Помощни таблици по Строителна механика - Иво Байчев

ИВО БАЙЧЕВ


ПОМОЩНИ ТАБЛИЦИ
ПО СТРОИТЕЛНА МЕХАНИКА
ЗА СТРОИТЕЛНИЯ И ТРАНСПОРТНИЯ ФАКУЛТЕТ
Част І – строителна статика





















УНИВЕРСИТЕТ ПО АРХИТЕКТУРА , СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ
СОФИЯ, 2006

Проф. д-р инж. ИВО ВЕНКОВ БАЙЧЕВ


ПОМОЩНИ ТАБЛИЦИ
ПО СТРОИТЕЛНА МЕХАНИКА
ЗА СТРОИТЕЛНИЯ И ТРАНСПОРТНИЯ ФАКУЛТЕТ
Част І – строителна статика





















УАСГ – УИК – ИЗДАТЕЛСКИ ЦЕНТЪР

Предлаганите таблици по строителна механика, част І – строителна статика, съдържат
схеми и решения, съобразени с обучението на строителните инженери. Те са комплектовани въз
основа на дългогодишния опит и традициите в катедра „Строителна механика” на УАСГ и на
съществуващата справочна литература. Освен за обучаващи се студенти, специализанти и
аспиранти, тези таблици могат да служат и на строителни инженери от практиката, занимаващи
се с проектиране и изчисляване на равнинни рамкови конструкции.
С предварителна благодарност съставителят очаква оценки и препоръки на
адрес: София, бул. „Хр. Смирненски” 1, Университет по архитектура, строителство и
геодезия, катедра „Строителна механика”.





ПОМОЩНИ ТАБЛИЦИ ПО СТРОИТЕЛНА МЕХАНИКА
ЗА СТРОИТЕЛНИЯ И ТРАНСПОРТНИЯ ФАКУЛТЕТ
Част І – строителна статика


Съставител: проф. д-р инж. ИВО БАЙЧЕВ

Националност българска
Шесто преработено издание
Формат 70х100/16
Печ. коли 1,75
Изд. коли 2,27
Тираж 500
Компютърен напор и предпечатна подготовка
Учебен изчислителен комплекс – УАСГ – Издателски център
Печат Полиграфическа база при УАСГ
УНИВЕРСИТЕТ ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ
София, бул. „Христо Смирненски” 1

СЪДЪРЖАНИЕ
Таблица 1. Опорни реакции и диаграми на разрезните усилия в
прости греди и конзоли.................................................................................5
Таблица 2. Подробни ординати на М-диаграми в прости греди..................................9
Таблица 3. Стойности на интегралите () ()
12
0
d
L
Ifxf xx=∫
........................................11
Таблица 4. Числено интегриране и диференциране....................................................13
Таблица 5. Опорни завъртания за решаване на непрекъснати греди.........................15
Таблица 6. Опорни реакции в статически неопределими елементи с
постоянно напречно сечение......................................................................16
Таблица 7. Функции на формата с отчитане и на ъгловите деформации..................20
Таблица 8. Матрица на коравина за рамкови елементи в локална координатна
система с отчитане влиянието на напречните усилия..............................22
Таблица 9. Трансформационна (трансформираща) матрица за
равнинни рамкови елементи.......................................................................24
Таблица 10. Греди с правоъгълно сечение върху еластична основа −
метод на началните параметри...................................................................25
Литература .......................................................................................................................28


3

Таблица 1.
Диаграми и реакции в статически определими едноотворни греди и конзоли
1 2
3 4
5 6
7 8

5

Таблица 1 – продължение 1
9 10
11 12

13

14

6

Таблица 1 – продължение 2
15 16
17 18


7

Таблица 1 – продължение 3
()2
6
ab
LA qq=+
()4
6
abc
L
Bqqq=++

()2
6
bc
L
Cqq=+

( )
2
16
ab
D
qqL
M
+
=
,
()
2
16
bc
E
qqL
M
+
=

( )
24
ba
D
qqL
Q
−
=
,
( )
24
cb
E
qqL
Q
−
=

19

()76
24
abc
LA qqq=+−
()10
12
ab
L
Bqqq=++
c


()67
24
abc
L
Cqq=−++
q
()
2
19 34 5
384
D ab
L
c
M qqq=+−
()
2
53419
384
Eab
L
c
M qqq=−++
( )
24
ba
D
qqL
Q
−
=
,
( )
24
cb
E
qqL
Q
−
=

20

()2
6
ad
LA qq=+
()
3
dbe
L
Bqqq=++

()2
6
ec
L
Cqq=+

()
2
10
96
D ad
L
b
M qqq=++
()
2
10
96
Ebe
L
c
M qqq=++
( )
24
ba
D
qqL
Q
−
=
,
( )
24
cb
E
qqL
Q
−
=

21


8

Таблица 2.
Подробни ординати на М-диаграми в прости греди
Числата и
1
ω
2
ω служат за изчис-
ляване на ординатите на моментовите
диаграми в прости греди, натоварени с
равномерно разпределен и триъгълников
товар. Те могат да се използват и за изчер-
таване на квадратни и кубични параболи
от вида, показан на фиг. 2.2 и 2.3. В таб-
лиците са дадени



Фиг. 2.1
ω-числата за т. при
разделяне на интервала на равни части
(фиг. 2.1).
i
n



Таблица за числата
1
ω
2
1
8
qL
M
= ω
1
41
x x
LL
⎛⎞
ω= −
⎜⎟
⎝⎠


1
yf=ω
Фиг. 2.2


i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
1,0000 2
0,8889 0,8889 3
0,7500 1,000 0,7500 4
0,6400 0,9600 0,9600 0,6400 5
0,5556 0,8889 1,0000 0,8889 0,5556 6
0,4898 0,8163 0,9796 0,9796 0,8163 0,4898 7
0,4375 0,7500 0,9375 1,0000 0,9375 0,7500 0,4375 8
0,3951 0,6914 0,8889 0,9877 0,9877 0,8889 0,6914 0,3951 9
0,3600 0,6400 0,8400 0,9600 1,0000 0,9600 0,8400 0,6400 0,3600 10
9

Таблица за числата
2
ω
2
16
qL
M= ω,
2
2 2
8
1
3
x x
L L
⎛⎞
ω= −⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

.
Фиг. 2.3



i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
1,0000 2
0,7901 0,9877 3
0,6250 1,000 0,8750 4
0,5120 0,8960 1,0240 0,7680 5
0,4321 0,7901 1,0000 0,9877 0,6790 6
0,3732 0,6997 0,9329 1,0262 0,9329 0,6064 7
0,3281 0,6250 0,8594 1,0000 1,0156 0,8750 0,5469 8
0,2926 0,5633 0,7901 0,9511 1,0242 0,9877 0,8194 0,4975 9
0,2640 0,5120 0,7280 0,8960 1,0000 1,0240 0,9520 0,7680 0,4560 10



При товар с максимална ордината вляво числата се отчитат в обратен ред. В
този случай -числата се означават с "прим", като ω
2
'
2 2
8
23
3
x xx
LL L
⎛⎞
ω= − +⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

10

Таблица 3.
Стойности на интегралите () ()
12
0
d
L
Ifxf xx=∫

Указания за използване на таблицата

1. Формулите се тълкуват според взаимното разположение на ординатите на
фигурите (коя ордината под коя се намира – лява под лява, дясна под дясна), а не
според условната им големина, изобразена на схемите.
2. Ординатите могат да бъдат положителни или отрицателни. Те се включват
във формулите със знаците си. Ако ()
1
fxи ()
2
fxса моментови диаграми, стойността
на интеграла е положителна, когато са опънати едни и същи нишки.



Фиг. 3.1 Фиг. 3.2

Фиг. 3.1 представлява трапец ( като схема 4), но с разнозначни ординати. Фиг.
3.2 е аналогична на квадратната парабола от схема 8, също с разнозначни ординати.
тя може да се представи още като сбор или разлика от трапец – фиг. 3.2 и парабола –
фиг. 3.2в (диаграма в проста греда от равномерно разпределен товар).
а
б
3. Квадратните параболи от схеми 5, 6 и 7 имат наклон на тангентата равен на
нула в местата, означени с плътно черно кръгче. Ако параболите са M-диаграми, в
местата с черно кръгче трябва да е равно на нула. В противен случай се ползва
схема 8, където някои от ординатите , или
e може да са и нулеви.
Q
cd
4. Междинните стойности на схеми 5, 8 и 9 са в средите на участъците.
5. Последната схема 9 съответства на моментова диаграма в проста греда от
триъгълен товар. Светлото кръгче отговаря на нулевата ордината на товара.
6. Схемите могат да се комбинират, както е показано на фиг. 3.2. Така се
получават компонентите на съответните диаграми – реперната ( фиг. 3.2 ) и в
простата греда (фиг. 3.2), а стойността на интеграла е сума от стойностите на
съставящите схеми.
б
в
7. Формулите от първата колонка, разделени на дават лицата на фигурите в
ляво
а
()()
2
на fx.


11

Таблица 3.
Стойности на интегралите () ()
12
0
d
L
Ifxf xx=∫

()
1
fx
()
2
fx

1

acL
2
acL

2
acL

()
2
ca bL+

2
2
acL

3
acL

6
acL

( )2
6
cabL+

3
2
acL

6
acL

3
acL

( )2
6
ca bL+

4

()
2
ac d L
+

( )2
6
acdL+

( )2
6
ac d L+

()( )
6
ac a b c d bd L++ ++⎡ ⎤
⎣ ⎦

5

2
3
acL

3
acL

3
acL

()
3
ca bL+

6

3
acL

12
acL

4
acL

( )3
12
ca bL+

7

2
3
acL

4
acL

5
12
acL

( )35
12
ca bL+

8

()4
6
ac e d L++

( )2
6
ac eL+

( )2
6
ad eL+

()2
6
ac e a b bd L+++⎡ ⎤
⎣ ⎦

9

2
3
acL

14
45
acL

16
45
acL

( )27 8
45
ca bL+


12

Таблица 4.
Числено интегриране и диференциране
Дадени са формули за числено интегриране и диференциране, приложими за
функции, зададени със стойностите им през равни разстояния. Ако търсим
произведение на такава функция, например
(4.1) () () ()
12
Fxfxfx= ,
където ()
1
fx и ()
2
fx са дадени с фиг. 4.1 и 4.1 б, то резултатът от умножението е
нова фигура – фиг. 4.1 .
a
в
Аналогично се постъпва и при умножение или деление на повече от две
функции и при повече ординати през равни разстояния.

Фиг. 4.1
Числено интегриране
Според гореизложеното изчисляването на интеграли от вида
()
11
0
d
L
I fxx=∫
, () ()
212
0
d
L
I fxf xx=∫
,
() ()
()
12
3
30
d
L
fxf x
I x
fx
=∫

се свежда до намирането на лице на фигура, например
() () ()
212
00
dd
LL
AIfxfxxFx== =∫∫
x.
Записаните по-долу формули са валидни, ако фигурите са гладки в
разглеждания интервал.
Когато върху три ординати е оформена квадратна или кубична парабола (фиг.
4.2), лицето на фигурата е a
(4.2)
2
2
32 2
ac
Ab
λ⎛⎞
=++
⎜⎟
⎝⎠
.
Ако върху четири ординати е оформена парабола от трета степен (фиг. 4.2),
лицето на фигурата е
б
(4.3) ()
3
33
8
A abcd
λ
=+++ .
Чрез многократно прилагане на (4.2) се получава израз, валиден за произволен
четен брой полета. Например, при шест полета (фиг. 4.2) лицето на фигурата е в
13

Фиг. 4.2

(4.4)
2
222
32 2
ag
А bc de f
λ⎛⎞
=++++++
⎜⎟
⎝⎠
.
При многократно прилагане на (4.3) се получава аналогичен израз, валиден при
разделяне на интеграла на 3
n части ( n е броят на полетата с дължина ). За шест
полета (фиг. 4.2) и за кубична парабола форм. (4.3) добива вида
λ
в
(4.5) ()
3
332 33
8
А abcde fg
λ
=++++++ .
При всички разгледани случаи ординатите могат да бъдат положителни,
отрицателни или нулеви Те се заместват във формулите със знаците си.
Числено диференциране
Ако върху три ординати е оформена парабола от втора степен (фиг. 4.2),
първата производна (наклонът на тангентата) при ординатата се дава с израза
a
a
(4.6) ()
1
tg 3 4
2
a
abc
ϕ=−+−
λ
.
Първата производна при ордината е b
(4.7) ()
1
tg
2
b
acϕ= −+
λ
.
За кубичната парабола от фиг. 4.2 б първата производна при ордината е a
(4.8) ()
1
tg 11 18 9 2
6
a
abcdϕ= − + − +
λ
.
Наклонът на тан