Задачи от диференциални уравнения с постоянни коефициенти

§9. Задачи от диференциални уравнения с постоянни коефициенти

Съдържание
1. Хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти
2. Метод на Лагранж за намиране на чатен интеграл на нехомогенни диференци-
ални уравнения с постоянни коефициенти
3. Намиране чатен интеграл на нехомогенни диференциални уравнения с посто-
янни коефициенти със специална дясна част

ТЕОРИЯ
Линейно
диференциално уравнение от n-ти ред с постоянни коефициенти
()N∈n се нарича уравнението
(1)
()
()
()xfyayayaya
n
n
n
n
=+′+++
−
− 01
1
1
L , 0
≠
na ,
където коефициентите
na,
1−na, ...,
1
a,
0a са константи. Тук функцията ()xf се
предполага непрекъсната в отворения интервал
Δ, в който търсим решенията.
Когато функцията
()xf е тъждествено нула, уравнението (1) се нарича хомогенно
(2)
()
()
0
01
1
1
=+′+++
−
−
yayayaya
n
n
n
n
L .

Характеристичен полином на уравнението (2) е полиномът
(3)
()
01
1
1arararar
n
n
n
n
++++=
−
−
Lχ , а характеристично уравнение на уравне-
нието (2) се нарича уравнението
0
01
1
1
=++++
−
−
ararara
n
n
n
n
L
Ако характеристичното уравнение ()0=rχ има прости реални корени
1
r,
2
r, ...,
nr тогава общото решение на ЛХДУ (2) се дава по формулата

xr
n
xrxr
n
eCeCeCy+++=L
21
21 .
Нека характеристичното уравнение ()0=rχ има само реални корени
1
r,
2
r
2
r
, ...,
mr (
jirr≠ за ji≠) с кратности
1α,
2
α, ...,
m
α, n
m
=+++ ααα L
21 . Тогава всеки
корен
jr, mj ,,2,1K=, поражда следната верига от решения на ЛХДУ (2)

xrxrxr
j
jjjj
exxeer
1
,,,
−
→
α
K
които в своята съвкупност образуват една фундаментална система от решения.
Тогава общото решение на ЛХДУ (2) се дава по формулата
() () ()
xrxrxr
m
m
exPexPexPy
111
2
2
1
1
−−−
+++=
ααα
L където ()xP
s1− е полином от степен 1−s и е с произволни коефициенти
Всяка двойка комплексно спрегнати корени β±αi, 0≠β, на характеристич-
ния полином ()rχ, от кратност m, поражда следната верига от двойки решения

⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
→
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
−
−
xex
xex
xxe
xxe
xe
xe
i
i
xm
xm
x
x
x
x
β
β
β
β
β
β
βα
βα
α
α
α
α
α
α
sin
cos
,,
sin
cos
,
sin
cos
1
1
K .
Техният брой е равен на m2, колкото е сумарната кратност на двата корена β+αi
и β−αi.

ЗАДАЧИ
Задача 1. Да се решат хомогенните уравнения.

1.1. 0 65 =+′+′′ yyy
1.2. 0 823=−′−′′ yyy
1.3. 0 67 =+′−′′′ yyy
1.4. 0 910 =+′′− yyy
IV

1.5. 0=+′−′′−′′′ yyyy
1.6. 033 =−′+′′−′′′ yyyy
Решение.
1.1. Характеристично уравнение на даденото диференциално уравнение
е 0 65
2
=++rr . То има реални корени 2
1
−=r и 3
2
−=r . Следователно общият
интеграл на диференциалното уравнение е

xx
CCy
3
2
2
1hom
−−
+= ll .
1.2. Характеристично уравнение на даденото диференциално уравнение е
0 823
2
=−−rr
То има реални корени
,2
1
=r и
3
4
2−=r . Следователно общият интеграл на дифе-
ренциалното уравнение е

x
x
CCy
3
4
2
2
1hom
−
+=ll
1.3. Характеристично уравнение на даденото диференциално уравнение е
0 67
3
=+−rr
Разлагаме на множители

( )()()()( ) =−−+−=−−−=+−−=+− 16111616667
233
rrrrrrrrrrrr

()
( )()( ) () 3,2,132161
321
2−===⇒+−−=−+−= rrrrrrrrr
Следователно общото решение има вида

xxx
CCCy
3
3
2
21hom−
++=lll
1.4.
Характеристично уравнение на даденото диференциално уравнение е

0910
24
=+−rr
Това уравнение е биквадратно и се решава чрез полагане
9 ,10910
21
22==⇒=+−⇒= tttttr
От 1,
1
2==ttr следва 1,1
21
−==rr , а от 9,
2
2==ttr следва 3,3
43−==rr . Сле-
дователно общият интеграл на диференциалното уравнение е

xxxx
CCCCy
3
4
3
321hom−−
+++=llll
1.5.
Характеристично уравнение на даденото диференциално уравнение е
0 1
23
=+−− rrr
То може да се реши чрез разлагане на множители както при решението на задача
1.3, но може да се използва и правилото на Хорнер като се пробват делителите 1 и
-1 на свободния член 1 на уравнението.

Следователно общият интеграл на диференциалното уравнение е
()
xx
CCxCy
−
++=ll
321hom
ю
1.6.
Характеристично уравнение на даденото диференциално уравнение е

() 1010133
3,2,1
323=⇒=−⇒=−+− rrrrr .
Следователно общият интеграл на диференциалното уравнение е

( )
x
CxCxCyl
32
2
1hom++=
Задача 2. Да се решат хомогенните уравнения.
2.1. 0 33 =+++
VVIVIIVIII
yyyy
2.2. 0 242863 =−′+′′−′′′− yyyyy
IV

2.3. 0 134=+′−′′ yyy
2.4. 0 3613 =+′′+ yyy
IV

2.5. 0 96 =+′′+ yyy
IV

2.6. 064=′+yy
IV
;
2.7. 0 =′′−yy
V
.
Решение.
2.1. Отговор

( )( )
x
CxCxCCxCxCxCxCy
−
+++++++=l
87
2
654
2
3
3
2
4
1hom

2.2.
Отговор

( )
xx
CCxCxCy
3
4
2
32
2
1hom−
+++=ll
2.3. Характеристично уравнение на даденото диференциално уравнение е

0134
2
=+−rr
То има за корени
ir 32
1
+= и ir 32
2
−= . Следователно общият интеграл на дифе-
ренциалното уравнение е

() () xixi
CCy
32
2
32
1hom−+
+=ll
След прилагане на формулата на Ойлер
ϕϕ
ϕ
sincosi
i
+=l може да се запише та-
ка

() ()
( ) ( )=−++=+=
−+
xxCxxCCCy
xxxixi
3sin3cos3sin3cos
2
2
2
1
32
2
32
1hom
llll

() () ( ) xBxAxCCxCC
x
BA
x
3sin3cos3sin3cos
2
2121
2
+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−++= l
4342143421
l

() xBxAy
x
3sin3cos
2
hom
+=l .
2.4. Отговор

xDxCxBxAy 2sin2cos3sin3cos
hom
+++=
2.5.
Отговор

() () xDCxxBAxy 3sin3cos
hom +++=
2.6.
Отговор

( )xDxCCCy
xx
52sin52cos
24
21hom
+++=
−
ll
2.7.
Отговор

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++=
−
xCxCCCxCy
x
x
2
3
sin
2
3
cos
54
2
321homll