Задачи от нехомогенни диференциални уравнения

1
§10. Задачи от нехомогенни диференциални уравнения

Съдържание

1. Метод на Лагранж за определяне на частен интеграл на нехомогенно линейно
диференциално уравнение от n-ти ред с постоянни коефициенти.
2. Намиране на частен интеграл на ДУ с дясна част от специален вид.

ТЕОРИЯ
Линейно диференциално уравнение (ЛДУ) от
n-ти ред
()N∈n се нарича
уравнението

()
()
()
()
() () ()xfyxayxayxayxa
n
n
n
n
=+′+++
−
− 01
1
1
L ,
където коефициентите
()xa
n
,
()xa
n1−
, ..., ()xa
1
, ()xa
0
и функцията ()xf се
предполагат непрекъснати в отворения интервал Δ. Освен това винаги ще
предполагаме, че старшият коефициент ()xa
n
навсякъде е различен от нула,
()0≠xa
n
, Δ∈x. При тези предположения уравнението е от ред n във всяка точка
на интервала
Δ. Когато функцията
()xf е тъждествено нула, ()0≡xf,
уравнението се нарича линейно хомогенно диференциално уравнение (ЛХДУ) от
n-ти ред, а когато ()0≠xf уравнението се нарича линейно нехомогенно
диференциално уравнение (ЛНХДУ) от
n-ти ред
Всичките решения на ЛНХДУ се получават по формулата

nnyCyCyCyy++++=L
22110
,
където
0y е едно (кое да е) частно решение на ЛНХДУ, а
1
y,
2
y, ...,
ny е една (коя
да е) фундаментална система на съответното хомогенно уравнение и
1
C,
2
C, ...,
nC са произволни константи.
0y може да се намери във вида
() () () () () ()()xyxCxyxCxyxCxy
nn +++= L
22110
,
където
1
C,
2
C, ...,
nC са функции, чиито производни удовлетворяват системата

() () ()
() () ()
()
()
xa
xf
yCyCyC
yCyCyC
yCyCyC
yCyCyC
n
n
nn
nn
n
nn
nn
nn
nn
=′++′+′
=′++′+′
=′′++′′+′′
=′++′+′
−−−
−−−
11
22
1
11
22
22
2
11
2211
2211
0
...
0
0
L
L
L
L

Ако дясната страна
()xf на ЛНХДУ има вида
()xP
m
x.
α
l , където
α е реално или
комплексно число, а
()xP
m е полином от степен m, то
0y може да се намери във
вида
()
μα
= xxGy
m
xl
0 , където
()xG
m е полином от степен m с неопределени
коефициенти, а μ е броят на съвпаденията на α с корените на характеристичното
уравнение на ЛХДУ.

ЗАДАЧИ
Задача 1. Да се решат нехомогенните уравнения.

2
1.1.
1
2
2
+
=+′−′′x
yyy
x
l

1.2.
1
2−
=−′′
x
x
yy
l
l

1.3.
x
yy
2cos
1
4=+′′
1.4.
x
yy
sin
1
=+′′
1.5. 2 2556
2
−=+′+′′ xyyy
Решение.
1.1. Решаваме първо хомогенното диференциално уравнение

02 =+′−′′ yyy
и намираме

()
x
CxCyl
21hom+=
Използваме метода на Лагранж за получаване на частен интеграл

() ()
xx
xuxxull..
21+=η
на нехомогенното диференциално уравнение

1
2
2
+
=+′−′′x
yyy
x
l
.
Съставяме системата

()
{ ()
{
()() ()
{
1
..
0..
221
21
2
1
21
+
=′++′
=′+′′
′x
xuxxu
xuxxu
x
y
x
y
xx
y
x
y
x
l
l
43421
ll
ll

и я решаваме спрямо
()xu
1
′ и
()xu
2
′ като предварително я преобразуваме във вида

1
1
.
0.
2211
21
+
=
′
+
′
+
′
=
′
+
′
x
uxuu
uxu

От намерените производни на неизвестните функции

()
1
1
21
+
=′
x
xu ,
()
1
22
+
−=′
x
x
xu
определяме

()
∫
=
+
= xdx
x
xu arctg
1
1
21

и

()
()1ln
2
1
12
1
1
2
2
2
22
+−=
+
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−=∫∫
x
x
dx
dx
x
x
xu .
Тогава търсеният частен интеграл е

()
xx
xxxll
2
1ln
2
1
arctg +−=η
а общият интеграл на уравнението е

()
( )
xxx
xxxCxCylll.1ln
2
1
arctg
2
21
+−++= .

3
1.2. По аналогичен начин намираме последователно

xx
CCy
−
+=ll
21hom

() ()
xx
xuxu
−
+= ll
21
η

()
1
1
1
−
=′
x
xu
l


()
1
2
2
−
−=′
x
x
xu
l
l


() ( )1ln
1 −=
−x
xu l

()
()1ln
2 −−−=
− xx
xu ll
( ) ()( )1ln1ln. −−−−−=
−−− xxxxx
lllllη ;
Следователно общото решение е
( ) ()( )1ln1ln.
21 −−−−−++=
−−−− xxxxxxx
CCy lllllll
1.3. Отговор
xCxCy 2sin2cos
21hom++=
x
x
xx 2sin.
2
2cos.2cosln
4
1
+=η
x
x
xxxCxCy 2sin.
2
2cos.2cosln
4
1
2sin2cos
21 +++= .
1.4. Отговор
xCxCy sincos
21hom+=

xxxx sinln.sincos.+−=η
xxxxxCxCy sinln.sincos.sincos
21
+−+=
1.5.
xx
CCy
5
21hom−−
+=ll. За намиране на частен интеграл на нехомогенното
уравнение използваме, че дясната страна на уравнението е от вида

()
( )225.
20
−= xxP
x
m
x
ll
α

Тогава
( )
μ
η xCBxAx
x
..
20
++=l
където μ е броят на съвпаденията на 0=α с корените на характеристичното
уравнение. Така се получава, че CBxAx ++=
2
η . Константите определяме по
метода на неопределените коефициенти. Определяме

BAx+=′2
η и A2=′′η
Заместваме
CBxAx ++=
2
η , BAx
+=′2η , A2=′′η
в даденото уравнение
2 2556
2
−=+′+′′ xyyy
съответно на мястото на
y, y′ и y
′′. Получаваме
2 255556122
22
−=+++++ xCBxAxBAxA
Преобразуваме лявата страна

() 2255625125
22
−=+++++ xCBAxBAAx
и сравняваме коефициентите пред равните степени на
x от двете страни на
полученото равенство.

4

2562 x
0612 x
255A x
0
2
−=++→
=+→
=→
CBAПред
BAПред
Пред

Решаваме получената система и получаваме

5=A; 12
−=B ; 2=C. Тогава 2 125
2
+−= xxη .
Общият интеграл на уравнението е
2 125
25
21
+−++=
−−
xxCCy
xx
ll .
Задача 2. Да се решат нехомогенните уравнения.
1.6 xxyy 612
2
+=′′−′′′
1.7.
x
yyy
−
=+′−′′l1023
1.8
( )32
2
−+=′−′′ xxyy
x
l
1.9. ()262 −=+′−′′ xyyy
x
l
1.10. xxyyy cos22sin452+ =+′+′′
Решение.
1.6. По аналогичен начин се получава решението и на тази задача

x
CCxCyl
321hom++= ;

( )
234220
.. CxBxAxxCBxAx
x
++=++=lη .
Търсеният общ интеграл е

234
321
155xxxCCxCy
x
−−−++=l
1.7. Отговор

xx
CCy
2
21hom
ll+=

x
A
−
=lη

xxx
CCy
−
++=lll
3
5
2
21

1.8. Отговор

x
CCy
2
21hom
l+=

( )CBxAx
x
++=
2
.lη , ( )5.
2
−+−= xx
x
lη
( )5.
22
21
−+−+= xxCCy
xx
ll
1.9. Отговор

()
x
CxCyl
21hom+=

()
2
. xBAx
x
+=lη

()
( )
23
21
.xxCxCy
xx
−++=ll
1.10. Отговор

() xBxAy
x
2sin2cos
hom +=
−
l

xNxMcossin
+=η

() xxxBxAy
x
cos4sin32sin2cos+++=
−
l