Сборник по Съпротивление на материалите

С"#$%&' '($)#*& +а-а.&
/# )0/$#1&*23%&3 %а 4а13$&а2&13
+а )1(-3%1&13 #1 II '($) %а УАСГ
() $393%& /$&43$%& +а-а.&)










-#;.-=$ С*312а%а Л&2'#*а=Ма$'#*а, A2.а). -=$ Д&4&10$ Л#2#*




С#C&D
2013A.

2


I. У'а+а%&D +а &+A#1*D%3 %а '($)#*&13 +а-а.&
/# СЪПРОТИВЛЕНИЕ НА МАТЕРИАЛИТЕ






И+S#-%& -а%%& +а '($)#*&13 +а-а.&:
В "а$а%&'& "а ()*)('+,а -()./ ('01)"' 2&%0$а-а "&*),а "а - а,/а"'а
.0,(&-/ 3а1а$/, .&/'& ',56-а 1а ,)7/.
Да""/') 3а :)&*)',/$"/') ;а,а.'),/('/./ / "а'&-а,-а ")'& - 0(%&-/)'& "а
-(5.а 3а1а$а (а 1а1)"/ - 3а-/(/*&(' &' </=,/') "а =а.0%') '"/5 "&*), "а
('01)"'а. >
.
4321
KKKKА.& "&*),+' ) ',/</=,)", '& () 2,/)*а .0K
1
=



И+&)'*а%&D +а #C#$4D%3 %а '($)#*&13 +а-а.&
С)*)(',/а%"/') 3а1а$/ () 2/7а' ) 4#2&* "а %/('а =&,*а' А4. На$),'а-а
() ,а*.а, &'('&5Cа "а 1 cm &' :&,"/5, 1&%"/5 / 1)("/5 .,аE "а %/('а / "а 2.5 cm
&' %)-/5.
На *)3'& %/(' ) S&4&'а2 () 3а2/(-а' "&*),+' "а -а,/а"'а ( - :&,"/5 1)()"
+:+% "а ,а*.а'а ) / =а.0%')'"/5' "&*), "а ('01)"'а ( - 1&%"/5 E 1)()" +:+% ).
П&%)3"& ) 2,)1/ ,)7а-а")'& "а -(5.а .0,(&-а 3а1а$а 1а () 2,&0$а'
%).<//') / 02,аK")"/5'а -+- -,+3.а (+( (+&'-)'"а'а ')*а. Б/ 6/%& 1&6,) 1а ()
0(-&/ / 1а1)"/5' ,)7)" 2,/*),. П& '&3/ "а$/" "а ,а6&'а ('01)"'+' C) ,)7/ 2&>
%)("& / &=&,*/ 2&>1&6,) (-&5'а .0,(&-а 3а1а$а.

3

II. У)2#*&D %а '($)#*&13 +а-а.&

К($)#*а +а-а.а N1: Ра#$%#&' ()'*'+ &а $а,&'&&- &а.-,а$%&а
/$а,а 0$%1а
За 2&.а3а"а'а :,)1а () /(.а:
а) 1а () &2,)1)%5' &2&,"/') ,)а.<//;
6) 1а () 3а2/7а' /3,а3/') 3а =0".<//') "а ,а3,)3"/') 0(/%/5 -+- -()./
0$а('+.;
-) 1а () "а$),'а5' *аCа6"& 1/а:,а*/') "а ,а3,)3"/') 0(/%/5;
:) 1а () /3-+,7а' (%)1"/') 2,&-),./: 1/=),)"</а%"а, 3а -/1а "а
1/а:,а*/'), 2%&C"а / ( 2,а-/%а'а 3а (.&.&-)').

[] [] [];mK.1,02c;mK.1,04b;mK.1,03a
342
+=+=+=
[ ] [] [].mkNK30M;kNK10F;m/kNK10q
342
+=+=+=


К($)#*а +а-а.а N2: Ра#$%#&' ()'*'+ &а $а,&'&&- &а.-,а$%&а
2-&).$(23'+ ) &а4(/%&а -)
За 2&.а3а"а'а .&"(',0.</5 () /(.а:
а) 1а () &2,)1)%5' &2&,"/') ,)а.<//;
6) 1а () 3а2/7а' /3,а3/') 3а =0".<//') "а ,а3,)3"/') 0(/%/5 -+- -()./
0$а('+.;
-) 1а () "а$),'а5' *аCа6"& 1/а:,а*/') "а ,а3,)3"/') 0(/%/5;
:) 1а () /3-+,7а' (%)1"/') 2,&-),./: 1/=),)"</а%"а, 3а -/1а "а
1/а:,а*/'), 2%&C"а, ( 2,а-/%а'а 3а (.&.&-)') / ( /3,53-а") "а -+3%/').
[] [] [] ;m2d;mK.3,05,2c;mK.2,03b;mK.1,02a
234
=+=+=+=
[ ] [] [];mkNK40M;kNK20F;m/kNK15q
234
+=+=+=
[ ].m/kNK10t
2
+=

4

К($)#*а +а-а.а N3: Ра#$%#&' ()'*'+ , /$-).$а&).,%&-
&а.-,а$%&а 2-&).$(23'+
За 2&.а3а"а'а :,)1а () /(.а:
а) 1а () &2,)1)%5' &2&,"/') ,)а.<//;
6) 1а () 3а2/7а' /3,а3/') 3а =0".<//') "а ,а3,)3"/') 0(/%/5 -+- -()./
0$а('+.;
-) 1а () "а$),'а5' *аCа6"& 1/а:,а*/') "а ,а3,)3"/') 0(/%/5;
:) 1а () /3-+,7а' (%)1"/') 2,&-),./: ( /3,53-а") "а - +3)%
B, 3а -/1а "а
1/а:,а*/'), 1/=),)"</а%"а / 2%&C"а.
[] [];mK.1,04b;mK.1,03a
42
+=+=
[ ] [ ] [ ];/15;/12;/10
222
mmkNKmmkNKtmkNKq
t
+=+=+=
[] [].mkNK30M;kNK10F
34
+=+=


К($)#*а +а-а.а N4: Д,(6%$&- &а/$%0&а.- )7).-+&'%
Да1)"/ (а "а2,)K)"/5'а -+,;0 1-) -3а/*"& 2),2)"1/.0%5 ,"/ 2%&Cа1./,
,а32&%&K)"/ 6)3.,аE"& 6%/3& 1& '&$.а &' ,а-"/""& "а2,):"а'& '5%&:

()( )[ ];cm/kNK1,031
2
4
3K
x
+−=σ ()( )[ ];cm/kNK21
2
4
2K
y +−=σ
()( )[ ].cm/kNK.3,021
2
3
4K
yxxy +−==ττ
Да () &2,)1)%5' а"а%/'/$"&:
а) :%а-"/') "&,*а%"/ "а2,)K)"/5
1
σ /
2
σ, а (+C& / +:%/')
1
α /
2
α, .&/'&
"&,*а%/') "а ');"/') 2%&Cа1./ (.%P$-а' ( &('а
x;
6) ).(',)*"/') ('&E"&('/ "а 'а":)"</а%"/') "а2,)K)" /5
max
τ /
min
τ, а
(+C& / "&,*а%"/') "а2,)K)"/5
med
σ -+,;0 ');"/') 2%&Cа1./;
-) "&,*а%"&'& "а2,)K)"/)
α
σ / 'а":)"</а%"&'&
α
τ -+,;0 2%&Cа1.а, $/5'&
"&,*а%а (.%P$-а +:+%
()( )
0
3
2
K
K251 +−=α ( &('а x.
Да () /3-+,7/ / :,а=/$"& ,)7)"/) ( &.,+K"&(''а "а М&,. В+,;0 ")5 1а ()
&3"а$а' -(/$./ ;а,а.'),"/ '&$./, "&,*а%/') "а (+&'-)'"/' ) 2%&Cа1./ /
-).'&,/') "а "&,*а%"/') / 'а":)"</а%"/ "а2,)K)"/5, 3а2/(а"/ (+( ('&E"&('/.

5

К($)#*а +а-а.а N5: Г*а,&' '&%$3'-&&' 6-6%&.' ' -)'
Да () &2,)1)%5' а"а%/'/$"& :%а-"/') /"),</&""/ *&*) "'/ / &(/ 3а
2&.а3а"а'а (+('а-"а =/:0,а.

[] [].cmK.1,012b;cmK.1,015a
42
+=+=


К($)#*а +а-а.а N6: Ч'). -/7& / &а.')2 /$' ).а.'4%)2'
&%-/$%1%*'6' )').%6'
1 #а1. За ,а$'а&.' ) &-6%$а -. 1 1- 15 ' -. 27 1- 30:
Да1)"а'а /1)а%"& '-+,1а :,)1а ) 2&12,5"а 2& "а$/"а, 2&.а3а" "а (;)*а'а.
П,+'/') (а ('&*а")"/. П,+'+' 1 ) ( 2%&C "а "а2,)$"&'& ()$)"/)
1
A, а 2,+'+' 2 –
( 2%&C
2
A.
И(.а ():
а) 1а () &2,)1)%5' &2&,"/') ,)а.<//;
6) 1а () &,а3*),5' 2,+'/'), .а'& "аE>"а2,)1 () &2,)1 )%/ 2%&C'а
1
A. П,/
")5 3а.,+:%5-а")'& 1а () /3-+,7/ 1& 1)()'а &' .-а1,а')" (а"'/*)'+,;
-) 1а () &2,)1)%/ -
cm "а2,)$"&'& "а &('а "а :,)1а'а 2,)*)('-а") "а
()$)"/) D;
:) 1а () /3-+,7/ 2,&-),.а "а "&,*а%"/') "а2,)K)"/5 ( 2&%0$)"/') - 6)
"а2,)$"/ ()$)"/5 "а 2,+'/') 2,/ &'(+('-/) "а -+"7"& "а'&-а,-а"), а 2,&*5"а
"а ')*2),а'0,а'а "а 2,+' 1 ( ()( )[]CK301t
0
4
2K
+−=∆ . К&)=/</)"'+' "а %/")E"&
')*2),а'0,"& ,а37/,)"/) "а ('&*а"а'а )
C
1
10
O
5
t −
=α , а *&10%+' "а %/")E"/')
1)=&,*а<// "а ('&*а"а'а
24
cm/kN10.2E
= . Да1)"& ) / 1&20('/*&'& "а2,)K)"/)
3а ('&*а"а'а
2
adm
cm/kN16
=σ ..
.
2 #а1. За ,а$'а&.' ) &-6%$а -. 16 1- 26:
С'&*а")"а'а .&%&"а ) "а'&-а,)"а (+:%а("& (;)*а'а.
И(.а ():
а) 1а () 2&(',&/ 1/а:,а*а'а "а "&,*а%"/') ,а3,)3"/ 0(/ %/5
N;
6) 1а () &,а3*),/ .&%&"а'а - 1-а'а 0$а('+.а, а.& ) 1 а1)"а 3а-/(/*&(''а
*)K10 2%&C/') "а "а2,)$"/') /* ()$)"/5
1
A /
2
A. Да () &2,)1)%/ "аE>"а2,)1

6

2%&C'а
1
A. П,/ ")5 3а.,+:%5-а")'& 1а () /3-+,7/ 1& 1)()'а &' . -а1,а')"
(а"'/*)'+,.
-) 1а () &2,)1)%/ -
cm 2,)*)('-а")'& "а ()$)"/) B;
:) 1а () /3-+,7/ 2,&-),.а "а "&,*а%"/') "а2,)K)"/5 ( 2&%0$)"/') - 6)
"а2,)$"/ ()$)"/5 - 1-а'а 0$а('+.а 2,/ &'(+('-/) "а -+"7"& " а'&-а,-а"), а
2,&*5"а "а ')*2),а'0,а'а "а .&%&"а'а ( ()( )[]CK301t
0
4
2K
+−=∆ . К&)=/</)"'+'
"а %/")E"& ')*2),а'0,"& ,а37/,)"/) "а ('&*а"а'а )
C
1
10
O
5
t −
=α , а *&10%+' "а
%/")E"/') 1)=&,*а<// "а ('&*а"а'а
24
cm/kN10.2E
= . .Да1)"& ) / 1&20('/*&'&
"а2,)K)"/) 3а ('&*а"а'а
2
adm
cm/kN16=σ .

За 1-а'а '/2а 3а1а$/ (а 1а1)"/:

[] [] [];2,08,1;3,06,1;1,02
333
mKcmKbmKa +=+=+=

[] []
.
m
kN
K30t,K.1,05,1
A
A
;K30;kNK400F
22
2
1
o
42






+=+=
+=+= α



К($)#*а +а-а.а N7: С/%3'а*&- -07,а&%
За ,а$'а&.' 1 1- 9 ' 14 1- 30:
За 2&.а3а"а'а ('&*а")"а :,)1а () /(.а:
а) 1а () 2&(',&5' 1/а:,а*/') "а ,а3,)3"/') 0(/%/5;
6) 1а () /3-+,7/ &,а3*),5-а") 2& IV>'а ')&,/5 "а 5.&(' / 1а () 2&(',&5'
1/а:,а*/') "а "а2,)K)"/5'а - /3(%)1-а"/') ()$)"/5.
-) О2,)1)%%)') -),'/.а%"&'& 2,)*)('-а") / +:+%а "а 3 а-+,'а") "а
()$)"/) С $,)3 /"'):,а%/') "а Ма.(-)%>М&, ,)7)"/ ( 2,а-/%&'& "а В),)7$:/".
П,/ "а2,)$"& ()$)"/), (+('а-)"& &' ('а"1а,'"/ 2,&=/%/, 1а () &2,)1)%5'
"&*),а'а /*.
За ")('а"1а,'"/') ()$)"/5 1а () &2,)1)%/ 2а,а*)'+,+' d. П,/ /36&,а *0
3а.,+:%5-а")'& 1а ) 1& mm.
2
adm
cm/kN16=σ ; ;cm/kN10
2
adm
=τ
24
cm/kN10.2E
=
За ,а$'а&.' 10 1- 13:
За 2&.а3а"а'а ('&*а")"а :,)1а () /(.а:

7

а) 1а () 2&(',&5' 1/а:,а*/') "а ,а3,)3"/') 0(/%/5;
6) 1а () &2,)1)%/ 2а,а*)'+,+' "а "а'&-а,-а")'& q -+,;0 :,)1а'а, .а'& ()
2,/%&K/ IV>'а ')&,/5 "а 5.&('. П,/ /36&,а "а q 3а.,+:%5-а")'& 1а ) 1& <5%&
$/(%&. Да () 2&(',&5' 1/а:,а*/') "а "а2,)K)"/5'а - /3(%)1-а"/') ()$)"/5.
2
adm
cm/kN16=σ ; ;cm/kN10
2
adm
=τ
24
cm/kN10.2E
=
-) О2,)1)%%)') -),'/.а%"&'& 2,)*)('-а") / +:+%а "а 3 а-+,'а") "а
()$)"/) С $,)3 /"'):,а%/') "а Ма.(-)%>М&, ,)7)"/ ( 2,а-/%&'& "а В),)7$:/".


К($)#*а +а-а.а N8: ОIJ- -07,а&%
За 2&.а3а"а'а :,)1а () /(.а:
а) 1а () 2&(',&5' 1/а:,а*/') "а ,а3,)3"/') 0(/%/5;
6) 1а () &,а3*),/ ( 2,а-&+:+%"& "а2,)$"& ()$)"/) &' /:%&%/(')" 1+,-)"
*а'),/а%. Ра3*),/') *0 1а () &2,)1)%5', .а'& () 2,/)*) &'"&7)"/)
z
y
M
M
b
h
=
3а
3а(',а7)"&'& ()$)"/) / 1а ) - (/%а
[ ]2;5.0
b
h
∈
. Да () 2&(',&5' 1/а:,а*/') "а
"&,*а%"/') "а2,)K)"/5
x
σ�/ "а 'а":)"</а%"/')
xyτ/
xz
τ�- 3а(',а7)"/')
()$)"/5. Да1)"/ (а:
2
adm
cm/kN4.1=σ ;
2
adm
cm/kN2.0=τ
-) 1а () &,а3*),/ ( ")('а"1а,'"& ()$)"/) &' ('&*а"а / 1а () "а$),'а)
1/а:,а*а'а 3а "&,*а%"/') "а2,)K)"/5
x
σ�- (+&'-)'"&'& 3а(',а7)"& ()$)"/).
П,/ /36&,а "а 2а,а*)'+,а d, 3а.,+:%5-а")'& 1а ) 1& mm.


К($)#*а +а-а.а N9: Е*а).'4&а *'&'+ &а /$а,а 0$%1а
За 2&.а3а"а'а ('&*а")"а :,)1а () /(.а:
а) 1а () 2&(',&5' 1/а:,а*/') "а ,а3,)3"/') 0(/%/5;
6) 1а () 3а2/7а' ./")*а'/$"/') :,а"/$"/ 0(%&-/5 3а .,а/ Cа'а "а
0$а('+</');
-) 1а () &2,)1)%5' ( а"а%&:/5'а "а М&, -),'/.а%"&'& 2 ,)*)('-а") -
()$)"/) B / 3а-+,'а")'& - ()$)"/) C. Да1)"/ (а *&10%+' "а Ю":
24
cm/kN10.2E
= ; ( )cm/kNk315000I
41
+= /
3
2
1
k5.1
I
I
+=

8

[] [];mK3,03b;mK1,06.2a
33
+=+=
[ ] [] []mkNK30M;kNK20F;m/kNK5q
234
+=+=+=


К($)#*а +а-а.а N10: С/%3'а*&- -07,а&%, 2-6I'&'$а&- ) -/7&
'*' &а.')2. И&.%0$а*' &а Ма2),%*OМ-$
За 2&.а3а"а'а ('&*а")"а :,)1а () /(.а:
а) 1а () 2&(',&5' 1/а:,а*/') "а ,а3,)3"/') 0(/%/5;
6) 1а () &,а3*),/ 0$а('+. АС ( I > 2,&=/% 2& IV>'а ')&,/5 "а 5.&(' / 1а ()
2&(',&5' 1/а:,а*/') "а "а2,)K)"/5'а - /3(%)1-а"/') ()$)"/5.
-) 1а () &2,)1)%/ ( /"'):,а%/') "а Ма.(-)%>М&,, ,)7)"/ ( 2,а-/%&'& "а
В),)7$а:/", &3"а$)"&'& &6&6C)"& 2,)*)('-а").
[] [] [];mK2,02c;mK3,04b;mK1,03a
333
+=+=+=
[ ] [] []mkNK30M;kNK20F;m/kNK1.05q
234
+=+=+=
24
cm/kN10.2E=;
2
adm
cm/kN4.1=σ ;
2
adm
cm/kN2.0=τ

К($)#*а +а-а.а N11: Н%3%&.$'4%& -/7& / &а.')2. Я1$- &а
)%4%&'%.-
За ,а$'а&.' -. 1 1- 15
За 2&.а3а"а'а $0:0")"а .&%&"а () /(.а:
а) 2,/ 1&20('/*/ "а2,)K)"/5
2
,
/10 cmkN
cadm=σ ,
2
t,adm
cm/kN5=σ 1а ()
&2,)1)%/ :&%)*/"а'а "а &2+""а'а (/%а F , 2,/%&K)"а - '&$.а C
0 &' "а2,)$"&'&
()$)"/), / 1а () 2&(',&/ 1/а:,а*а'а "а "&,*а%"/') "а2,)K)"/5
x
σ ;
6) 1а () "а$),'а) 51,&'& "а "а2,)$"&'