Описание на количествени променливи:

10.2.2017 г.
1
Описание на количествени
променливи:
Централна тенденция –
измерване –силни и слаби страни, случаи на
използване.
Вариране–измерване –
обхват, стандартно отклонение, дисперсия.
Описателен анализ на:
Количествени
данни
Изчисляване на
средни стойности
Изчисляване на
честотни
разпределения
Вариационен анализ
•При разглеждане на стойностите на
количествена променлива в определена
съвкупност, наблюдаваме двеосновни
свойства:
–Вариабилност(вариране)
•Ако имаме група индивиди от един и
същи вид, напр. момичета на възраст
между 1 и 3 години и измерваме ръста
им, ще получим различни стойности
–Стремеж към определено средно ниво ,
•около което се разполагат
индивидуалните стойности на
променливата, т.е. установява се
определена ЦЕНТРАЛНА ТЕНДЕНЦИЯ .
Вариране
Качествен признак
Степен на
заболяване
Значения
Много тежка
Тежка
Лека
Много лека
Количествен признак
Възраст на родилки
Значения
Брой години
Различие на значенията на изучаваните
признаци
Вариране
при количествени данни
Обичайно в медицинската статистика
Вариране Вариране при
количествени
признаци
=

10.2.2017 г.
2
Представяне на количествените
данни
•Преди да се пристъпи към изчисляване на
описателните характеристики на
количествените променливи, изходните
данни трябва да се представят в подходящ
вид:
–Графично–хистограма или полигон;
–Честотно разпределение –групиран или
интервален вариационен ред.
Представяне на данните във
вариационни редове
Честотното разпределение
(вариационният ред) представлява
ред от числени
стойности, характеризиращи дадена
количествена променлива при всеки
отделен случай подредени
обикновено във възходящ ред.
Представяне на данните във
вариационни редове
Всеки вариационен ред има следните
основни елементи:
Стойност на променливата –х
1, х
2,...х
n
;
Честота–f(колко пъти се повтаря дадена
стойност на променливата в конкретния
вариационен ред;
Лимит (размах) d–разлика между най-
ниската и най-високата стойност на
променливата величина.
Първа стъпка от анализа
Представяне на данните
Във вид на прост
вариационен
ред
n x (год.)
1 16
2 18
3 21
4 23
5 23
6 25
7 27
8 27
9 28
10 30
11 30
12 33
13 35
14 35
15 36
Представяне на данните
Във вид на
степенен
вариационен ред
x (год.) f (честота)
16 1
18 1
21 1
23 2
25 1
27 2
28 1
30 2
33 1
35 2
36 1
Представяне на данните
Във вид на
интервален
вариационен
ред
x (год.) f (честота)
16 -20 2
21 -25 4
26 -30 5
31 -35 3
36 -40 1

10.2.2017 г.
3
Описателен анализ
Ниво I Честотни
разпределения
Ниво I
Абсолютно
честотно
разпределение
x (год.) f (честота)
16 1
18 1
21 1
23 2
25 1
27 2
28 1
30 2
33 1
35 2
36 1
Ниво I
Относително
честотно
разпределение
x (год.)
Относителна
честота (%)
16 6.7
18 6.7
21 6.7
23 13.3
25 6.7
27 13.3
28 6.7
30 13.3
33 6.7
35 13.3
36 6.7
Ниво I
Кумулативно
честотно
разпределение
Месец
Брой
непълонолетни
родилки
С
натрупване
С
натрупван
е
1 4 4 4
2 3 4+3 7
3 1 7+1 8
4 4 8+4 12
5 2 12+2 14
6 3 14+3 17
7 1 17+1 18
8 0 18+0 18
9 2 18+2 20
10 1 20+1 21
11 3 21+3 24
12 1 24+1 25
Ниво II
Изчисляване на обобщаващи
цифрови показатели
Обобщаващи показатели
Единични
стойности
Характеризират
варирането на
отделните
стойности

10.2.2017 г.
4
Варирането се поражда от …
Определящи
причини
Закономерности
Ръст
Пол
Неопределящи
причини
Случайности
Ръст
Трудови условия
Стоят в основата на
“стремежа” към
определно средно ниво
-Централна тенденция
Стоят в основата на
варирането
Обобщаващи показатели
Измерване влиянието
на закономерностите
(определящите
причини)
Чрез измерване на
ЦЕНТРАЛНАТА
ТЕНДЕНЦИЯ
(средното, типично
ниво)
Измерване влиянието
на случайностите
(неопределящите
причини)
Чрез измерване на
ВАРИРАНЕТО
За описване на централната тенденция
се използват два основни вида средни
величини:
Алгебрични средни величини -средна
аритметична; средна геометрична;
претеглена средна и др.
При изчисляване се включват всички стойности
на изучаваната променлива в емпиричното
разпределение;
Позиционни средни величини –медиана;
мода, квартили, персентили.
Зависят от броя на стойностите и местата, които
заемат в даденото честотно разпределение при
подреждането на измерените стойности във
възходящ или нисходящ ред;
Измерване на централната
тенденция
Чрез
Средна
аритметична
величина
Медиана
Мода
Средна аритметична величина
Най-често използваната мярка за
централна тенденция;
Означава се с:
(хикс черта) -за извадка;
µ(мю) -за популация;
Подходите за изчисляване зависят от
начина на представяне на изходните
данни и броя на наблюдаваните
случаи:
Средна аритметична величина
При прост
(непретеглен)
вариационен
ред
n x (год.)
1 16
2 18
3 21
4 23
5 23
6 25
7 27
8 27
9 28
10 30
11 30
12 33
13 35
14 35
15 36
при n< 30n
x
x



10.2.2017 г.
5
Средна аритметична величина
При степенен
вариационен
ред


f
fx
x
*
x (год.) f (честота) x*f
16 1
16*1=16
18 1
18*1=18
21 1
21*1=21
23 2
23*2=46
25 1
25*1=25
27 2
27*2=54
28 1 28*1=28
30 2 30*2=60
33 1 33*1=33
35 2 35*2=70
36 1 36*1=36
∑15 ∑407
Средна аритметична величина
При интервален
вариационен
ред
x (год.) f (честота)
16 -20 2
21 -25 4
26 -30 5
31 -35 3
36 -40 1
с–полусумата от
горната и долна
граница на
интервала


f
fc
x
*
Средна аритметична величина
•с –полусумата от
горната и долна
граница на
интервала


f
fc
x
*
x (см) f c c*f
46 -48 15(46+48)/2 47*15
49 -51 70(49+51)/2 50*70
52 -54 15(52+54)/2 53*15
∑f =100 ∑c*f =
Средна аритметична величина
x (см) f c c*f
46 -48 15 47 705
49 -51 70 50 3500
52 -54 15 53 795
∑f = 100
∑c*f=5 00050
100
5000
x
•Предпочитана мярка за интервалниили
пропорционални данни.
•Не се използваза дискретни данни.
•Чувствителна към всичкистойности в
извадката (всяко число от данните влияе на
средната стойност), което я прави много по-
мощна мярка от медианата или модата.
•Чувствителността на средната стойност към
всички стойности я прави особено
чувствителна към екстремните стойности , т.е.
при наличието на екстремни стойности за
предпочитане е да се използва медианата.
Средна аритметична величина Средна аритметична величина
•Най-честоизползваната мярка за централна
тенденция;
•Предимствое , че посредством едно число тя
замества множество индивидуални различаващи
се стойности и описва типичното ниво на
количествената променлива в изучаваната
съвкупност;
•Характеризира типичното ниво само, когато
емпиричното разпределение е нормално
(симетрично, Гаус-Лапласово) или близко до
нормалното;
–При асиметрични разпределения тя е абстрактна
стойност без реално значение и не може да бъде
мярка за централна тенденция.

10.2.2017 г.
6
Средна аритметична величина
Недостатък
достовеност
Представяната от нея
централна тенденция може
да бъде силно “изкривена”
от малък брой рязко
отличаващи се стойности
Пример: 10 HIV-положителни индивиди при интервюиране са
посочили следния брой сексуални контакти за последните 6
месеца:
2, 4, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 15, 93.
(непретеглен вариационен ред) = 16,1
Σx= 2 + 4 + 4 + 6 +7 + 8 + 10 + 12 + 15 + 93 = 161; n = 10
Тя е по-висока от 9 от посочените стойности сред всички 10
изследвани лица и се раличава твърде много от 10-тата стойност.
Следователно, средната аритметична по никакъв начин не може
да се приеме за типично ниво в този пример.
32
Мода -Мо
•Най-честосрещаната категория или стойност
във вариационен ред
–Ако има повече червениколи, отколкото коли
с друг цвят, тогава стойността на модата
сред цвета на колите е “червен”
•Единственатамярка за централна тенденция,
която може да се използва за номинални
данни.
•Не се влияе от екстремни стойности.
•Чувствителнасамо към най-често срещаната
стойност или категория, не зависи от никакви
други стойности.
•Няма особено значение за непрекъснати
(некатегорийни) данни;
•Използва се почти изключително само за
дискретни променливи.
33
Мода
•Модата не се изчислява, тя просто се
забелязва (най-лесно в графика или
таблица с подредени стойности);
•Ако всички стойности са различни–няма
мода;
•Ако няколкостойности се появяват с
еднаквачестота –няколко моди:
–Бимодалност –данни с два върха (гърбици) с
подобна височина
–Мултимодалност
34
Мода
•Може да се използва с
интервални, пропорционални или
ординалниданни за грубоизчисляване на
централната тенденция ;
•Използва се като средна (единствена) за
номинални данни. В случая се нарича
модална категория (тази, която включва най-
голям брой случаи);
•Основното качество на модата е да
привлича вниманието към разпределения, в
които стойностите се струпват на няколко
места.
Мода -Мо
Стойността на
вариационния ред,
която се среща с
най-голяма
честота
Мо = 6,8 (среща
се два пъти)
n x f
1 5.1 1
2 5.8 1
3 6.1 1
4 6.4 1
5 6.5 1
6 6.8
2
7 6.8
8 6.9 1
9 7.1 1
10 7.2 1
11 7.4 1
12 7.6 1
13 8.2 1
36
Медиана -Ме
•Средната точка в поредица от ранжирани
данни.
–Ако имаме голяма група хора, подредени в редица от най -
младия до най-стария, възрастта на човека, който е в
средата на редицата ще бъде медианата на възрастта на
групата хора
•Половината стойности са над Ме и половината
стойности са под Ме.
•Ако има нечетенброй стойности, Ме ще бъде
стойността на централната точка в поредица от
ранжирани стойности.
•Ако има четенброй стойности, Ме ще бъде
средната стойност от двете централни
стойности.
•Ме не есредната точка от размаха (разликата
между най-голямата и най-малката стойност).

10.2.2017 г.
7
37
Медиана
Няма формула за изчисляване на медианата,
а само процедура:
–Подредете стойностите във възходящ ред
–Ако общият брой на стойностите е нечетен,
стойността на медианата е равна на
стойността, намираща се точно в средата на
реда
–Ако общият брой на стойностите е четен,
медианата ще бъде равна на средната
аритметична от двете централни стойности в
реда
Нечетен брой стойности: 1, 3, 3, 4,6