Лекция по полиноми

Дадено:
P6(x) = - 12x
6
+ 4x
5
- 3x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 1
Q2(x) = x
2
+ 1

На нов ред записваме двете уравнения, без да пишем лявата част
(тоест P6(x) и Q2(x)):

- 12x
6
+ 4x
5
- 3x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 1
x
2
+ 1

Подредете ги така, че хиксовете да са един под друг.
Погледнете на двата реда най-високите степени на хикс :

- 12x
6
+ 4x
5
- 3x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 1
x
2
+ 1

Горе имаме - 12x
6
, а долу имаме x
2
. Трябва да ги изравним.
Долното хикс е само на втора степен, а горното е на шеста.
Значи за да изравним двата хикс -а да бъдат на шеста степен,
трябва долу да умножим по х
4
. Освен това горе имаме числото
-12, но долу нямаме такова, значи за да ги изравним напълно
трябва да умножим и по -12. Тоест вторият ред ще умножим с
-12х
4
. Ето как става:

- 12x
6
+ 4x
5
- 3x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 1
x
2
+ 1 /.(-12x
4
) (умножаваме х
2
с -12х
4
и +1 с -12х
4
)

- 12x
6
+ 4x
5
- 3x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 1 (този ред само се преписва)
- 12x
2
x
4
+ 1(-12x
4
) = -12x
2+4
- 12x
4
= -12x
6
– 12x
4

- 12x
6
+ 4x
5
- 3x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 1
- 12x
6
– 12x
4

Сега преписвате първия ред, веднага след него записвате и
втория ред, НО променяте знаците пред всички числа от втория
ред! Получава се:

- 12x
6
+ 4x
5
- 3x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 1 + 12x
6
+ 12x
4


И сега започвате да събирате и изваждате. Задължително гледате
хиксовете да са на една и съща степен ! Тоест ПРИМЕРНО ако
имате 2х
3
+ 3х
4
НЕ можете да направите нищо , защото хиксът е на
различни степени. НО ако имате ПРИМЕРНО 2х
3
+ 3х
3
, хиксът е на
една и съща степен, тоест се преписва а числата пред него
(съответно +2 и +3) стават +2+3 = +5, тоест отговорът ви ще
бъде 5х
3
!

Ето и как се получава:

- 12x
6
+ 4x
5
- 3x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 1 + 12x
6
+ 12x
4

- 12x
6
и + 12x
6
се съкращават;
- 3x
4
и + 12x
4
преписва се х
4
, числата са -3 и +12,
следователно -3+12 = 9 => 9х
4

Останалите числа няма какво да ги правим и се преписват. Ето
какво се получава:

4x
5
+ 9x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 1





Веднага под това, което сте получили, отново преписвате Q2(x):

4x
5
+ 9x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 1
x
2
+ 1

Отново трябва да изравним горе и долу най -високата степен на
х. Горе имаме 4x
5
, а долу x
2
. Значи трябва долу да умножим по
х
3
, за да получим И горе И долу х
5
. Освен това горе, пред х
5
,
имаме числото 4. Трябва да умножим И долу по 4, за да ги
изравним напълно!

4x
5
+ 9x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 1
x
2
+ 1 /.4x
3
= x
2
.4x
3
+ 1.4x
3
= 4x
5
+ 4x
3

Отново преписваме първия ред и веднага след него втория ред,
като втория ред обръщаме знаците:

4x
5
+ 9x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 1 – 4x
5
– 4x
3

Отново извършваме действията. 4x
5
и -4x
5
се съкращават, 4x
3
и
-4x
3
също се съкращават, останалите няма какво да ги правим и
ги преписваме.

9x
4
+ 8x
2
+ 1

Следва отново отдолу да си препишем Q2(x):

9x
4
+ 8x
2
+ 1
x
2
+ 1

Отново трябва да изравним хикс на най -високата степен. Горе е
4, долу 2, значи ДОЛУ трябва да умножим по х
2
. Отделно горе,
пред х
4
, има числото 9, значи и долу трябва да умножим по 9.

9x
4
+ 8x
2
+ 1
x
2
+ 1 /.9x
2
= 9x
4
+ 9x
2


Отново си преписваме първия ред, след него и втория, като на
втория обръщаме знаците:

9x
4
+ 8x
2
+ 1 - 9x
4
- 9x
2


Отговорът се получава:

- x
2
+ 1






Под полученото ОТНОВО преписваме Q2(x):

- x
2
+ 1
x
2
+ 1

За да изравним горе и долу, разликата е единствено, че горе
имаме минус пред x
2
, тоест трябва долу да умножим по -1, за да
имаме И долу минус пред x
2
:

- x
2
+ 1
x
2
+ 1 /.(-1) = - x
2
– 1

Отново преписвате първия ред, веднага след него и втория ред и
променяте знаците на числата от втория ред:

- x
2
+ 1 + x
2
+ 1

Получава се отговор: 2

Записваме си отговора, а под него ОТНОВО преписваме Q2(x):

2
x
2
+ 1


НЕ можем да умножаваме първия ред, а само втория! Вече не
можем да изравним, значи задачата е приключила.

Сега преглеждаме задачата отново отгоре надолу и си записваме
ПО КАКВО УМНОЖАВАХМЕ ВТОРИЯ РЕД ЗА ДА ГО ИЗРАВНЯВАМЕ С ПЪРВИЯ
ВСЕКИ ПЪТ.

Първия път, за да изравним долното и горното, умножихме
долното по -12x
4
.

Втория път, за да ги изравним, умножихме по 4x
3
.

Третия път, за да ги изравним, умножихме по 9x
2
.

Четвъртия път, за да ги изравним, умножихме по -1.

Накрая не можахме да изравним горното и долното и ни остана
едно число 2.

Сега си записваме, че остатъкът R(x) е равен на числата, с
които умножавахме втория ред, за да го изравним с първия .
Знаците, пред числата, се преписват . Тоест:

R(x) = - 12x
4
+ 4x
3
+ 9x
2
– 1

Остатъкът е 2, защото получихме числото 2 накрая, което не
успяхме да го направим нищо.

С това задачата ви е завършена! 