Релации

§
5
. Релации
В началния курс по математика децаВ началния курс по математика децата се запознават с различни зависимости и отношения, но за да могат д
а
ги използват за целите на развитието на тяхната мисловна дейност, учителите трябва да владеят някои общи понятия от съвременната алгебра, като релации, алгебрични операции и др. Освен това, усвоявайки математическия език, използван в алгебрата, учителят ще може по-дъл
б
око да разб
е
ре същността на математическото моделиран
е на реалните явления и процеси.
1. Д
е
картово произведение на множества
Пример (за ненаредени двойки): Фабр
и
ка произвежда линолеум с десен шахматна дъска, като квадратчетата са с еднаква големина, но с различен цвят, като се използват три цвята: бял, син и ч
е
рен
.
Колко са различните възможности?
В този случай са само три, защо
т
о например (бял, син)=(син, бял).
Пример (за наредени двойки): В склада има гащета и фланелки в три цвята: бял, син и черен. Кол
к
о р
а
з
лични отбора могат да с
е
обл
е
кат?
В този случ
а
й

И

така, за
д
а се определи съответствиетоEMBED Equation.3
между елементите на EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
, трябва да се посочат три

множества: самите EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
 и подмножество на EMBED Equation.3
. По този начин понятието релация се свежда до вече известни понятия.
Обикновено някои релации се определят без споменаване на декартови произведения – например успоре
д
ни прави, а

вместо това се дават съответните определе
ния (т.е. характеристичното свойство).

Работата е в това, че правите са безброй много, двойките, съставени о
т
тях – също. Поради това не бихме могли да си представим нагледно нита мнажеството EMBED Equation.3
, нито множеството от двойките успоредни прави.
Ког
а
то множествата са крайни, най-просто е да си представим задаване
т
о на релацията с графика – например таблица или множество от точки. Пример: множеството  EMBED Equation.DSMT4 
 от точки в р
а
вни
н
а
та.
Дефиниционно множес
т
во н
а
релацията EMBE
D

E
4
.
Антисиме
т
ричност – релацията EMBED Equation.3
 се нарича антисиметрична, ако заEMBED Equation.3
, от EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.
3
5. Транзитивност – релацията EMBED Equation.3
 се нарича транзитивна (преносима), ако за EMBED Equation.3
, от EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
 следва EMBED Equation.3

Пример . Релацията "EMBED Equation.3
" (перпе
н
дикулярност
)
в множеството на правите в дадена равнин
а е антирефлексивна и симетрична, а ре
л
ацията "EMBED Equation.3
" (успоредност) в множеството на правите
в
дадена равнина е симетрична и транзитивна.
Пример: В множество от момчета релацията „е брат на” е симетрична, но ако в множеството има и момиче5. Тра
н
зит
и
вност – релацията EMBED Equation.3
 се нарича транзитивна (пре
н
осима), ако за EMBED Equation.3
, от EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
 следва EMBED Equation.3

Пример . Релация
т
а "
E
MBED Equation.3
" (пе
р
пенд
и
кулярност) в мно
ж
е
с
Т
е
орема 2.
А
ко EMBED Equation.3
 е релация на еквивалентност в множество EMBED Equation.3
, то фактор-множеството EMBED Equation.3
 е разлаг
а
не на множествотоEMBED Equation.3
.
В училището общата теория на релациите не се разглежда, но в целия курс се въвеждат редица релации. На определението за релация се базира и определението за функция. Полезно е едновременно да се разглеждат и „родствените” EMBED
E
quation.DSM
T
4 
съответствия, като противоположно н
а даденото, обратно на даденото и обра
т
но на противоположното. Това ще помогне по-нататък използването им пр
и
решаване на задачи с допускане на противното.
Релациите на еквивалентност пронизва целия училищен курс по математика, а с релацията на наредба са св
ъ
рза
н
и понятия, като „В училището общата теория на релациите не се раз
г
лежда, но в целия курс се въвеждат редица релации. На определението за релация се базира и определението за функция. Полезно е
е
дно
в
р
еменно да се разглеждат

и „р
о
дствените” EMBE
D

E