Задачи от частни производни и екстремуми на функции на две променливи

1
§1. Задачи от частни производни и екстремуми на функции на две променливи

Съдържание
1. Правила за диференциране на функция
2. Геометрично тълкуване на частна производна
3. Екстремуми на функция на две променливи

ТЕОРИЯ
Частни производни и диференцируемост. Нека функцията
()xf е определена в
някаква околност на точката
()
()() ()
( )
00
2
0
1
0
,,,
nxxx Kx . Да разгледаме функцията на една
променлива
()
() ()
( )
00
211
,,,
nxxxfx K=ϕ . Ако функцията
()
1
xϕ е диференцируема в точката
()0
11
xx=, то нейната производна
()
()
0
1
xϕ′ се нарича частна производна на ()xf относно
променливата
1
x в точката
()0
x и се бележи с
()
()
()() ()
()
()() ()
( )
1
00
2
0
1
00
21
0
1
0
1
0
,,,,,,
lim
1 x
xxxfxxxxf
x
f
nn
x
Δ
−Δ+
=
∂
∂
→Δ
KKx
.
Аналогично се определят и останалите частни производни,

()
()
kx
f∂
∂
0
x
,
nk ,,2K=.
За частните производни се употребяват следните означения

()
() () () ()xxxx
x
f
x
ffDf
x
f
k
xkx
k
kk
∂
∂
=′===
∂
∂ .
При функция на две променливи
()yxf, имаме две частни производни

()
x
yxf
∂
∂,
и
()
y
yxf
∂
∂,
,
а за функция на три променливи
()zyxf,,,

()
x
zyxf
∂
∂ ,,
,
()
y
zyxf
∂
∂ ,,
и
()
z
zyxf
∂
∂ ,,
.
Частните производни от втори и по висок ред се определят последователно чрез
производните от по-нисък ред,
() ()
jijixx
f
x
f
x ∂∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ xx
2
.
За функция на две променливи имаме следните четири производни от втори ред

()
()
2
22
,,
x
yxf
xx
yxf
∂
∂
=
∂∂
∂
,
()
yx
yxf
∂∂
∂,
2
,
()
xy
yxf
∂∂
∂,
2
,
()
2
2
,
y
yxf
∂
∂
.
При достатъчно общи предположения,
смесените производни са равни

()
()
xy
yxf
yx
yxf
∂∂
∂
=
∂∂
∂ ,,
22
.
Геометрична тълкуване на производните. Такова тълкуване е възможно за функция
на две променливи
()yxfz ,= , понеже свойствата на функцията се показват върху нейната
графика
Γ в тримерното пространство. Нека функцията
()yxfz ,= е непрекъснато
диференцируема, в околност на точката ( )
000,yxM. Тогава от формулата на Тейлър следва
представянето

() () ()( )
()( )[ ]( )MMoyyMfxxMfMfyxf
yx 000000, +−′+−′+= .

2
Събираемите от нулев и първи ред формират уравнението на
допирателната
равнина
π към графиката на функцията за точката
0M
(2.13)
()
()( ) ()( )
00000: yyMfxxMfMfz
yx −′+−′+=π .

Екстремуми на функция на много променливи. Нека функцията ()xf е определена
в областта
G и нека
()
G∈
0
x . Казва се, че
()xf има локален минимум в точката
()0
x, когато
()
()
()
0
xxff≥, за всяко x от някаква δ-околност
()
( )δ,
0
xB . Ако ()
()
()
0
xxff> за
()
( )δ∈,
0
xBx ,
0xx≠, то минимумът се нарича строг. Определенията за локален максимум и строг
локален максимум са аналогични

Необходимо условие за екстремум. Нека
()xf е непрекъснато диференцируема в
()0
x, която е точка на локален екстремум. Тогава
()
()0x=∇
0
f и производните по всички
направления в точката
()0
x са равни на нула
С помощта на пълен диференциал това се записва
()
()0
0
=xdf .
Точки, в които градиентът се анулира, се наричат
стационарни точки за функцията
()xf. Това означава, че стационарните точки се намират чрез системата уравнения
0
............
0
0
2
1
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
nx
f
x
f
x
f

Достатъчно условие за екстремум. Нека ()xf е определена и има непрекъснати
производни до трети ред в околност
()
( )δ,
0
xB на стационарната точка
()0
x и да разгледаме
главните минори на хесиана
()
()
0
xH

()
()
0
1
11
x
xx
fD ′′= ,
()
()
()
()
()
()
()
()
00
00
2
2212
2111
xx
xx
xxxx
xxxxff
ff
D
′′′′
′′′′
= ,
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
000
000
000
3
332313
322212
312111
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxxfff
fff
fff
D
′′′′′′
′′′′′′
′′′′′′
=
, ...,
()
()
0
detxH=
nD .
Тогава ако зададена стационарна точка са изпълнени условията:

3
1) Ако 0
1
>D, 0
2
>D, 0
3>D , ..., 0>
nD , то функцията ()xf има строг локален минимум в
точката
()0
x.
2) Ако 0
1
<D, 0
2
>D, 0
3<D , ..., () 01 >−
n
n
D , то функцията
()xf има строг локален
максимум в точката
()0
x.
3) Ако
()
()0det
0
≠= xH
nD , но не са изпълнени условията за строг локален минимум от пункт
1) нито условията за строг локален максимум от пункт 2), то
()0
x е седлова точка за
функцията ()xf.

ЗАДАЧИ
Задача 1. Да се намерят частните производни от първи ред на всяка от функциите:
1.1. ( ) ()yxarctgyxyxz 32
352
−−−=
1.2.
2
3
3
2
sin
y
x
xz
y
−=
1.3
a
acbb
x
2
4
2
−+−
=

1.4
α−+= cos2
22
cba
Решение.
1.1. За да намерим частната производна спрямо x, фиксираме y като константа, след което
прилагаме правилата за диференциране на функция на една променлива. Тогава

() ()
2
34
2
43
321
2
522
321
1
52
yx
yxxy
yx
xyxy
x
z
−+
−−=
−+
−−=
∂
∂

За да намерим частната производна спрямо
y, фиксираме x като константа, след което
прилагаме правилата за диференциране на функция на една променлива. Тогава

()
()
()
2
252
2
252
321
3
33
321
1
31yx
yxx
yx
yxx
y
z
−+
+−=−
−+
−−=
∂
∂

1.2. По същия начин както в предното решение намираме

2
3
2
2
12
22
3
1
3
2
cos
2
6
3
1
3
2
cos.y
x
y
x
yxx
yy
x
xy
x
z
yy
−=−=
∂
∂
−−
.
Използвали сме, че
()
1−
=
′
nn
nxx като ролята на n играе y и че () uuu ′=
′
.cossin като ролята
на
u играе
2
3
3
2y
x


() .
3
2
cos
3
4
ln2
3
2
3
2
cosln
2
3
3
3
3
3
2
3
y
x
y
x
xxy
x
y
x
xx
y
z
yy
+=−−=
∂
∂
−

Използвали сме, че
() aaa
xx
ln.= ′
като ролята на a играе x.
1.3. Разглеждаме
a
acbb
x
2
4
2
−+−
=
като функция на променливите cba,,. Тогава

() ( )
()
acba
acbacbbac
a
acbbac
acb
a
x
42
442
1.44
42
1
2
1
22
22
2
2
2
−
−−−+−
=
−+−−−
−
=
∂
∂


acba
acbb
acb
b
ab
x
42
4
42
2
1
2
1
2
2
2
−
−−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+−=
∂
∂

4

acbacb
a
ac
x
4
1
42
4
2
1
22
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
∂
∂

1.4. Разглеждаме
αcos2
22
−+= cba като функция на променливите α,,cb. Тогава

ααcos2cos22
2
2222
−+
=
−+
=
∂
∂
cb
b
cb
b
b
a



ααcos2cos22
2
2222
−+
=
−+
=
∂
∂
cb
c
cb
c
c
a



α
α
α
α
α cos2
sin
cos22
sin2
2222
−+
=
−+
=
∂
∂
cbcb
a

Задача 2. Докажете, че функцията

( )xyzzyxu 3ln
333
−++=
удовлетворява уравнението

()
3=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
++
z
u
y
u
x
u
zyx
Решение. Намираме последователно
() yzx
xyzzyxx
u
33
3
1
2
333
−
−++
=
∂
∂

() xzy
xyzzyxy
u
33
3
1
2
333
−
−++
=
∂
∂

() xyz
xyzzyxz
u
33
3
1
2
333
−
−++
=
∂
∂

и образуваме сбора
( )xyzxzyyzx
xyzzyxz
u
y
u
x
u
M 333333
3
1
222
333
−+−+−
−++
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Тогава

()
() ( )=−−−++++
−++
=++ yzxzxyzyxzyx
xyzzyx
Mzyx
222
333
3
3


( )
=
−++
−−−+++−−−+++−−−++
=
xyzzyx
yzxzxyzzzyzxzyxyzxyyzyyxxyzzxyxxzxyx
3
3
333
223222223222223

()
3
3
33
333
333
=
−++
−++
=
xyzzyx
xyzzyx
Задача 3. Докажете, че функцията

() xBxAu
t
λ+λ=
λα−
sincos
22
l
удовлетворява едномерното уравнение на топлопроводността

2
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
α
Решение. Намираме
() ()
22
.sincos
22
λαλλ
λα
−+=
∂
∂
− t
xBxA
t
ul

() xBxA
x
u
t
λλλλ
λα
cossin
22
+−=
∂
∂
−
l

5
() xBxA
x
u
t
λλλλ
λα
sincos
22
2
2
22
−−=
∂
∂
−
l
Последното равенство умножаваме с
2
α и получаваме
() () ()
22222
2
2
2
2222
sincossincos λαλλλλλλαα
λαλα
−+=−−=
∂
∂
−− tt
xBxAxBxA
x
ull
Сравняваме десните страни на
t
u
∂
∂
и на
2
2
2
x
u
∂
∂
α . Виждаме, че те са равни. Тогава е вярно и
равенството

2
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
α .
Задача 4. Намерете диференциала на функцията
22
yxz += и изчислете с точност до 0.01
израза
()()
22
1.39.3+=M
Решение.
Използваме, че

dy
y
z
dx
x
z
dz
∂
∂
+
∂
∂
=
т.е.
ydy
yx
xdx
yx
dz
2222
11
+
+
+
=
Израза M изчисляваме за 1.0;1.0;3;4=−=== dydxyx чрез намерения диференциал на
функцията. Тогава
98.402.051.0.
5
3
)1.0.(
5
4
34
22
=−=+−++=M
Задача 5. Да се намерят екстремумите на функцията:
5.1. yxyxyxz 63
22
−=−++=
5.2. 45 9
33
+−+= xyyxz
5.3. xxyxz 2162
23
−+=
5.4. ()
244
4yxyxz −−+=
Решение.
5.1. Намираме стационарните точки на дадената функция
yxyxyxz 63
22
−=−++=
чрез решаване на системата

062
032=−+=
∂
∂
=−+=
∂
∂yx
y
z
yx
x
z

Решаваме тази система по формулите на Крамер

3
14
312
21
12
61
32
;0
14
66
21
12
26
13=
−
−
===
−
−
==yx
Нека с
M означим стационарната точка. Тогава ()3,0M. Пресмятане частните производни
от втори ред
2
2
2
=
∂
∂
x
z
,
2
2
2
=
∂
∂
y
z,
1
2
=
∂∂
∂
yx
z
и чрез тях намираме стойността на (Хесиана), т.е. на детерминантата

6
03
21
12
2
22
2
2
2
>==
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=Δ
y
z
xy
z
yx
z
x
z.
Следователно за посочената стационарна точка
()3,0M дадената функция има екстремум и
понеже 02
2
2
>=
∂
∂
x
z
то това е локален минимум. Стойността на този минимум е

(
)
22
0 03 3 30 63 9
min
zzM . ..==++−−=−