Задачи от правило на Лопитал

§3. Задачи от правило на Лопитал

Съдържание
1. Основни теореми за диференцируеми функции
2. Разкриване на неопределености
ТЕОРИЯ
Теорема на Ферма. Нека
0
x е точка на локален екстремум за функцията ()xf, определена в някаква
околност на
0
x и нека ()xf е диференцируема в
0
x. Тогава
()0
0
=′xf .
Теорема на Рол. Нека функцията
()xf е непрекъсната в затворения интервал []ba, и диференцируе-
ма в отворения интервал
()ba,, при което
()()bfaf= . Тогава съществува поне една точка ()ba,∈ξ ,
за която
()0=ξ′f .
Теорема на Лагранж. Нека функцията
()xf е непрекъсната в затворения интервал []ba, и диферен-
цируема в отворения интервал
()ba,. Тогава съществува поне една точка ()ba,∈ξ , за която

() ()
()ξ′=
−
−
f
ab
afbf.
Теорема на Коши. Нека функциите
()xf и
()xg са непрекъснати в затворения интервал []ba, и ди-
ференцируеми в отворения интервал
()ba,, при което
()0≠′xg, за всяко ()bax,∈ . Тогава съществува
поне едно
()ba,∈
ξ такова, че

() ()
() ()
()
()ξ′
ξ′
=
−
−
g
f
agbg
afbf
.
Правило на Лопитал. Нека функциите
()xf и ()xg са диференцируеми и ()0≠′xg в околност на
точката
a
x=, при което ()() 0==agaf и нека съществува границата

()
()
A
xg
xf
ax
=
′
′
→
lim .
Тогава съществува и границата на частното на
()xf и ()xg за ax→, при което

()
()
A
xg
xf
ax
=
→
lim .
Формула на Тейлър. Нека функцията
()xf има непрекъснати производни до ред ()1+n в околност
() δ+δ−aa, , 0>δ, на точката ax=. Тогава за ( )δ+δ−∈ aax, е в сила представянето

() () ()( )
()
()
()
()
()
()
()
()
()
1
1
2
!1!2
+
+
−
+
ξ
+−++−
′′
+−′+=
n
n
n
n
ax
n
f
ax
n
af
ax
af
axafafxf L,
където
ξ е някаква точка от интервала с краища
x и a.
Формула на Тейлър за полином. Нека ()xP е полином от степен n, т.е.

()
n
n
xaxaxaaxP ++++= L
2
210
,
0
≠
na , и a е някакво число. Тогава ()xP може да се запише във вида

() () ()( )
()
()
()
()
()
()
()
n
n
ax
n
aP
ax
aP
ax
aP
axaPaPxP −++−
′′′
+−
′′
+−′+=
!62
32
L .
Когато центърът на Тейлъровото развитие е
0
=a се получава формулата на Маклорен

() () ()
()
()
()
()
()
nn
n
xox
n
f
x
f
x
f
xffxf +++
′′′
+
′′
+′+=
!
0
6
0
2
0
00
32
L ,
за развитие на дадена функция
()xf около нулата.

ЗАДАЧИ
Задача 1. Разкрийте неопределеност ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0

1.1.
34
23
lim
23
23
1
+−
+−
→ xx
xx
x

Решение. Границата можем да намерим чрез разлагане на числителя и знаменателя на множители и
използване теоремите за граници

()()
()()
()
() 5
3
331
221
3lim3lim
2lim2lim
331
221
lim
0
0
34
23
lim
1
2
1
1
2
1
2
2
1
23
23
1
=
−−
−−
=
−−
−−
=
−−−
−−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+−
+−
→→
→→
→→
xx
xx
xxx
xxx
xx
xx
xx
xx
xx

Друг начин за решаване на същата задача е да се използва правилото на Лопитал, което означа-
ва да заменим числителя и знаменателя на дадената дроб съответно с производната на числителя и
производната на знаменателя и да търсим граница на полученото частно.

5
3
5
3
8lim3
6lim3
83
63
lim
83
63
lim
0
0
34
23
lim
1
1
1
2
2
1
23
23
1
=
−
−
=
− −
=
−
−
=
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+−
+−
→
→
→→→
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
x
x
xxx

1.2.
ll−
+−
→
x
x
xx ln1
lim
2
1

Решение.
l
l
lll
3
lim
1
lim21
2
lim
0
0ln1
lim1
lim
1
1
1
2
1
=
+
=
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
+−
→
→
→
→→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx


1.3.
x
x
x
3
arctg2
lim
l
−
∞→
π

Решение.

3
2
1.1.
3
21
lim
1
lim
3
2
3
1
1
2
lim
0
0arctg2
lim
32
2
2
3
2
3
==
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
∞→∞→∞→∞→
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xx
lll
π

1.4.
6
sinarctg
333sin
lim
3
2
0
x
xx
xxx
x
x
−−
+−
→
l

Решение.

=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−−
+
+−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−−
+−
→→ 0
0
2
cos
1
1
6333.3cos
lim
0
0
6
sin
333sin
lim
2
2
0
3
2
0
x
x
x
xxx
x
xarctgx
xxx
xx
x
x
x
lll


()
() ()
()
=
−+
+
+−+
−
−−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−+
+
−
+−−−−
=
→→
1cos
1
2.12.212
393.3cos9
lim
0
0
sin
1
2
63333.3sin3
lim
4
2
2
2
20
2
2
0
x
x
xxxx
xx
xx
x
x
xx
xx
x
xxx
x
lllll


18
2
927=
−
−−
=

1.5.
x
x
x
x
5sin
13
lim
2
3
0
−−
→
l

Решение.

50
9
10.10cos5
9
lim
0
0
5.5cos.5sin2
33.
lim
0
0
5sin
13
lim
3
0
3
0
2
3
0
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−−
→→→ xxxx
x
x
x
x
x
x
x
lll

1.6.
3
0
sin
lim
x
xx
x
−
→

Решение.

6
1sin
lim
6
1
6
sin
lim
0
0
3
cos1
lim
0
0sin
lim
00
2
0
3
0
===
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
→→→→x
x
x
x
x
x
x
xx
xxxx

Задача 2. Разкрийте неопределеност
∞⎡⎤
⎢⎥
∞⎣⎦

2.1.
x
x
xx
x
l
l
+
∞→
2
lim
Решение.
=
++
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
=
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
=
+
∞→∞→∞→
x
xxx
x
x
xx
x
x
x
x
xx
x
x
l
lll
l
ll
l
l 4
1
..
2
1
.
2
1
.
lim
1
2
1
.
limlim
22222
2


0
2
1
.
1
lim
4
14
1
lim
22
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
=
+
=
∞→∞→
x
x
x
x
x
ll

2.2.
()
()
2
2
ln
2ln
limll−
−
→
x
x
x

Решение.

()
()
() ()
1
1
1
lim
2
lim
0
0
2.
lim
.
1
2
1
lim
ln
2ln
lim
22
2
2
2
2
2
2
−=
−
=
+−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
−
=
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
=
−
−
→→→→→xxx
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xll
l
l
ll
l
ll
ll

2.3.
3
ln
lim
x
x
x∞→

Решение.
0
1
lim.
3
1
3
1
lim
ln
lim
3
23
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
=
∞→∞→∞→xx
x
x
x
xxx

2.4.
()x
x
tg
x −
→1ln
2
lim
1
π

Решение.

()
()
∞=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
=
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
=
−
→→→→
2
.
2
sin.
2
cos2
1
lim
20
0
2
cos
1
lim
2
1.
1
1
2
.
2
cos
1
lim
1ln
2
lim
1
2
1
2
11 πππ
π
π
π
π
ππ
xxx
x
x
x
x
x
tg
xxxx

Задача 3. Намерете границите [
]0.∞:
3.1. xx
x
lnlim
2
0→

Решение.

[]
() 0lim
2
1
1
2
1
lim
1
ln
lim.0lnlim
2
0
3
0
2
0
2
0
=−=
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
==∞=
→→→→
x
x
x
x
x
xx
xxxx

3.2. xx
x
πcotglim
0→

Решение.

[]
π
π
π
π
π
π
π
1
coslim
1
..
cos
1
1
lim
0
0
tg
lim.0cotglim
2
0
2
000
===
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==∞=
→→→→
x
x
x
x
xx
xxxx

3.3. xx
x
cotgarcsinlim
0→

Решение.

[]
1
1
cos
lim
cos
1
1
1
lim
0
0
tg
arcsin
lim.0cotgarcsinlim
2
2
0
2
2
000
=
−
=
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==∞=
→→→→
x
x
x
x
x
x
xx
xxxx

3.4. () xx
x
cotgcos1lim
0
−
→

Решение.

() []
0
cos
1
sin
lim
0
0
tg
cos1
lim.0cotgcos1lim
2
000
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
=∞=−
→→→
x
x
x
x
xx
xxx

Задача 4. Намерете границите []∞−∞
4.1.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
→ 1
11
lim
0
x
xxl

Решение.

[]
() 2
1
lim
0
0
1
1
lim
0
0
1.
1
lim
1
11
lim
0000
=
++
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
−−
=∞−∞=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
→→→→
xxx
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x xxx
x
xlll
l
ll
l
l
l
l

4.2.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
→ xx
x ln
1
1
1
lim
1

Решение.
[]
()
=
−
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
+−
=∞−∞=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
→→→
x
x
x
x
xx
xx
xx
xxx 1
ln
1
1
lim
0
0
ln1
1ln
lim
ln
1
1
1
lim111


2
1
11ln
1
lim
0
0
1ln
1
lim
11
−=
++
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−+
−
=
→→xxxx
x
xx

4.3.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
→
x
x
x
2
2
0
cotg
1
lim
Решение.

[] =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+−
=∞−∞=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
→→ 0
0
sin
cossin
.
sin
cossin
limcot
1
lim
0
2
2
0 xx
xxx
xx
xxx
xg
x
xx


1
sin
cossin
.
cos.sin
sin
lim
sin
cossin
lim.
cos.sin
sincoscos
lim
000
=
+
+
=
+
+
+−
=
→→→ xx
xxx
xxx
xx
xx
xxx
xxx
xxxx
xxx

Задача 5.
Намерете границите [] [ ] [ ]
00
0,,1∞
∞

5.1. ()
x
x
xsinlim
0→

Решение. Означаваме
()()0sinlim
0
Fx
x
x
=
→
и логаритмуваме. Получава се

() ( ) []
()
=
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
==∞==
→→→
2
000
1
cos.
sin
1
lim
1
sinln
lim.0sinln.lim0ln
x
x
x
x
x
xxFxxx


01.0lim.limlim
00
2
0
==−=−=
→→→tgx
x
x
tgx
x
xxx
.

Щом

()00ln =F то () 10
0
==lF .
Следователно

() 1sinlim
0
=
→
x
x
x
5.2.
()
x
x
x
cos2
2
tglim
π
→

Решение. Означаваме

() ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→ 2
tglim
cos2
2 π
π