Задачи от безкрайни числови редове

§5. Задачи от безкрайни числови редове

Съдържание
1. Определяне на сумата на даден числов ред.
2. Изследване сходимостта на числови редове чрез критерии за сходимост.

ТЕОРИЯ
Числовите редове представляват безкрайни суми
(1)
LL ++++=∑
∞
=
n
n
n
uuuu
21
1
.
Величината
n
u се нарича общ член на реда. Сумирането започва от 1=n, но по целесъоб-
разност може да започне и от друг индекс. Крайните суми

∑
=
=
n
k
kn
us
1

се наричат частични суми на реда.
Нека редицата от частичните суми {}
n
s на реда (1) е сходяща и клони към границата s
()±∞≠s,
ss
n
n=
∞→
lim .
В този случай се казва, че редът (1) е сходящ и има сума s,
∑
∞
=
=
1n
n
us .
Ако редицата {}
ns е разходяща или нейната граница е ∞±, то редът (1) се нарича раз-
ходящ. Нека редът ∑
∞
=1n
n
u е сходящ. Тогава неговият общ член клони към нула, 0lim
=
∞→
n
n
u .
Това се нарича необходимо условие за сходимост на числов ред.
Редът ∑
∞
=1n
n
u се нарича абсолютно сходящ , когато е сходящ редът с общ член
n
u, т.е.
когато е сходящ редът с положителни (неотрицателни) членове ∑
∞
=1
n
n
u. Ако един ред е схо-
дящ, но не е абсолютно сходящ, то той се нарича условно сходящ . Нека редът ∑
∞
=1
n
n
u е абсо-
лютно сходящ. Тогава ∑
∞
=1
n
n
u е сходящ.
(Критерий на Коши) . Нека ∑
∞
=1
n
n
u е ред с положителни членове, 0>
nu , и нека същест-
вува границата lu
n
n
n=
∞→
lim . Тогава ако 1
<l, то редът е сходящ и ако 1>l, то редът е раз-
ходящ. Ако 1=l, то редът може да се случи както сходящ, така и разходящ.
(Критерий на Даламбер) . Нека ∑
∞
=
1n
n
u е ред с положителни членове, 0>
nu , и нека съ-
ществува границата l
u
u
n
n
n
=
+
∞→1
lim . Тогава ако 1<l, то редът е сходящ и ако 1>l, то редът е
разходящ. Ако 1=l, то редът може да се случи както сходящ, така и разходящ.

(Критерий на Дюамел) . Нека ∑
∞
=
1n
n
u е ред с положителни членове, 0>
nu , и нека съ-
ществува границата l
u
u
n
n
n
n
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
∞→
1lim
1
. Тогава ако 1>l, то редът е сходящ и ако 1
<l, то
редът е разходящ. Ако 1=l, то редът може да се случи както сходящ, така и разходящ.
(Интегрален критерий на Коши) . Нека ()[)R→∞,1:xf е неотрицателна и монотонно
намаляваща непрекъсната функция. Тогава редът ()∑
∞
=1n
nf е сходящ тогава и само тогава, ко-
гато е сходящ несобственият интеграл ()∫
∞
1
dxxf.
ЗАДАЧИ
Задача 1. Да се намери сумата на всеки от редовете:
1.1.
()
∑
∞
+
1 1
1nn

1.2.
()()
∑
∞
+−
1 1212
1nn

1.3.
()( )
∑
∞
+−
1 2313
1nn

Решение. 1.1. По дефиниция сумата на даден числен ред е границата (ако съществува) на n-
тата му частична сума. Ето защо определяме членовете на редицата от частични суми

2
1
1
2.1
1
1 −==s ;

3
1
1
3
1
2
1
2
1
1
3.2
1
2.1
1
2 −=−+−=+=s ; .....;

1
1
1
+
−=
n
s
n .
Тогава

1
1
1
1limlim =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−=
∞→∞→n
s
n
n
n

Следователно търсената сума е
1=S. Аналогично се решават и другите две задачи.
1.2.
2
1
12
1
12
1
....
7
1
7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
1
2
1
limlim =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
+++−+−+−=
∞→∞→ nn
s
n
n
n
;
1.3.
6
1
23
1
13
1
....
11
1
11
1
8
1
8
1
5
1
5
1
2
1
3
1
limlim =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
+++−+−+−=
∞→∞→ nn
s
n
n
n
.
Задача 2. . Да се изследва сходимостта на всеки от редовете:
2.1.
∑
∞
1
2
2
n
n

2.2.
()
()
∑
∞
1
2 !2
!
n
n

2.3.
∑
∞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
1 12
n
n
n

2.4. ∑
∞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
1
2
1
1
n
n

2.5.
()
()
1
1
.
!!2
!!12
1 +
−
∑
∞
nn
n

2.6.
()( )
∑
∞
++
1
22 41
1
nn

2.7.
∑
∞
+
1
2 5
2
n
n

2.8.
()
()
∑
∞ −
+
−
1
2
1
.
1
1
n
n
n

Решение.
2.1. Използваме граничния критерий на Даламбер. Търсим границата

n
n
n
u
u
1
lim
+
∞→

като предварително определяме, че
2
2
n
u
n
n
= и
()
2
1
1
1
2
+
=
+
+
n
u
n
n

Тъй като

()
2
1
.2lim
2
1
2
limlim
2
2
2
1
1
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
∞→
+
∞→
+
∞→n
n
n
n
u
u
n
n
n
n
n
n
n
и 2>1
то редът е разходящ.
2.2. По аналогичен начин намираме

()[] ()
()
[] ()
()()()
()()()() () 4
1
12.2
1
lim
!!.2.12.22
!2.!.1
lim
!.!12
!2.!1
limlim
2
22
2
2
1
=
+
+
=
++
+
=
+
+
=
∞→∞→∞→
+
∞→n
n
nnnn
nnn
nn
nn
u
u
nnn
n
n
n

Тъй като
1
4
1
< то редът е сходящ .
2.3.
Използваме граничния критерий на Коши

2
1
12
lim
12
limlim =
+
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
∞→∞→∞→n
n
n
n
u
n
n
n
n
n
n
n

Тъй като
1
2
1
< то редът е сходящ .
2.4. По аналогичен начин намираме
l=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∞→∞→∞→
n
n
n
n
n
n
n
nnn
u
1
1lim
1
1limlim
2

Тъй като
1>l то редът е разходящ .
2.5.
Критерият на Даламбер не дава резултат, защото

1lim
1
=
+
∞→
n
n
n
u
u

Прилагаме граничния критерий на Раабе-Дюамел.
()
2
3
12
3
lim1
12
22
.lim1.lim
1
=
+
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∞→∞→
+
∞→n
n
n
n
n
u
u
n
nn
n
n
n

Тъй като 1
2
3
> то редът е сходящ .
2.6.Общият член на реда е

()( )
4.1
1
22
++
=
nn
u
n
Прилагането на някой от вече използваните критерии води до сложни техически пресмята-
ния. Ето защо ще използваме сравняване с ред, който може да се изследва за сходимост с по-
малко премятания. Забелязваме, че

()( )
nnv
nnnnn
u ==≤
++
=
42222
1
.
1
4.1
1

Прилагаме интегралния критерий на Коши за реда с общ член
nv. Тъй като

3
1
3
11
1
1
34
=Ι−=∫
∞
∞
x
dx
x

е сходящ, то и даденият ред е сходящ, защото се мажорира от сходящ ред.
2.7. Прилагаме интегралния критерий на Коши
()
()∫∫
∞∞
∞
∞=Ι+=
+
+
=
+
11
1
2
2
2
2
5ln
5
5
5
2x
x
xd
dx
x
x
Тъй като интегралът

∫
∞
+
1
2
5
2
dx
x
x
е разходящ, то и даденият ред е разходящ.
2.8. Редът е алтернативен. Прилагаме критерия на Лайбниц. Намираме
()
0
1
1
1
lim.
1
lim
1
.1
limlim
2
=
+
=
+
−
=
∞→∞→∞→∞→
n
nn
n
u
nn
n
n
n
n

Следователно даденият ред е сходящ.
Задача 2. Докажете, че всеки от редовете е сходящ и му намерете сумата:
3.1.
()()
∑
∞
+−
1 34.14
1nn

3.2.
∑
∞
++
3
2 23
1nn

3.3.
∑
∞
++
0
2 107
1nn

Задача 3. Изследвайте за сходимост всеки от редовете:
3.1.
()
∑
∞
+
1
2 7.
1nn

3.2.
()
∑
∞
+
−1 1.5
1n
n

3.3.
()
∑
∞
+
+
1 12.2
23n
n
n
.