Разширяване на понятието число

1. Цели числа
В математиката има редица задачи, неразрВ математиката има редица задачи, неразрешими в множеството на целите неотрицателни числа. Например никое такова число не може да бъде решение на уравнението  EMBED Equation.DSMT4 
, ако  EMBED Equati
o
n
.
DSMT4 
. Друг проблем, неразре
шим в това
м
ножест
во възниква при описание на процеса на изменение на величините. Ако едн
а
величина има стойност  EMBED Equation.DSMT4 
 и в резултат на някакъв проц
е
с се е намалила с  EMB
E
D

Equati
o
n.DSMT4 
единици, но
в
а
т
а й стойност  EMBED Equation.DSMT4 
 е неопределена при 

EMBED Equation.DSMT4 
.
Неразрешимостта на тези и други задачи довежда д
о
необходимостта да се р
а
з
ш
ири множеството  EMBED Equation.DSMT4 
. Тов
а
разширение се достига
ч
сумата на две отрицателни числа е равна на числото, противоположно на сумата от модулсумата на две отрицателни числа е равна на числото, противоположно на сумата от модулите им;
за да съберем две числа с различни знаци трябва от п
о
-
г
олямото по модул събираемо да изв
адим по-мал
к
ото по
модул и да поставим пред полученото число знака на събираемото с по-го
л
ям модул.
Операцията изваждане е определена за всеки две цели числа:  EMBED Equ
a
tion.DSMT4 
.
за да

с
ъ
берем
д
ве числа с различни зна
ц
и

трябва от по-голямото по модул събираемо да извадим по-малкот
о
по модул и да поставим пред полученото число знака на събираемото с по-гол
я
м модул.
Операцията изв
а
ж
д
ане е определена за всеки две цели числа:  EMBE
D
Equation.DSMT4 
.

М
Разбира се може да обявим за рационални числа самите дроби, както обикновено се прави и както и ние ще постъпим в бъдеще, но предварително ще направим някои уговорки. Работата е в това, че от геометрична гледна точка дължината на една и съща отсечка може да с
е

о
пише с различни наредени двойки,
т.е. различ
н
и по в
ид дроби. Например дробите  EMBED Equation.DSMT4 
 и  EMBED Equati
o
n.DSMT4 
, които от формална гледна точка са различни,тъй като при тях са раз
л
ични както числителите,

т
ъ
й и зн
а
менателите, измерват ра
в
н
и
помежду си отсечки. Затова ще се договорим такъв тип дроби д
а
наричаме равни. Понятието равенство на дробите ще дефинираме с помощта на
е
стествените числа, а им
е
н
н
о дробите  EMBED Equation.DSMT4 
 и  EMBED
E
quation.DSMT4 
 ще с
ч
Операцията изваждане дефинираме като обратна на операцията събиране, като се подчертава кога е изпълнима.
Операцията деление дефинираме като обратна на операцията умножение.
Накрая, за да бъде множеството на положителните рационални числа разширение на множ
е
с
т
вото на естествените числа, трябв
а да са изп
ъ
лнени
редица условия:
Първо: EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4



Наистина, ако дължината на отсечка пОперацията деление дефинираме като обра
т
на на операцията умноже
н
и
е
.
Нак
р
ая, за да бъде множеств
о
т
о
на положителните рационални числа разширение на множеството
н
а естествените числа, трябва да са изпълнени редица условия:
Първо: EMBED
E
quation.DSMT4 
 EMB
E
D

Equation.DSНакрая, за да бъде множеството на пол
о
жителните рационални чи
с
Както и за целите числа дефинираме изваждане:  EMBED Equation.DSMT4 
.
Да отбележим, че в  EMBED Equation.DSMT4 
 винаги евъзможно делението на ненулеви рационални числа, т.е. EMBED Equation.DSMT4 
.
Опирайки се на определенията и свойствата на о
п
е
р
ациите може да се докаже, че в 
EMДа отбел
е
жим, ч
е в  EMBED Equation.DSMT4 
 винаги евъзможно делението на ненулеви
р
ационални числа, т.е. EMBED Equation.DSMT4 
.
Опирайки се на определенията
и
свойствата на операции
т
е

може
д
а се докаже, че в  EMB
E
D

Equation.DSMT4 
са в сила следните свойства:
1)  EMBED Eq
u
ation.DSMT4 
;
2)  EMBED Equation.DSMT4 
;
3)  EMBED Equation.DSMT4


;
4)  EMBED Equati
o
n
.
DSMT4 
;
5)  EMBED Equation.DSMT4 
;
6) 

EMBED Equation.DSMT4 
7) ако  EMBED Equation.DSMT4 
, то  EMBED Equation.DSMT4 
.
Теорията на рационалните числа можем да получим на базата на наредени двойки рационални числа, което има предимство със своята краткост и яснота. Но от друга страна то е твърде изкуствено и н
а
й
-
важното Теорията на рационалните
числа можем

да пол
учим на базата на наредени двойки рационални числа, което има предимств
о
със своята краткост и яснота. Но от друга страна то е твърде изкуствено и най-в
а
жното – заобикаля фактъ
т

н
а връз
к
ата на рационалното чис
л
о

с операцията деление на елементите на равни части.
Предста
в
яне на рационалните числа чрез десетични дроби
Както видяхме по-горе, всяко

рационално число се опр
е
д
е
ля еднозначно от несъкратима дроб. В тази точка
щ
е намерим друго предста
в
3. Такова представяне е налице и когато EMBED Equation.3
 е отрицателно число.
Пример3. Нека да разгледаме числото EMBED Equation.3
.
Тогава  EMBED Equation.DSMT4 

е
.

ED Equation
.
3
 с
ме означили сПример3. Нека да разгледаме числото EMBED Equation.3
.
Тогава  EMBED Equation.DSMT4 

S
MT4 
 EMBED Equatio
n
.
D
SMT4
3
, като с EMBED Equation.3
 сме Тогава  EMBED Equation.DS
M
T4 

i
on.DSMT4 
т.е. EMBE
D

E
quation.3 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equa
t
ion.DSMT4 
 EMBED E
q
3. периодичното повтаряне на цифрите започва след някаква група от цифри, които не се повтарят. Например EMBED Equation.3
.
Доказва се, че периодичните десетични дроби могат да се представят като обикновени и действията с тях дроби могат да се извършат, ка
т
о

с обикновени дроби.

3. Реални
числа
Както

вече з
наем, всяко рационално число може да се представи с десетична дроб – кр
а
йна или безкрайна, и обратно, всяка десетична периодична дроб може да се предста
в
и с рационално число.
Д
е
с
е
тичнит
е
дроби Доказва се, че п
е
р
и
одичните десетични дроби могат да се представят като обикнове
н
и и действията с тях дроби могат да се извършат, като с обикновени дроби.
3. Реални числа
Както
в
е
ч
е знаем, всяко рационално число може да се предс
т
ави с десетична дроб –
к