Учебник по Съпротивление на материалите

DRAFT
С Ъ П Р О Т И В Л Е Н И Е
Н А
М А Т Е Р И А Л И Т Е
лекционни записки
за специалностите ТУТ и ИИ
доц. д-р инж. Ивелин Иванов
-2006-

DRAFT

DRAFT
Предговор
Този курс от лекции по съпротивление на материалите е предназначен
за студентите от специалностите „Технологии и управление на транспорта“
(ТУТ) и „Индустриално инженерство“(ИИ) на Русенския университет „Ан-
гел Кънчев“. Продължителността на курса е един семестър с аудиторна зае-
тост от 30 академични часа лекции и 30 часа семинарни упражнения. Целта
на курса е студентите да изучат основните натоварвания на елементите на
конструкциите, машините и механизмите, методите за оценкана тяхната ко-
равина и податливост и оразмеряването им с цел осигуряването на тяхната
якост. Материалът е изложен от простото към сложното. В записките са да-
дени примери, които се използват за поясняване на материалаот лекциите,
както и тези, които се изнасят на семинарните или практически упражнения.
Необходимите за решаването на задачи формули са оградени. Записките мо-
гат да се ползват и от студентите от други специалности, катов бъдеще ще
се о?огатяват с допълнителен ?атериал  глави и задачи.
1

DRAFT
2

DRAFT
Съдържание
1 Въведение 5
1.1 Задачи и методи на науката съпротивление на материалите .. 5
1.2 Схематизация в съпротивление на материалите . . . . . . . . . .6
1.2.1 Схематизация на свойствата на материалите . . . . . . . 6
1.2.2 Схематизация на формата на телата . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Схематизация на натоварването . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Схематизация на кинематичните връзки . . . . . . . . . . 8
2 Опън и натиск 11
2.1 Вътрешни сили . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Деформиране на опънат (натиснат) прът . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Мярка за деформацията . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Връзка между деформации, напрежения и премествания 15
2.3 Изследване на напреженията . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Местни напрежения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Напрежения в наклонени сечения . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Механични характеристики на материалите . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 Изпитване на опън и натиск . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2 Механични характеристики и свойства . . . . . . . . . . . 26
2.4.3 Условие за якост . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Срязване и усукване 37
3.1 Срязване . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Разрезни усилия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Деформации и напрежения при срязване . . . . . . . . . 38
3.1.3 Якостни изчисления на болтови, нитови и щифтови съе-
динения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Усукване на пръти с кръгово напречно сечение . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Разрезни усилия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Деформации и напрежения при усукване на пръти с кръ-
гово напречно сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3

DRAFT
Съдържание
3.2.3 Напрежения в наклонена площадка при усукване . . . . 52
3.3 Усукване на пръти с некръгово напречно сечение . . . . . . . . 54
4 Огъване 57
4.1 Разрезни усилия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Деформации и напрежения при чисто огъване на греди със си-
метрични напречни сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Геометрични характеристики на сеченията при огъване . . .. . 62
4.3.1 Правоъгълно и кръгово напречни сечения . . . . . . . . . 62
4.3.2 Теорема на Щайнер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.3 Рационална форма на напречните сечения при огъване . 63
4.4 Зависимости при напречно огъване . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 Премествания при огъване . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.1 Еластична линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.2 Диференциално уравнение на еластичната линия . . . . 72
4.5.3 Универсално уравнение на еластичната линия . . . . . . 75
4.6 Общо огъване и нецентричен опън-натиск . . . . . . . . . . . . . 79
4.6.1 Общо огъване . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6.2 Нецентричен опън-натиск . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Изкълчване 89
5.1 Понятие за устойчивост . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Формула на Ойлер за критичната сила . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Критична сила при други начини на закрепване . . . . . . . . . 93
5.4 Граница на валидност на формулата на Ойлер . . . . . . . . . . 93
5.5 Определяне на критичното напрежение в нееластичната област 95
6 Сложно напрегнато състояние 101
6.1 Изследване на равнинно напрегнато състояние . . . . . . . . . .101
6.2 Главни напрежения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3 Тримерно напрегнато състояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4 Обобщен закон на Хук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.5 Частни случаи на напрегнато състояние . . . . . . . . . . . . . . 109
7 Теории за якост 113
4

DRAFT
Глава 1
Въведение
§ 1.1. Задачи и методи на науката съпротивление на
материалите
Съпротивление на материалите е наука за якостта и коравината на елемен-
тите на инженерните конструкции.Конструкциитеса неподвижно закрепени
системи от твърди тела със сравнително малки и ограничени премествания за
разлика отмеханизмите. Тази наука може да се разглежда като дял на една
по-обща наука, наречена механика на деформируемото твърдотяло. Съпро-
тивление на материалите се занимава с практическите инженерни изчисления
при проектирането на изделия от твърди материали, касаещи тяхната здрави-
на и податливост на силите, които им въздействат. Името на тази наука идва
от представата, че твърдите тела се съпротивляват до определени граници на
действието на външните сили за да запазят своята цялост, форма и размери.
След преминаването на тази граница те се разрушават, загубвайки целостта
си, или изменят в достатъчна степен формата и размерите си, че загубват
функционалността си като елементи на конструкциите. Предмет на науката
съпротивление на материалите са:
 вътре?ните сили в конструктивните еле?енти;
 якостните сво?ства на ?атериалите;
 ораз?еряването на конструктивните еле?енти;
Механизмите също могат да са предмет на разглеждане от страна на съпро-
тивление на материалите, но при условие, че се разглежда само едно тяхно
равновесно състояние и не се интересува?е от кине?атиката движението
на отделните им елементи.
Проблемът с якостта на конструкциите, на техните елементи,както и на
елементите на механизми, машини и др. съоръжения стои пред човечеството
5

DRAFT
Глава 1. Въведение
от дълбока древност. Поставянето на този проблем на научна основа става
обаче през Средновековието. За родоначалник на науката съпротивление на
материалите се смята Галилео Галилей (1564–1642) с публикуваната през 1638
г. книга „Математически бележки и доказателства“. В книгата се дискутира
якостта на конзолна греда. Напоследък се появиха сведения,че още Леонардо
да Винчи е изпитвал якостта на метални струни и е документирал първите
научни опити в съпротивление на материалите. Основите на тази наука са
положени от Роберт Хук (1678) и Исаак Нютон (1687). Науката съпротивление
на материалите претърпява най-бурно развитие през XVIII и XIX век.
Методите, използвани в науката съпротивление на материалите са тео-
ретични и експериментални. Теоретичните методи използватопростяващи
предпостави и хипотези за да се получат по-прости и практични инженер-
ни формули. Тези предпоставки и хипотези се основават кактона резултати
от експерименталните проучвания, така и на теоретичните изводи от други
клонове на механиката на деформируемото твърдо тяло, какъвто е теория на
еластичността.
§ 1.2. Схематизация в съпротивление на материалите
Всяка наука идеализира обектите, които изучава, като пренебрегва едни
или други свойства или явления свързани с тях за да разкрие по-добре и в
чист вид връзките между други  по-важни. Тези абстракции наобектите че-
сто се наричат модели, а процесът на отстраняване на маловажните свойства
и явления  схематизация.
Съпротивление на материалите също използва схематизация на обектите,
които изучава. Ще изредим по-нататък основните схематизации, които нау-
ката съпротивление на материалите използва.
§ 1.2.1. Схематизация на свойствата на материалите
За описване на свойствата на материалите се използват няколко схемати-
зации:
непрекъсната среда функциите, описващи свойствата, са непрекъ-
снати по отношение на пространствените координати;
еднородност (хомогенност)  независимост на свойствата от място-
то и големината на отделения от материала обем;
идеална еластичност след отстраняване на вън?ното силово въз-
действие, тялото възстановява напълно първоначалната си форма
и размери;
изотропност независимост на свойствата от ориентацията на отде-
ления от материала обем. (Обратното се наричаанизотропност.)
6

DRAFT
1.2. Схематизация в съпротивление на материалите
Първите две схематизации са задължителни в съпротивление на матери-
алите, т.е. всяко твърдо тяло се приема, че представлява еднородна непрекъ-
сната среда. Другите две са опростяващи и се използват по подразбиране в
повечето случаи, но понякога се разглеждат обекти, за коитотези схематиза-
ции не са приети и тогава това се уточнява.
§ 1.2.2. Схематизация на формата на телата
Твърдите тела заемат определен обем в пространството, който притежава
форма, характеризираща се с определени размери. В случаите, когато един
от размерите се отличава силно от останалите могат да се приемат следните
схематизации на формата на телата (фиг. 1.1):
прът ????, ?? ????? ??????? ?????? ? ????? ??-????? ?? ?????????е;
черупка ????, ?? ????? ??????? ?????? ? ????? ??-????? ?? ??????-
лите. Частен случай саплоча– равнинна черупка идиск ??????
плоча.
В този курс по съпротивление на материалите се разглеждат изключително
само пръти.
Фиг. 1.1.Схематизация на
формата: а) прът; б) черупка.
Фиг. 1.2.Означения на схематизираните натоварва-
ния и основните им мерни единици в система SI:F
съсредоточена сила;q ?????????? ?? ?????????????
товар;M ???????????? ??????.
§ 1.2.3. Схематизация на натоварването
Всички реални натоварвания са или повърхнинни сили, които са резултат
от контактното силово взаимодействие на две тела, или обемни сили, които
7

DRAFT
Глава 1. Въведение
са резултат от силовото въздействие на полета  гравитационно, електромаг-
нитно, инерционно (центробежно инерционно) и др. върху телата.
Можем да изредим три схематизации на реалните натоварвания(фиг. 1.2):
разпределен по линия товар  силовото въздействие е приложено
по тясна повърхност от тялото;
съсредоточена сила силовото въздействие е приложено върху мно-
го малка повърхност от тялото;
съсредоточен момент  силовото въздействие може да се представи
като двоица сили  съсредоточени сили, които са равни по големи-
на и противоположни по посока.
§ 1.2.4. Схематизация на кинематичните връзки
Кинематичните връзки са ограничения на преместванията в конструкция-
та или на нейните елементи. Те се делят на външни връзки на конструкцията
с други тела, наречениопории вътрешни връзки между отделните елементи
на конструкцията, наречени простовръзки. Кинематичните връзки трябва
да осигуряткинематичната неизменяемостна конструкцията, т.е. невъзмож