Множество. Алгебра на множествата

§
1
. Множество. Алгебра на множествата

Знанията за множества са необходими за учителите в началните класове първо – за ра
з
биране съдържанието на началния Знанията за множества са необходими за учителите в началните класове първо – за разбиране съдържанието на началния курс по математика, независимо дали явно или неявно в него се използват теоретико-множествени понятия, и второ – за усвояване на такива важн
и от професионална гледна точка понятия като взаимно-еднозначно съответствие,

релация, число, геометрична фигура.
Теоретико-множественият подход позвол
я
ва да се види общото във въпросите на училищната математика, които на пръв поглед са отдалечени един от друг. Например от теоретико-множествена гледна точка числова функция на
ч
ислов аргумент, г
е
ометрични преобразувания, измерване, и др. са

различни а
спекти на
едно и с
ъщо поняти
е - изображение на множества.
1. Осно
в
ни понятия в теорията на множествата
.
Понятието множество или още съвкупност е едно от основните матем
а
тически понятия. То се е породило от необходимостта да се обозначат и опишат съвкупности от обекти като едно цяло.
Дялът
о
-

съвкупността от дните в седмицата;
-

съвкупността от месеците и др.
В началния курс когато искаме да се съедини т.EMBE
D
Equation.3
 с точки - съвкупността от месеците и др.
В началния курс когато искаме да се съедини т.EMBED Equation.3
 с точки  EMBED Equation.DSMT4В началния курс когато искаме да се съедини т.EMBED Equation.3
 с точки  EMBED Equation.DSMT4 
и  EMBED Equation.DSMT4 
 и
да се напишат означенията на тези отсечки в същност се написва множество от о
т
сечки, единият край на които е т.EMBED Equation.3
 , т.е.  EMBED Equa
t
ion.DSMT4 
. Същият характер има и задачата, в която трябва да се напишат всички отсечки, изобразени на дадена рисунка.
Едно множество може да бъде зададено и чрез т.нар. х
а
рактеристично сво
й
ство.
Пример 2. Множеството на четните числа
EMBED Equa
tion.3

се състо
и от всичк
ите естествени числа, които са кратни
н
а EMBED Equation.3
. Това можем д
а
запишем така: EMBED Equation.3
. Тук характеристичното свойст
в
о (кратни на  EMBED Equation.DSMT4 
) е записано с равенството EMBED Equation.3
.
Следователно, характеристичнот
о
3
.
транзитивност – за всеки три множе
с
т
ва EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
, от EMBED Eq
u
ation.3
 и EMBED Equation.3
 следва EMBED Equation.3
.
Определение 3. Ако EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
, то се казва, че EMBED Equation.3
 строго се включва в EMBED Equation.3
. Означава се с "EMBED Equation.3
". Ако EMBED Equation.3
, то се казва още,
че EMBED Equation.3
 е истинско подмножество на EMBED Equation.3

От опр
е
деление 3 непосредствено следват свойствата на тази релация:
1. антирефле
к
ност – никое множество не е истинско подмножество на себе си;
2. транзитивност – за всеки три множества EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
 ако E
О
пределение 3. Ако

т
о се казва
, че EMB
ED Equati
on.3
 ст
рого се включва в EMBED Equation.3

.
Означава се с "EMBED Equation.3

"
. Ако EMBED Equation.3
, то се казва още, че EMBED Equation.3
От определение 3 непосредствено следват свойствата на тази релация:
1
.


2) EMBED Equation.DSM
T
4

-първо се извършва  EMBED Equation.DSMT4 
,т.е.  EMBED Equation.DSMT4 
;
В някои теории всичките множества, които се разглеждат, принадлежат на едно множество, което се нарича универсално за тази теория. Ще го означаваме с EMBED Equation.3
.
Например, в теорията на числата универсално е множеството на целите числа EMBED Equation.3
, а в планиметрият
а – множеството от всички точки в равнината.
Определение 7. Допълнението на м
н
ожеството В някои теории всичките множества, които се разглеждат, принадл
е
жат на едно множество, което се нарича универсално за тази теория. Ще го означаваме с EMBED Equation.3
.
Например, в теорията на числата универсално е множеството на целите
ч
исла EMBED Equat
i
on.3
, а в планиметрията – множеството от в
с
ички точки
в равнин
ата.
Опр
еделение 7
. Допълнението на множеството EMBED E
q
uation.3
 до универсалното множест
в
о EMBED Equation.3
 се нарича допълнение на EMBED Equation.3
. Означава се с EMBED Equation.3
.
Като се използва Определение 7, лесно се устaновява верността на следните равенст
ва
-

рационалните числа се делят на поло
ж
и
телни, отрицателни и нула и др.;
- многоъгълниците –триъгълници, четириъгълници...
- правите-успоредни, пресичащи се, съвпадащи;
Грешки при класификациите :
- числата се разделят на положителни и отрицателни, като се изпуска 0;
- при триъгълниците- многоъгълниците –триъгълници, четириъгълници...
- правите-успоредни, пресичащи се, съвпадащи;
Грешки при класификациите :
- числата се разделят на положителни и отрицателни, като се изпуска 0;
- п- п
р
авите-успоредни, пресичащи се, съвпадащи;
Грешки при класификациите :
- ч
и
слата се разделят на положителни и отрицателни, като се изпуска 0;
- при триъгълниците-разностранни, равГрешки при класификациите :
- числата се разделят на положителни и отриц
а
телни, като се из
п
уска 0;
- при триъг- числата се разделят на п
о
ложителни
и отрицат
елни, кат
о се изпус
ка 0;
- при триъгълниците-разностранни
,
равнобедрени, равностранни и т.н.
Р
а
злагането на множества чрез изреждане на характеристични свойства

се прилага например при решаване на задачи от типа: В класа 24 деца играят - при триъгълниците-разностранни, равнобедрен
и,