Учебно помагало по Теоретична механика

ВАЛЕНТИН ПОПОВ




ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНИКА

УЧЕБНО ПОМАГАЛО








СОФИЯ 2009

2
Учебното помагало е съставено по програмата на дисциплината "Класическа
механика" за специалности физика и инженерна физика (степен на обучение бакалавър) на
Физическия факултет на Софийския университет. За курса е предвиден хорариум от 60 часа
лекции и 30 часа семинарни занятия в рамките на един семестър. Главите по механика на
непрекъснатите среди се
четат на специалност физика в рамките на разширения курс по
същата дисциплина.

3
Съдържание
I. ОСНОВИ НА КЛАСИЧЕСКАТА МЕХАНИКА......................................................................6
1. Основни понятия на механиката на материални точки.......................................................6
2. Основи на кинематиката на материална точка....................................................................7
3. Динамика на материална точка. Принцип на Галилей........................................................8
4. Динамика на система от материални точки. Уравнения на движението. Закон за
запазване на импулса. Център на масата................................................................................ 10
5. Закони за запазване на момента на импулса
и на енергията на система от материални
точки. Интеграли на движението........................................................................................... 12
6. Трансформация на скоростта и ускорението при преход към неинерциална отправна
система. Уравнение на движението........................................................................................ 14
II. УРАВНЕНИЯ НА ЛАГРАНЖ............................................................................................... 17
7. Динамика на несвободни системи. Видове връзки. Уравнения на движението............... 17
8. Уравнения на Лагранж от I род.......................................................................................... 18
9. Принцип на Даламбер. Кинетична енергия в
обобщени координати............................... 19
10. Обобщени сили. Уравнения на Лагранж от втори род.................................................... 21
11. Принцип на Хамилтон и уравненията на Лагранж от втори род..................................... 25
12. Интеграли на движението. Закон за запазване на обобщения импулс............................ 26
13. Закон за запазване на обобщената енергия...................................................................... 28
14. Теорема на Ньотер............................................................................................................. 29
III. ИНТЕГРИРАНЕ НА УРАВНЕНИЯТА НА ДВИЖЕНИЕТО .............................................. 32
15. Едномерно движение. Интегриране на
уравнението на движение. Анализ на
движението. Период на финитното движение....................................................................... 32
16. Движение на материална точка в централно поле. Закон за движението и уравнение на
траекторията............................................................................................................................ 33
17. Характер на движението в централно поле. Условие за падане върху центъра на полето.
.................................................................................................................................................. 35
18. Кеплерова задача. Уравнение на траекторията. Анализ на решението........................... 37
19. Кеплерова задача.
Закон за движението при движение по елипса. Вектор на Рунге-Ленц
.................................................................................................................................................. 38
IV. УДАРИ НА ЧАСТИЦИ........................................................................................................ 41
20. Задача за двете тела........................................................................................................... 41
21. Разпад на частица на две частици..................................................................................... 42

4
22. Удари на частици............................................................................................................... 44
23. Разсейване на частици....................................................................................................... 46
24. Формула на Ръдърфорд..................................................................................................... 48
V. ТРЕПТЕНИЯ.......................................................................................................................... 51
25. Собствени трептения на система с една степен на свобода............................................ 51
26. Принудени трептения на система с една степен на свобода........................................... 52
27. Собствени трептения на система с s степени на свобода: собствени честоти................ 54
28. Собствени трептения на система с s степени
на свобода: собствени вектори. Нормални
трептения................................................................................................................................. 56
VI. ДВИЖЕНИЕ НА ТВЪРДО ТЯЛО........................................................................................ 58
29. Кинематика на твърдо тяло............................................................................................... 58
30. Кинетична енергия на твърдо тяло................................................................................... 59
31. Момент на импулса на твърдо тяло. Уравнения на движението на твърдо тяло............ 61
32. Ъгли на Ойлер. Лагранжиан и уравнения на Лагранж за ъглите на Ойлер.................... 62
33. Движение на свободно симетрично
тяло. Регулярна прецесия....................................... 64
34. Движение на тяло със закрепен център на масите. Уравнения на Ойлер....................... 66
VII. КАНОНИЧНИ УРАВНЕНИЯ............................................................................................. 68
35. Канонични променливи. Уравнения на Хамилтон.......................................................... 68
36. Скобки на Поасон. Необходимо и достатъчно условие за пръв интеграл. Свойства на
скобките на Поасон................................................................................................................. 70
37. Тъждество на Якоби. Теорема на Поасон........................................................................ 72
38. Принципът на Хамилтон и уравненията на
Хамилтон.................................................... 73
39. Действието като функция на координатите и времето.................................................... 74
40. Принцип на Мопертюи..................................................................................................... 75
41. Канонични трансформации. Условие за каноничност..................................................... 77
42. Трансформации на Лежандър. Производящи функции. Частни случаи на канонични
трансформации........................................................................................................................ 78
43. Инвариантност на скобките на Поасон при канонични трансформации........................ 81
44. Теорема на Лиувил............................................................................................................ 82
45. Уравнение на Хамилтон-Якоби. Теорема на Якоби........................................................ 84
46. Разделяне на
променливите в уравнението на Хамилтон-Якоби.................................... 86
47. Движението на частица като вълнов процес.................................................................... 88
VIII. МЕХАНИКА НА НЕПРЕКЪСНАТИТЕ СРЕДИ.............................................................. 90
48. Основни понятия на механиката на непрекъснатите среди............................................. 90

5
49. Деформация на малка частица. Тензор на деформациите............................................... 92
50. Геометричен смисъл на тензора на деформациите.......................................................... 95
51. Уравнение за непрекъснатост........................................................................................... 96
52. Уравнение за изменение на импулса на малка частица................................................... 98
53. Уравнение за изменение на момента на импулса на малка частица.............................100
54. Уравнение за изменение на механичната енергия на малка частица............................101
55. Първи закон на
термодинамиката...................................................................................102
56. Уравнение за изменение на пълната енергия на малка частица....................................103
57. Втори закон на термодинамиката. Основни уравнения на механиката на
непрекъснатите среди...........................................................................................................105
IX. МЕХАНИКА НА ИДЕАЛЕН И ВИСКОЗЕН ФЛУИДИ...................................................107
58. Уравнения на движението на идеален флуид. Уравнение на Ойлер. Потоци на импулса
и пълната енергия..................................................................................................................107
59. Статика на идеален
флуид..............................................................................................108
60. Стационарно течение на идеален флуид. Интеграл на Бернули...................................110
61. Теорема на Томсън за запазване на циркулацията на скоростта. Потенциално течение.
Интеграл на Коши.................................................................................................................111
62. Уравнения на движението на вискозен флуид. Уравнение на Навие-Стокс.................113
X. МЕХАНИКА НА ИДЕАЛНО ЕЛАСТИЧНО ТЯЛО...........................................................116
63. Основни уравнения на идеално еластично тяло. Закон на
Хук. Тензор на еластичността
................................................................................................................................................116
64. Деформация на изотропно тяло. Модули на Ламе. Уравнение на Ламе.......................118
65. Уравнение за равновесие на изотропни тела. Хомогенни деформации........................119
66. Еластични вълни в изотропни среди..............................................................................121
Литература................................................................................................................................ 123

6
I. ОСНОВИ НА КЛАСИЧЕСКАТА МЕХАНИКА
1. Основни понятия на механиката на материални точки
Механиката е наука за преместването на материалните обекти в пространството и
времето. Под теоретична механика ще разбираме класическата механика на макроскопични
обекти, движещи се със скорости, малки в сравнение със скоростта на светлината.
Макроскопичните обекти ще изобразяваме абстрактно като материални точки, твърди тела и
непрекъснати среди.
Най-простият обект на
механиката е материалната точка. Всички основни закони на
механиката могат да се формулират като закони за движение на материална точка. Като
обобщение на тези закони се получават законите за движение на твърди тела и непрекъснати
среди.
Движението на материалната точка е пространственото и преместване с течение на
времето. Пространството се
счита тримерно евклидово. За да разясним това, припомняме, че
положението на материалната точка М се определя спрямо т.нар. отправна система от
радиус-векторът и r, който в декартова координатна система се задава така
11 2 2 3 3
xxx=+ +ri i i
.
Тук x
1, x2, x3 са координатите на материалната точка, а i 1, i2, i3 са единичните вектори на
координатната система. Евклидовост на пространството означава, че разстоянието между две
точки в про