Задачи от граници и непрекъснатост на функция на една променлива

§1. Задачи от граници и непрекъснатост на функция на една променлива

Съдържание
1.Основни граници
2. Граница на функция
3. Непрекъснатост на функция

ТЕОРИЯ
Нека функцията
f е определена в някакво множество R⊂
E и
0
x се явява точка на
сгъстяване за E. Числото A се нарича граница на функцията ()xf при x клонящо към
0
x
()
0
xx→ (или още граница на функцията ()xf в точката
0
x), когато за всяка редица от точки
{}
0
,xxEx
nn
≠∈ , за която
0limxx
n
n
=
∞→
, редицата (){ }
nxf клони към числото A. Пишем
()Axf
xx
=
→
0
lim . Числото A е граница на функцията ()xf при
0xx→ тогава и само тогава, ко-
гато за всяко
0>
ε съществува δ такова, че () ε<−Axf, винаги когато δ<−
0
xx и
0xx ≠.
Ako
()
00 xxxx
nn≤→ то
()xfA
xx
0
lim
→
= се нарича лява граница на функцията ()xfy= в точка
0x. Тогава се използва означението ()xfA
xx 0
0
lim
−→
= . Аналогично се дефинира дясна граница
на функция
()xfA
xx 0
0
lim
+→
= .

Основни граници

0
1
lim=
∞→x
x

l=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
x
xx
1
1lim
1
sin
lim
0
=
→x
x
x


1
tg
lim
0
=
→x
x
x

1 coslim
0
=
→
x
x

Нека
0x е точка на сгъстяване за дефиниционното множество на функциите
()xf и
()xg, ()axf
xx
=
→
0
lim и ()bxg
xx
=
→
0
lim . Тогава
1) Функцията
() ()xgxf
+ също има граница в
0x, при което

()
()[] baxgxf
xx
+=+
→
0
lim .
2) Функцията
()()xgxf също има граница в
0x, при което

()()[] baxgxf
xx
=
→
0
lim .
3) Ако
0≠b, то функцията
()
()
xg
xf
също има граница в
0x, при което

()
()
b
a
xg
xf
xx
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
→
0
lim .
Функцията
()xfy= се нарича нпрекъсната в точка
0x ако

()
()
0
0
lim xfxf
xx
=
→

Функцията
()xfy= се нарича непрекъсната в интервала
[]ba;ако е непрекъсната във
всяка точка от този интервал.

ЗАДАЧИ
Задача 1
. Да се намерят границите
1.1.
3
3
31
34
lim
x
xx
x +
−
∞→

1.2.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
∞→
x
x
x
x 1
lim
2
3

1.3.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+−
−+
→
x
xx
xx
x
10
23
2
lim
2
23
1

1.4.
xx
x
x sin.
2cos1
lim
0
−
→

1.5.
x
x
x
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
∞→ 2
1
lim

1.6.
12
1
3
lim
+
∞→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
x
x
x
x

1.7. x
x
x 2tg
4sin
lim
0→

Решение.
1.1
1
3
3
1
lim3
1
lim43
1
3
4
3
lim
31
34
lim
3
2
3
3
2
3
3
3
−=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
=
+
−
∞→
∞→
∞→∞→x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx

Използвали сме теоремата за граница на частно и основната граница

0
1
lim=
∞→x
x

1.2.
01.0
1
lim1
1
.
1
lim
1
1
lim
1
lim
1
lim
2
2
2
2
33
2
3
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
+
−−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
∞→
∞→∞→∞→∞→x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
x
x
xxxx

1.3.
()( )
()( )
=+
−−
++−
=+
+−
−+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+−
−+
→→→→
10
21
221
limlim10
23
2
lim10
23
2
lim
2
11
2
23
1
2
23
1
xx
xxx
x
xx
xx
x
xx
xx
xxxx


()
510510
2lim
2lim2lim
lim
1
1
2
1
1
=+−=+
−
++
=
→
→→
→
x
xx
x
xx
x

1.4.
21.2
sin
lim2
sin.
sin2
lim
sin.
2cos1
lim
0
2
00
====
−
→→→x
x
xx
x
xx
x
xxx

1.5
.
32
2
2
2
2
2
.
2
1
1lim.
2
1
1lim
1
1lim
2
1
1
1
lim
2
1
lim llll ==
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−∞→−
−
−
∞→
∞→
∞→∞→
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

Тук сме използвали основната граница
l=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
x
xx
1
1lim и тъждествено преобразуване на
степени.

По аналогичен начин се решава и следващата задача.
1.6. =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
∞→∞→∞→
+
∞→
1.
1
3
lim
1
3
lim.
1
3
lim
1
3
lim
2212 x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x


8
2
1
3
2
1
3
32
1
1lim
3
1lim
1
1
3
1
lim l
l
l
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
=
−−
−
∞→
∞→
∞→ x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

1.7.
( )22coslim2
2cos
2sin
2cos.2sin2
lim
2tg
4sin
lim
2
000
===
→→→
x
x
x
xx
x
x
xxx

Задача 2. Да се начертаят графиките на функциите
2.1. ()
[]
[
)
[ )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+∞∈−
∈−
∈
=
;5,2,72
5,2;1,24
1;0,2
xx
xx
xx
xf
2.2. 2
2
+
+
+=
x
x
xy

Решение.
2.1
. Уравненията

xy2= , xy 24−= и 72−=xy
задават съответно парабола, права и права. Определяме стойностите на функцията в крайни-
те точки на дадените интервали
()
0020 ==f , () 2121 ==f , () 224lim24lim
0101
= −=−=
+→+→
xxf
xx
,

() 154lim24lim
05,205,2
−=−=−=
−→−→
xxf
xx
, () 27575,2.25,2 −=−=−=f
и
() ∞=−=
∞→∞→
7lim.2lim xxf
xx


Тогава графиката на функцията ще изглежда така

Функцията

2
2
+
+
+=
x
x
xy

не е дефинирана в точката
2−=x. Задаваме тази функция така

()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+∞−∈+=
+
+
+
−∞−∈−=
+
+
−
=
,2,1
2
2
2,,1
2
2
xx
x
x
x
xx
x
x
x
y
Уравненията 1−=xy и 1+=xy задават прави линии. Отбелязваме, че

312lim
02
−=−−=
−−→
y
x
, а 1 12lim
02
−=+−=
+−→
y
x
.
Следователно дадената функция е прекъсната в точката
2
−=x , защото лявата и дясната гра-
ница в тази точка са различни. Скокът на функцията в същата точка е
()231limlim
0202
=−−−=−
−−→+−→
yy
xx
.
Графиката на функцията е