Обяснения за Линии на влияние във ферми - доц.д-р.инж. С.Първанова

Строителна статика II част С. Първанова
Договор BG051PO001-4.3.04 „Развитие на електронни форми на дистанционно обучение в системата на
висшето образование”
21
Линии на влияние във ферми
I. Основни положения
Максималните оразмерителни усилия за елемент на коя да е конструкция,
подложена на действието на статични, неподвижни товари, са напълно еднозначно
определени. Когато разглежданият елемент е греда, част от мостова конструкция или
подкранова греда, очевидно той е подложен на действието на подвижни товари, а
екстремните оразмерителни усилия зависят от положението на товара. Определянето на
най-неблагоприятното местоположение на товара, което би довело до екстремни
оразмерителни усилия, става с помощта на линиите на влияние.

Дефиниция: Линията на влияние е графика, показваща изменението на дадена величина
във фиксирано сечение, като функция от положението на концентрирана единична сила,
движеща се по пътното платно.


Линии на влияние за разрезни усилия и реакции в проста греда




Ординатите от линията на влияние за
опорната реакция „А“ представляват
стойността на реакцията, в момента когато
силата F=1 е точно над разглежданото
сечение.



Всяка ордината от линията на влияние „Mm“
дава стойността на огъващия момент в
сечение m, когато единичната вертикална,
концентрирана сила е точно над
разглежданата ордината.

Ординатите от „Qm“ линията на влияние
дават стойността на напречната сила в
сечение m, породена от единична сила над
разглежданата ордината.









m
F=1
x l-x
l a1 a2 ()x l x
l

2
xa
l

1
l x a
l

/xl
/l x l
1
/al
2
/al
1
/al
1
/a l l
2
/al
 2
/a l l

“A”
“B”
“Mm”
“Qm”

Строителна статика II част С. Първанова
Договор BG051PO001-4.3.04 „Развитие на електронни форми на дистанционно обучение в системата на
висшето образование”
22
II. Линии на влияние във ферми












Товарите от различни возила, движещи се по пътното платно, се предават върху
възлите на фермата посредством поредица от надлъжни и напречни греди (фиг. 1).
Товарите преминават (попадат) от едно поле в друго, в зависимост от положението на
силите върху надлъжните греди, но върху съответния натоварен пояс от фермата достигат
посредством напречните греди. Това означава, че по отношение на фермата подвижната
концентрирана сила прескача от възел във възел, а ако знаем ординатите на линията на
влияние, за търсена осова сила, в началото и в края на всяко поле (възлите на фермата) е
достатъчно да ги свържем с права линия, за да завършим линията.
Всички методи, които използваме, за да получим нормалните сили в прътите на
фермата от статично приложени неподвижни товари, могат да се приложат за
получаването на линиите на влияние.

Числен пример

Да се построят линиите на влияние за осовите сили в прътите означени на фиг. 2– O4, U4,
D3, V2, D6 and D7.

1. Линии на влияние за прътите от основната ферма
1.1 Линия на влияние за O4
За да построим линията на влияние за осовата сила в прът O4 можем да направим
Ритеров разрез I-I през три от прътите във второто поле на основната ферма (фиг. 2).
Когато единичната, вертикална сила е надясно от възел 4 (срязаното поле) е по-
удобно да разгледаме равновесието на отделената лява част (фиг. 2а). Неизвестните осови
сили, в срязаните пръти, с техните положителни посоки за съответните отделени части са
показани на фиг. 2а. Единствената външна сила, която действа върху лявата част е
опорната реакция „А“. От моментово равновесно условие за възел 4 (пресечна точка на
другите два срязани пръти - D3 и U4), разглеждайки лявата част на срязаната ферма, можем
да получим следното уравнение:
4 4 4
2
0 2 0M O h A O A
h



      
.
Фигура 1 Предаване на товарите чрез поредица от надлъжни и напречни греди
Пътно
платно
Надл. греди
Напр. греди
Горен пояс
Пълнежни пръти
Долен пояс
Товар от
колела
Влак от подвижни товари

Строителна статика II част С. Първанова
Договор BG051PO001-4.3.04 „Развитие на електронни форми на дистанционно обучение в системата на
висшето образование”
23
Следователно, когато единичната, концентрирана сила е приложена надясно от възел от 4,
нормалното усилие в прът О4 е равно на линията на влияние за лявата опорна реакция
умножена по  2/h . Същевременно произведението 2A е числено равно на
огъващия момент 0
4
M , действащ в напречното сечение непосредствено под възел 4
(Ритеровата точка) на еквивалентна проста греда (фиг. 3б).
От горе изложеното става ясно, че докато подвижният товар е надясно от срязаното
поле линията на влияние „О4“ по вид е същата както линията на влияние за опорната
реакция „А“ умножена по  2/h (Вж. фиг. 3а).
Когато единичното концентрирано въздействие е наляво от възел 2, осовата сила
О4 може да се получи като разгледаме равновесието на дясната част от срязаната ферма: 4 4 4
00M O h B O B
h



      
.
В този случай линията на влияние за разглежданата сила е равна на линията на влияние за
дясната опорна реакция „В“ умножена по  /h . И тук, както при разгледаната лява част, B
е огъващият момент 0
4
M в еквивалентна проста за напречно сечение непосредствено
под Ритеровата точка – възел 4 (фиг. 3б).
Ако горните изводи са извършени коректно, двете линейни функции,
съответстващи на двете разгледани части от срязаната ферма, трябва да се пресекат под
възел 4 (фиг. 3а).
Друг начин да получим същата линия на влияние е като отчетем факта, че 2A и B
е равно на 0
4
M , откъдето за търсената линия на влияние О4 получаваме: 0
44
/O M h
.
На базата на гореизложеното можем да направим следния извод: Линиите на
влияние за пръти, принадлежащи на горния или долния пояс, могат да се получат
чрез линията на влияние за огъващ момент в сечение съответно на Ритеровата
точка в еквивалентна на фермата проста греда. Линията на влияние за горно- или
долно- поясни пръти е равна на линията на влияние за съответния огъващ момент в
еквивалентна проста греда, разделен на рамото на съответния прът спрямо
Ритеровата точка (0
/Mr , r е рамо, в случай на успоредни пояси r=h).
Знакът на линията на влияние (0
/Mr ) може да се определи като се ползва
аналогия положителните посоки на огъващите моменти в гредовата теория. Когато
положителната посока на разглежданата осова сила върти спрямо Ритеровата точка по
посока на положителния огъващ момент, за съответната разглеждана част в
еквивалентната проста греда, тогава търсената линия на влияние е 0
/Mr . Обратно,
когато моментът на силата спрямо Ритеровата точка е в обратна посока на положителният
огъващ момент в гредата, търсената линия на влияние е 0
/Mr .

Строителна статика II част С. Първанова
Договор BG051PO001-4.3.04 „Развитие на електронни форми на дистанционно обучение в системата на
висшето образование”
24
`















































в)
α7
α7
α6
α3
3

3

U4
V
2

D3
D6
D7
O4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
8’
7’
6’
5’
0’ 2’ 4’
1’
3’
λ=6 6 6 6
h=6

2λ=12
Сечение IV-IV
дясна част
Сечение III-III
дясна част
Сечение I-I
дясна част
Сечение I-I
лява част
D7
D6h
II I O4
II I
III
III
IV
IV U4
V
2

D3
D6
D7
0 2 4 6 8
8’
6’
0’ 2’ 4’
U4
D3
O4 O4
D3
U4
V
2

O2
O4
D6
O6
U6
U6
D6
O6
O8
U7
4
4’
4 2
A B
D3h
D3v
D3v
D3h
A
2’ 4’
D6
D6h
D6h
D6v
D6
9
9
9
B
A
D7 D7v
D7h
6
6’
6
6’
4
4’
4’
4
2
2’
6
6’
8’
8
2
Сечение II-II
лява част
Сечение III-III
лява част
2λ=12
3λ=18
Фигура 2 Ритерови разрези
a)
б)
в)
г)
α3
α6
α3
α3
α6
α6
α7

Строителна статика II част С. Първанова
Договор BG051PO001-4.3.04 „Развитие на електронни форми на дистанционно обучение в системата на
висшето образование”
25
















































U4
V
2

D3
D6
D7
0 2 4 6 8
8’
6’
0’ 2’ 4’
A B
“A”
1
“B”
1
-λ/h·”B”=- ”B”
-2λ/h·”A”=- 2”A”
0.6667
“O4”=-“0
4
M ”/h
O4
“0
4
M ”
2λ· λ/(3λ)=12·6/18=4
“0
2'
M ”
λ· 2λ/(3λ)=6·12/18=4
“U4”=“0
2'
M ”/h
0.6667
- ”B”/sinα3
”A”/sinα3
“D3”=“0
24
Q
 ”/ sinα3
0.4714
0.4714
“0
24
Q
 ”
0.3333
0.3333
0.3333
0.3333
“V2”=-“0
24
Q
 ”
“D6”
-1.5·”A”/ sinα6
-0.75·”B”/ sinα6
“D7”
2/ (3sinα7)=1.4907
λ=6 6 6 6
h=6

2λ=12
A B
2 4
2’ 4’
+
-
+
-
+
+
-
-
+
+
-
-
+
-
+
- -
-
+
+ +
-
+
Фигура 3 Линии на
влияние за осн. ферма
Еквивалентна проста греда
a)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
0.83333
0.83333

Строителна статика II част С. Първанова
Договор BG051PO001-4.3.04 „Развитие на електронни форми на дистанционно обучение в системата на
висшето образование”
26
1.2 Линия на влияние за U4.
Ритеровият разрез, който ще ползваме, за да построим линията на влияние за U4 е
отново I-I, Ритеровата точка е 2’ (фиг. 2a). Ако разгледаме отделена лява част,
положителната осова сила U4 върти спрямо 2’ обратно на часовниковата стрелка.
Положителният огъващ момент за лявата част на еквивалентна проста греда е отново
обратно на часовата стрелка, следователно 0
4 2'
/U M h (фиг. 3в,г).
1.3 Линия на влияние за D3.
Когато единичната, вертикална сила е надясно от срязаното сечение (възел 4),
равновесното условие, от което ще получим D3 е сума от вертикалните проекции на всички
сили, действащи върху лявата част от срязаната ферма (фиг. 2а): 3
0
v
AD
или 3v
DA съответно 3
3
sin
A
D

 .
Когато единичната сила е наляво от срязаното поле (наляво от възел 2) същото равновесно
условие, но разписано за дясната част от фермата е: 3
0
v
DB
или 3v
DB съответно 3
3
sin
B
D


 .
По такъв начин получихме линията на влияние за D3 като функция на двете опорни
реакции А и B, приложими съответно за участъци 4-8 и 0-2 (фиг. 3д). Доколкото
единичната сила прескача от възел във възел на фермата, участъкът между възли 2 и