Задачи от пресмятане на вероятности

§16. Задачи от пресмятане на вероятности

Съдържание
1. Основни понятия в теорията на вероятностите.2. Определения за пермутации, комбимации
и вариации
3. Пресмятане на пермутации, комбинации и вариации
4. Пресмятане на вероятности

ТЕОРИЯ
Събитие наричаме възможен изход от някакъв опит (експеримент). Всичките отделни въз-
можни изходи от даден случаен опит се наричат елементарни
събития, а тяхната съвкуп-
ност обикновено се бележи с
Ω. Елементарните събития се означават с
k
ω, K,2,1=k ,.
Случайно събитие A се нарича всяко подмножество на множеството от елемен-
тарните изходи
Ω от даден случаен опит. Вероятност на едно случайно събитие
A се на-
рича отношението на мярката на благоприятните случаи за неговото появяване към мярката
на всички възможни случаи. Бележи се с
()
()
()
Ω
=μ
μA
AP

Съгласно това определение, вероятността е число между 0 и 1.
Теорема (за събиране на вероятности ). Нека A и B са събития. Тогава за тяхната
сума е в сила формулата
() ()()() ABPBPAPBAP −+=+.
Теорема (за умножение на вероятности ). Нека A и B са събития, ()0>BP. Тогава
за тяхното произведение е в сила
() ( )() BPBAPABP |= .

ЗАДАЧИ
Задача 1. Да се пресметне вероятността номерът на случайно избрана облигация да не съ-
държа еднакви цифри, ако този номер може да е кое да е петзначно число с изключение на
00000.
Решение. Пространството от елементарни събития се състои от всички петзначни числа, а
техния брой се определя чрез вариации с повторение на
елементите

55
10
10=V
Благоприятни случаи са тези, за които петзначното число е с различни цифри, а техния брой
е
5
10
V- вариации без повторение на елементите. Следователно

()
3024.0
10
6.7.8.9
110
6.7.8.9.10
1
455
10
5
10
=≈
−
=
−
=
wV
V
AP
Задача 2. На 10 картончета са написани буквите А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И, К. На колко е рав-
на вероятността при случайно нареждане на картончетата да се получи думата
МАТЕМАТИККА .
Решение. I начин.

()
()
151200
1
!2!2!3
!10
1
2;2;3
1
10
===
P
AP
II начин.
Р(А)=Р(М
1).Р(А 2).Р(Т 3).Р(Е 4).Р(М 5).Р(А 6).Р(Т 7).Р(И 8).Р(К 9).Р(А 10)=

151200
1
1.
2
1
.
3
1
.
4
1
.
5
2
.
6
1
.
7
1
.
8
2
.
9
3
.
10
2
==
Задача 3. В кутия има 10 топки. От тях 4 бели и 6 черни. Изваждат се по случаен начин 5
топки (без връщане). Намерете вероятността измежду тях да се окажат точно 3 бели топки.
Решение.

2
()
21
5.
5
10
2
6
3
4
==
C
CC
AP

Задача 4. Определете вероятността контролният номер на случайно срещнат автомобил:
4.1. да не съдържа еднакви цифри
4.2. да има точно 3 еднакви цифри
4.3. да има точно две еднакви цифри
Решение. 4.1.

()
9999
7.8.9.10
1
4
10
4
10
=
−
=
wV
V
AP

4.2.

()
9999
4.9.10
1
9.10.
4
10
3
4
=
−
=
wV
C
AP

4.3.

()
10
8.9.10.
4
10
2
4
−
=wV
C
AP

Задача 5. :Партида от 100 изделия се подлага на качествен контрол. Условието за бракуване
на партидата е наличието на поне 5 бракувани изделия от 5 проверени. Каква е вероятността
за бракуване на изделията, ако 5% от тях са некачествени?
Решение.

()
5
95
5
100
0,77
C
PA
C
=≈
A-партидата от изделия е бракувана;
() ()1 1 0,77 0,23PA PA=− =− ≈
Задача 6. От колода карти (36 карти) произволно се изтеглят 3 карти. Каква е вероятността
сред тях да се окаже поне 1 дама?
Решение. I-начин . A-сред трите карти има поне 1 дама

123
,
i
AAA AA=++ - извадени са i дами,
123
,,AAA -несъвместими;

() ( ) ( )
()()
12 1 2 3
,,PA PAAA PA PA PA==++

()
12
432
1 3
36
.
0,2778CC
PA
C
=≈ ; ()
21
432
2 3
36
.
0,0269CC
PA
C
=≈ ; ()
30
432
3 3
36
.
0,0006CC
PA
C
=≈

()
()() ()
123
0,3053PA PA PA PA⇒= + + ≈
II начин. A- сред изтеглените карти няма дама

()
()() ()
3
32
3
36
1 ; 0,6947 0,3053
C
PA PA PA PA
C
=− = ≈ ⇒ ≈
Задача 7. Двама курсанти стрелят по дадена цел ( едновременно) с вероятност за улучване от
един изстрел съответно 0,8 и 0,6. Намерете вероятността целта да е улучена само от 1 кур-
шум.
Решение. C – целта е улучена само от един куршум;
А-първия курсант улучва целта; В – втория курсант улучва целта
А и В са независими, но съвместими

,CABAB=+ AB и AB са несъвместими

()
()() ()()()()0,8.0,4 0,2.0,6 0,44PC PAB PAB PAPB PAPB⇒= + = + = + =
Задача 8. Студент е разтревожен от предстоящите му изпити по английски език и математи-
ка. По негово мнение вероятността да издържи изпита по английски е 0,4, а вероятността да
издържи поне един от изпитите е 0,6. Определете вероятността той да издържи изпита по ма-
тематика.
Решение.
А – студента издържа изпита по английски

3
М-студента издържа изпита по математика
А и М са съвместими, но независими

()()()
()()()()( )PA M PA PM PAM PA PM PAPM+= + − = + −

() ()() ()
1
0,6 0,4 1
3
PM PA PM=+ − ⇒ =
Задача 9. Вероятността за попадение в първата мишена от даден стрелец е
2
3
. Ако при пър-
вия изстрел е фиксирано попадение, то стрелецът получава право на втори изстрел по друга
мишена. Вероятността за попадение на двете мишени при двата изстрела е 0,5. Определете
вероятността за попадение във втората мишена.
Решение.
А-първият изстрел поразява първата мишена
В-вторият изстрел поразява втората мишена

()
()
()
1
3
2
/
24
3
PAB
PBA
PA
===⇒ А и В не са независими.
Задача 10. В кутия има n топки с номера от 1 до n. Топките се изваждат последователно по 1
без връщане. Каква е вероятността при първите
k изваждания номерата на топките да съвпа-
дат с номерата на изважданията?
Решение. I начин - с определението за вероятност.

()
()( )( )
11
1 2 ... 1
k
n
PA
Vnn n nk
==
−− −+
II начин
.

i
A- извадена е топка с номер i

12
....
k
AAA A= - Не са независими

() ( )( )( ) ( )
112 312 121
11 1 1
/ / ... / .... ...
12 1
kk
PA PAPA A PA AA PA AA A
nn n n k
−
==
−− −+