Статистическо оценяване

10.2.2017 г.
1
Статистическо оценяване –от
извадка към популация. Защо е
необходимо? Същност.
Стандартнаи максималнагрешка.
Интервал на доверителност–
стъпки за построяване.
Практически стъпки при
статистическо оценяване.
Оценка на показатели от
репрезентативни
проучвания-от извадка
към популация
За да намерим информация за дадена
популация (генерална съвкупност), можем да
направим две неща:
•По списък / преброяване (CENSUS):
Разглеждамевсеки обект или индивид в
популацията.
–Предимства: Знаем всичко точно!
–Недостатъци: Отнема много време и средства, а
понякога е даже невъзможно.
•Статистическа оценка:
Правим извадка от популацията (по
начин, гарантиращ, че извадката коректно
представлява популацията). След това
извършваме съответните измервания в извадката и
оценяваме (или обобщаваме) получените
резултати за популацията.
–Предимства: По-малко време и пари.
–Недостатъци: Не знаем всичко точно, имаме някакви
грешки.
Пример
Искаме да знаем средната височина на
всички възрастни хора (над 18 години) в
страната. Нашата популация в случая ще
бъде всички възрастни над 18 годишна
възраст.
Ако работехме по пълен списък, би трябвало
да измерим всеки възрастен гражданин и
след това да изчислим средната височина.
Ако използваме статистика, можем да
вземем случайна извадка от възрастни над
18 годишна възраст, да измерим височината
им и да изчислим средната височина и след
това да обобщим, че средната височина на
възрастните в цялата страна е “близко до”
средната височина на извадката.
Популации и извадки
Популация(генерална съвкупност) е цялото
множество наблюдения, от които
статистикът се интересува.
Наблюденията могат да бъдат върху
различни обекти–хора, животни,
предмети; не е нужно да се ограничават
само до индивиди.
Размерът на популацията се определя от
броя на наблюденията в популацията.
При събирането на данни за популацията,
статистикът се стреми да достигне до
изводи, отнасящи се до цялата популация.
Извадка подмножество от популация.
•В процеса на събиране на данни
често е невъзможно (или непрактично)
да се изследва цялото множество от
наблюдения на дадена популация.
•Често се взема извадкаот
популацията, от нея се събират
съответните данни и на базата на
анализа на данните от извадката се
правят оценки и обобщения за
популацията.

10.2.2017 г.
2
•Данни, събирани от извадка, която не е
представителна за
популацията, често води до оценки и
изводи, които значително се
различаватот характеристиките на
популацията. Такива извадки се
наричат необосновани, повлияни или
предубедени “biased samples”.
•“Обоснованитеизвадки” (unbiased
samples)са статистически подобнина
популацията, от която са избрани и
оценките за популация, базирани на
“обосновани извадки” са по-надеждни
от тези от “необоснованите”.
Систематична грешка (bias)
•Всяка тенденция на дадена извадка да
се отклоняваизвън случайното
вариране от съответната популация
–Систематични грешки, свързани с подбора
на извадката
–Грешки на припомнянето(данни за минали
събития)
–Системни грешки, свързани с изследователя
–Системни грешки, свързани с оценяващия
–Системни грешки поради липсващиданни
–Системни грешки, свързани с въпросника
Целта на статистическите оценки е да
използва статистиките на извадка за
обобщения и оценки на параметрите на
популация.
Статистически оценки се използват за
определяне на вероятността (или
правдоподобността), че заключение,
базирано на анализа на данни от извадка е
вярно.
Смисълът и крайната цел на едно извадково
(репрезентативно) проучване не е да се
опознае поведението на извадката , а на
основание на нея да се направят
достатъчно обосновани съждения за
генералната съвкупност.
В обобщение:
•Използваме дескриптивна
(описателна) статистика
за обобщаване на данни от извадки
•Използваме статистически оценки
за да правим оценки(обобщения) за
популация, на базата на данни от
извадка.
•Характерна черта на статистическите
оценки е техният вероятностенхарактер.
•Извадката (колкото и да е обоснована) не
може абсолютно точно да възпроизведе
популацията. Тя я възпроизвежда с някакво
приближение.
•Характеристиките на извадките са случайни
величини и поради това не дават основание
с пълна увереност да се правят съждения за
популациите.
•Теорията на вероятностите позволява да
гарантираме със задоволяваща степен на
увереност (с определена вероятност )
своите заключения.
•Две направления в статистическите
заключения:
–Статистически оценки
•Точкови
•Интервални
–Статистическа проверка на
хипотези:
•Параметрични
•Непараметрични

10.2.2017 г.
3
Видове статистически оценки:
1.Точкови оценки–когато на основата на
извадки правим оценки, отнасящи се за
популация, можем да се интересуваме
каква е числената стойност на някакви
параметри, имащи формата на
определени числа.
•Положението им на абсцисната ос при
графично представяне се определя с точки.
•Това са оценки на средна
величина, дисперсия, относителен дял и др.
–Какво е средното потребление на аспирин на лице от
населението, чрез оценка, получена от извадка?
–На базата на данни от извадката трябва да намерим
такава средна, която възпроизвежда най-добре
неизвестното средно потребление на цялото
население.
2.Интервални оценки–когато ни интересуват
интервалите, в които се намират
интересуващите ни параметри.
•При графично представяне те се
изобразяват като интервалина абсцисната
ос, които съдържат множество точки, за
които се предполага (с определена
вероятност), че някоя от тях е интересуващия
ни параметър на популацията.
•Интервалът, в който се предполага, че се
намира параметърът се нарича
доверителен интервал (CI).
•За целта трябва да изчислим средната
величина на извадката и максималната
стохастична грешка, която измерва при
определена вероятност отклонението на
средната на извадката от средната на
популацията.
•Ако изберем извадка от популация и
изчислим нейната средна
аритметична, колко близкое тази
стойност до средната аритметична
на популацията?
•Съществуват формули, чрез които
можем да определим колко близко е
средната аритметична на нашата
извадка до средната аритметична на
популацията.
•Да предположим, че провеждаме проучване
на навиците за консумиране на алкохол
сред студентите.
•Питаме ги колко дни в седмицата в рамките
на типичен (обикновен) месец те
консумират алкохол.
•Използваме случайна извадка от 50 студента.
•Изчисляваме средната аритметична и
получаваме 10,54.
•Става ни интересно и решаваме да
проучим проблема
•Откриваме, че и други са правили подобно
проучване, с извадка от същия тип, задавайки
същия въпрос.
•Те са получили различни резултати.
•Когато от популация се изберат много
извадки, средните аритметични на тези
извадки клонят към нормално
разпределение(ако се начертаят около
някаква основна линия, те образуват
нормална крива).
•Колкото по-голяме броя на
извадките, толкова повече разпределението
се доближава до нормална крива.

10.2.2017 г.
4
•Това е познатата форма на нормално
разпределение.
Средна
аритметична на
извадки
•Ако можем да получим достатъчно
извадки от една и съща популация и
начертаем техните средни аритметични,
получаваме нещо подобно ...
Ако средната стойност на средните
аритметични на извадките се изчисли
(средната на средните),
Тази средна стойност (или средна
аритметична) е много близо до
действителнатасредна аритметична на
популацията.
Колкото по-голяме броя на извадките, толкова
по-близоще бъде тази изчислена средна
аритметична до средната аритметична на
популацията.
Ако можем да изберем всички възможни
извадкиот популацията…
и изчислим средната аритметична за всяка от
тях,
и направим списък на тези средни величини …
ще получим нещо, което се нарича
The Sampling Distribution of Sample Means
(разпределение на средните величини на
извадките)
Някои полезни качества на разпределението
на средните аритметични на извадките:
1.Средната величина на разпределението на
средната аритметична на извадките е същото
(или много близко)до средната величина на
популацията.
2.То е нормално разпределение , което
означава, че…
–≈ 68% от всички средни на извадки попадат в
границите на ±1 стандартно отклонениеот
средната величина на популацията;
–95% попадат в границите на ±1,96стандартни
отклонения;
–≈ 99,7% попадат в границите на ±2,58
стандартни отклонения.
50% под средната 50% над средната
•Количествените променливи в извадката
най-често се описват чрез средна величина
-и стандартно отклонение –s.
•Средната величина и стандартното
отклонение за извадката се наричат
оценъчни индикатори (статистики) на
извадката за неизвестни параметри на
популацията.
Извадка
Известна
статистика
Популация
Неизвестен
параметър
Средна величина
(хикс черта)μ (мю)
Стандартно
отклонение
s(ес) σ(сигма)

10.2.2017 г.
5
•Именно поради това, че стойностите
на параметрите в популацията са
неизвестни
–първо се подбират извадки
–установяват се стойноститена
извадковите статистики
–и на тази основа се извличат
статистически заключения за
параметрите в популацията
Някои полезни качества на разпределението
на средната аритметична на извадките
•За да се изчислят стандартните коефициенти,
необходими за определяне на положението
под нормалната крива, трябва да знаем
стандартното отклонение на
разпределението на средната аритметична
на извадките.
•Това ново стандартно отклонение на
среднитесе нарича стандартна грешка на
средната(терминът грешка се използва за
да покаже, че поради грешка в съставянето
на извадката, всяка средна на извадка може
да варира).
–Може да се изчисли като всички средни се приемат
като основни данни и се приложи основната формула:
Някои полезни качества на разпределението
на средната аритметична на извадките
•Стандартното отклонение на това извадково
разпределение е Стандартната грешка
на средната величина
–То зависи от стандартното отклонение на
популацията, от която са извадките.
–Може да се изчисли като се раздели
стандартното отклонение на популацията на
квадратния корен на размера на извадката: х

Стандартно отклонение
(“сигма”)на
популацията
–средната величина на случайни извадки с размер n
Размер на извадката
Стандартна грешка
на средната от извадки
с размер n,
получени от
популация със
стандартна грешка n
х


•Тъй като обикновено не знаем стандартното
отклонение на популацията, използваме
стандартното отклонение на една извадка .
–Извадка от 30 обекта е достатъчна за да се оцени
средната величина на популацията с приемлива
точност.
•Най-добрата оценка от една извадка е:
•Можем да наречем “стандартно
отклонение на средните величини от случайни
извадки с размер n, получени от “оригиналната
популация”. За по-кратко, се нарича
“Стандартна грешка на средната величина в
извадката” или “Стандартна грешка”
–sе стандартното отклонение на извадката
–n–брой наблюдавани случаи в извадкатаn
s
s
X
 x
s
•Вижда се, че ако се увеличава
размера на извадката или се
намалявастандартното
отклонение, ще имаме по-малка
стандартна грешка.
•Обратното, ако се намалява
размера на извадката или се
увеличавастандартното
отклонение, ще имаме по-голяма
стандартна грешка.
!!! Стандартната грешка на извадковата
статистика е право пропорционална
на стандартното отклонение
и обратно пропорционална на
размера на извадката.n
s
s
X

•За означаване
на параметри
на популацията
се използват
гръцкибукви
•За означаване
на статистики
на извадката се
използват
латинскибукви
Гръцки
букви
Име Латински
букви
Статистически
термин
 Алфа a Тип I грешка
 Бета b ТипII грешка
 Делта D Разлика
 Пи p Пропорция
 Мю M Средна величина
 Сигма s Стандартно
отклонение

10.2.2017 г.
6
Стандартно отклонение и стандартна
грешка на средната величина
Стандартното отклонение и стандартната грешка
измерват две много различнинеща, но често се
бъркат:
•Стандартното отклонение дава количествена оценка
за вариабилността на популацията
•Стандартната грешка е количеството на
несигурността на оценката на средната величина
•Стандартната грешка не е подх