Приложна математика

1. СВОБОДЕН ВЕКТОР

В тази глава се разглеждат основните понятия и твърдения, отнасящи се до
свободните вектори в равнината. След нейното усвояване ще можете:
- да определяте характеристиките на един свободен вектор;
- да нанасяте свободен вектор в произв олна точка от равнината;
- да събирате свободни вектори;
- да умножавате свободен вектор с реално число;
- да решавате планиметрични задачи, като използвате свободни вектори.

1.1. ВЪВЕДЕНИЕ
При изучаването на математика в училище се отделя голямо място н а
планиметрията, чийто предмет са свойствата на различни геометрични фигури в
равнината. Удобно средство за изразяване на част от тези свойства е
двумерното векторно пространство, на което е посветена тази глава. Първо се
дефинират понятията насочена отсечка и свободен вектор, а след това се
въвеждат така наречените афинни операции с вектори . Използването на
свободните вектори и афинните операции с тях позволяват точно да се
формулират и ефектно да се решават задачи, свързани със среда на отсечка,
медицентър на триъгълник, успоредник и трапец, условия три точки да лежат
на една права и две прави да са успоредни.

1.2. ОСНОВНИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Определение 1 . Отсечка, на която единият край се приема за първи, а
другият край за втори, се нарича насочена отсечка и се означава (вж.
фиг. 1.).
Всяка насочена отсечка има две характеристики - дължина и посока.
Дължината на насочената отсечка е равна на дължината на отсечката ,
т.е. . Насочената отсечка се нарича нулева и единствено тя има
дължина нула. За втората характеристика (посока) е необходимо да се
разгледат два случая. Две ненулеви насочени отсечки и , които лежат на
успоредни прави, наричаме еднопосочно кол инеарни, ако точките и са в
една полуравнина относно правата (фиг. 1а.). Две ненулеви насочени
отсечки и , които лежат на една и съща права, наричаме еднопосочно

колинеарни, ако:
- е между и , а е между и ; или е между и , а е между и
(фиг. 1б.);
- е между и , но не е между и ; или е между и , но не е между
и (фиг. 1в.).

а) б) в)
Фиг. 1.
За еднопосочно колинеарни насочени отсечки използваме означението
. Две ненулеви насочени отсечки, които или лежат на една и съща
права, или на две успоредни прави, наричаме противопосочно колинеарни, ако
не са еднопосочно колинеарни. На фиг. 1. насочените отсечки и са
противопосочно колинеарни, което означаваме по следния начин: .
Две насочени отсечки имат една и съща посока, а ко те удовлетворяват точно
едно от горните условия за еднопосочно колинеарни насочени отсечки.
Определение 2. Две насочени отсечки и са равни, ако те имат една и
съща дължина и освен това са еднопосочно колинеарни. Записано символично:
, ако и .
Например на фиг. 1. , но и .
Определение 3. Множеството от една насочена отсечка и всички равни на
нея насочени отсечки в равнината се нарича свободен вектор .

Фиг. 2.
Свободният вектор се означава с малка латинска буква и стрелка отгоре,
например . Насочената отсечка се нарича представител на свободния
вектор , което се записва . Ясно е, че свободният вектор се определя с
всеки един от своите представители.
Ако е произволна точка в равнината, съществува единствена точка такава,
че насочената отсечка е представител на свободния вектор . Наистина
точка е четвъртият връх на успоредника , т.е. еднозначно се определя
от условията и (вж. фиг. 2.). Построяването на се нарича
нанасяне на свободния вектор в точката .
Свободният вектор с представител насочената отсечка се нарича нулев
свободен вектор и се означава . Свободният вектор с представител се
нарича противоположен на и се означава с .
Съгласно определение 3 всеки свободен вектор има същите характеристики,
както характеристиките на насочена отсечка - дължина и посока, т.е. ,
а посоката на съвпада с посоката на . Нещо повече, два свободни вектора
и са равни ( ), еднопосочно колинеарни ( ) или
противопосочно колинеарни ( ), когато съответно ,
или .
Два свободни вектора наричаме колинеарни (успоредни), ако всеки дв а техни
представителя лежат върху успоредни или съвпадащи прави, т.е. когато
свободните вектори са или еднопосочно колинеарни, или противопосочно
колинеарни. Два свободни вектора наричаме перпендикулярни, ако всеки два
техни представителя лежат върху перпе ндикулярни прави.
За краткост в следващото изложение вместо термина “свободен вектор” ще
използваме термина “вектор”. Означението ще използваме както за
насочена отсечка, така и за свободен вектор, определен от тази насочена
отсечка.

1.3. АФИННИ ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРИ
Събирането на вектори и умножението на вектор с реално число са две

операции, които играят ключова роля при използването на вектори.
Определение 4.1. (правило на триъгълника за събиране на вектори). Сбор на
два вектора и наричаме трети вектор , определен по следния начин: ако
е произволна точка в равнината, е представител на и е
представител на , то насочената отсечка е представител на .
Съкратено записано, ако , , то (фиг. 3а. и 3б.).


а) б) в)
Фиг. 3.
Определение 4.2. (правило на успоредника за събиране на вектори ). Сбор на
два вектора и наричаме трети вектор , определен по следния начин: ако
е произволна точка, и , построяваме успоредника (фиг.
3а и 3в). Тогава .
Двете определения за събиране на вектори са еквивалентни, така че ние можем
да използваме с еднакъв успех, както едното, така и другото.
Определение 5. Произведение на реалното число и свободния вектор се
нарича векторът , определен от условията: 1) ; 2) при и
при .
На фиг. 4. са дадени представителите на векторите , и .

Фиг. 4.
Двете операции - събиране на вектори и умножение на реално число с вектор -
се наричат афинни (или линейни) операции с вектори. От определенията

следват осем основни свойства на тези операции. Ако , и са вектори, а
и - реални числа, то
са изпълнени:
1.
2.
3. за всеки вектор
4. за всеки вектор
5.
6.
7.
8.
Първите четири свойства се отнасят за събирането на вектори, а останалите - за
умножението на реално число с вектор.
Определение 6. Множеството на всички свободни вектори в равнината заедно
с афинните операции, които удовлетворяват изброените осем свойства , се
нарича двумерно векторно пространство.

1.4. ПРИЛОЖЕНИЕ НА АФИННИТЕ ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРИ
Сега ще докажем твърдения, които интерпретират факти от геометрията
посредством векторна терминология.
Теорема 1. Два вектора и са колинеарни точно тогава, когато
съществува реално число такова, че .
Доказателство . Нека и са колинеарни, т.е. . Тогава, ако и

, то . Аналогично, ако и , то .
Обратно, нека . Тогава според определение 5, двата вектора и са
колинеарни.
Непосредствено от теорема 1 получаваме следните твърдения.
Следствие 1.1. Ако , и са три точки в равнината и е различна от , то
точка лежи на правата , т.е. трите точки лежат на една права, точно
когато съществува число такова, че .
Следствие 1.2. Нека е изпъкнал четириъгълник в равнината. Тогава
а) е успоредник точно когато ;
б) е трапец точно когато ( е положително реално число,
различно от 1) или ( е положително реално число, различно от 1).
Теорема 2. Нека , и са три точки в равнината. Тогава е изпълнено
векторното равенство .
Доказателство. Съгласно правилото на триъгълника за събиране на вектори
(фиг. 5.). Оттук и от свойствата на афинните операции веднага
следва .

Фиг. 5. Фиг. 6.
Теорема 3. Нека точка е среда на отсечката , а е произволна точка в
равнината. Тогава е изпълнено векторното равенство .
Доказателство. Понеже е среда на отсечката , то ( фиг. 6.). От
теорема 2 следва, че и . Тогава

или . С това доказателството е завършено.

1.5. ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ
Теоремите от предната точка са удобно средство при решаване на
планиметрични задачи.
Задача 1. В точка е среда на , а е среда на . Да се докаже,
че (фиг. 7.).
Решение. Условието да е среда на , записано във векторна форма е
. От теорема 3 следва, че . Накрая като приложим
теорема 2, получаваме .
Задача 2. Точка дели отсечката вътрешно в отношение 2:3, а точка
дели същата отсечка външно в отношение 2:3 (фиг. 8.). Ако е произволна
точка в равнината, да се докажат равенствата: ,
.
Решение. Тъй като дели вътрешно в отношение 2:3, то и
. От теорема 2 получаваме или
. Оттук следва, че .
За точка е изпълнено и . След прилагане на теорема
2 или . Оттук .


Фиг. 7. Фиг. 8.

Задача 3. Даден е ромб . Ако е среда на , - среда на , -
среда на и - среда на , да се докаже, че четириъгълникът е
правоъгълник.
Решение. От задача 1 следва, че , и .
Оттук , т.е. е успоредник (фиг. 9.). Тъй като страните на този
успоредник са успоредни на диагоналите на дадения ромб, то е
правоъгълник.


Фиг. 9. Фиг. 10.
В следващите две задачи ще използваме следствие 1.1. и следствие 1.2.
Задача 4. В трапеца средите на основите и са означени
съответно с и . Ако е пресечна точка на бедрата на трапеца,
да се докаже, че точките , и лежат на една права (фиг. 10.).
Решение. Тъй като и са основите на трапеца, то и
(фиг. 10.). От подобността на триъгълниците и следва
. Освен това и . Оттук получаваме
и . Като приложим теорема 3, то
. От векторното равенство
заключаваме, че точките , и лежат на една права.
Задача 5. Даден е успоредник . Точка лежи на страната и
. Точка лежи на диагонала и , а точка е среда на
страната (фиг. 11.).
а) Векторите , и да се изразят чрез векторите и .
б) Да се докаже, че точките , и лежат на една права и да се пресметне

отношението .
Решение. а) По правилото на успоредника за събиране на вектори
, а по правилото на триъгълника
. От Теорема 2 следва, че .
б) Отново като приложим теорема 2 получаваме
, . Тогава от равенството
следва, че точките , и лежат на
една права и .

Фиг. 11.


ЗА САМОПОДГОТОВКА
Упражнения
1. Даден е трапец , като . Ако е среда на , а е среда на
, да се докаже, че .
Упътване. Да се приложи теорема 2.
2. Точка дели вътрешно в отношение 7:4 отсечката , а точката дели
външно в отношение 7:4 същата отсечка. Ако е произволна точка в
равнината, да се докажат равенствата: и

.
3. Ако е медицентърът на триъгълника , а е произволна точка в
равнината, да се докаже равенството .
Упътване. Ако е средата на , медицентърът лежи на медианата и я
дели вътрешно в отношение 2:1.
4. Нека , и са три точки от една права, като и ( ). За
произволна точка в равнината да се докаже равенството .
5. Даден е трапец , като . Ако е среда на основата , е
среда на другата основа , а е пресечна точка на диагоналите на трапеца,
да се докаже, че точките , и лежат на една права.
6. Даден е успоредникът . Точка лежи на страната и ,
точка лежи на диагонала и . Да се докаже, че точките , и
лежат на една права и да се прес