове се получава, че
133. =−=⇒=− abba , т.е. 1 =b. Тогава търсеният полином е () 54
2
++= xxxf .
Задача 7. Да се намерят стойностите на константите A, B и C, за които е изпълнено ра-
венството

6

()( )()521521
4313
2
−
+
+
+
−
=
−+−
−+
x
C
x
B
x
A
xxx
xx

Решение.
Привеждаме под общ знаменател дясната страна на равенството и тъй като
той е същият като знаменателя на лявата страна сравняваме числителите на двете дро-
би, които се получават. Тогава

()()
()()()()2151524313
2
+−+−−+−+=−+ xxCxxBxxAxx .
Използваме, че това равенство трябва да е вярно за всяка стойност на x и избираме тези
стойности така, че да се получава само едно неизвестно от горното равенство.
Ако изберем
1=x се получава A1212
−= , т.е. 1−=A .
Ако изберем
2−=x се получава
B2142= , т.е. 2=B.
Ако изберем
5=x се получава C28336
= , т.е. 12=C .
Друг начин за решаване на същата задача е да се сравнят коефициентите пред равните
степени на от двете страни на равенството

()()
()()()()2151524313
2
+−+−−+−+=−+ xxCxxBxxAxx ,
което преобразуваме така

()
( )( )CbAxCBAxCBAxx 2510634313
22
−+−++−−+++=−+ . Така се получа-
ва системата:

42510
363
13
−=−+−
=+−−
=++
CBA
CBA
CBA
.
Чрез почленно събиране на трите уравнения се получава
11212−=⇒=− AА .
Заместваме в първото и второто уравнение и получаваме системата
12,2
06
14
==⇒
=+−
=+
CB
CB
CB


Задача 8. Да се намерят стойностите на константите A, B, M и N в равенството

()()
() 4311431
4
2222
+− +
+
−
+
−
=
+−− xx
NMx
x
B
x
A
xxx
Решение.
Задачата се решава както предходната. От

() ()
( )( )()
222
1431434 −+++−−++−= xNMxxxxBxxA
следва
2=
A, 1=B, 1−=M , 0=N.
Задача 9. Да се раздели полинома () 232
23
−+−= xxxxf на полинома () 1
2
+=xxϕ .
Решение. Делим старшия член
3
2x на делимото със старшия член
2
x на делителя и по-
лучаваме първото събираемо
x2 на частното. С него умножаваме делителя и получено-
то изваждаме от делимото. Това правим няколко пъти до получаване на полином със
степен по-малка от степента на делителя.

В резултат на делението се получава

7

1
1
12
1
232
22
23
+
−
+−=
+
−+−
x
x
x
x
xxx

Задача 10. Да се намери каноничния вид на полинома

() 84405997
2345
−++−−= xxxxxxf .
Решение. Търсим първо нулите на дадения полином. Ако те са цели числа трябва да
съвпадат с някои от делителите на свободния член -84 на дадения полином, т.е. са ня-
кои от числата
1, 1
−, 2, 2−, 3, 3−, 4, 4−, 6, 6−, 7, 7−, 12, 12−, 14, 14−, 21,
21−, 42 , 42−,
84, 84−. Проверка за това кой от елементите на посоченото множество
е нула на дадения полином се прави по схемата на Хорнер.

Полиномът
()xf има следния каноничен вид

() ( )
()( )( )7321
2
−−+−= xxxxxf
Задача 11. Да се разложи на елементарни дроби рационалната функция

()
84405997
5
2345
−++−−
+
=
xxxxx
x
xf
Решение. Използваме, че каноничният вид на полинома в знаменателя е (виж задача10)

()( )
()( )7321
2
−−+− xxxx
и прилагаме теоремата за разлагане на правилна дроб на елементарни дроби. Тогава

() 7322184405997
74
22345
−
+
−
+
+
+
+
+
−
=
−++−−
+
x
F
x
E
x
D
x
B
x
A
xxxxx
x

Константите определяме след привеждане под общ знаменател на дясната страна на
равенството и сравняване на числителите на лявата и дясната страна. От
()()()
()()()()()( )( )
()()()()()()
132712
273173173274
22
2
−−++−−++
+−−−+−−−+−−+=+
xxxFxxxE
xxxxDxxxBxxxAx

Следва, че

25
36
=A ,