Задачи от приложения на определен интеграл

§10. Задачи от приложения на определен интеграл

Съдържание
1. Лице на фигура
2. Дължина на дъга
3. Обем на тяло
4. Лице на ротационна повърхнина

ТЕОРИЯ
Лице на фигура. Нека функциите
()xf и ()xg са интегруеми в интервала []ba,, при което
() ()xfxg≤ за []bax,∈. Тогава криволинейният трапец, ограничен от графиките на двете
функции и правите с уравнения
a
x= и bx= има лице, което се определя от формулата

( ) () ()[]∫
−=μ
b
a
dxxgxfA

Лице на фигура, зададена в полярни координати. Да разгледаме криволинейния сектор
S, ограничен от кривата ()ϕρ=ρ
γ: , β≤ϕ≤α , с начало точката A ( )α=ϕ и край точката B
()β=ϕ, и отсечките OA и OB, както е показано на рисунката.

Лицето на този сектор се дава с формулата

()
()∫
β
α
ϕϕρ=μdS
2
2
1

Обем на ротационно тяло. Нека функцията
()xf е непрекъсната и неотрицателна в
интервала
[]ba, и да разгледаме тримерното тяло V, което се получава от завъртането на
графиката на
()xf около оста Ox и равнините през точките a
x= и bx=, перпендикулярни
на оста
Ox, както е показано на рисунката

Обемът на ротационното тяло се дава с формулата

() ()∫
π=μ
b
a
dxxfV
2

Лице на околна повърхнина на ротационно тяло. Нека функцията
()xf е неотрицателна и
непрекъсната в интервала
[]ba,. Формула за лицето
()Sμ на повърхнината S, образувана от
завъртането на графиката на
()xf около оста Oxе

() () () []
∫
′+π=μ
b
a
dxxfxfS
2
12
Дължина на дъга. Нека кривата
γ е графика на функцията
()xf в интервала []ba,,
()xfy=γ: , []bax,∈, и ()xf има непрекъсната производна в []ba,. Тогава γ има дължина,
която се определя от формулата

() () []
∫
′+=γμ
b
a
dxxf
2
1
Да разгледаме сега равнинна крива
γ в общия случай

()
()
β≤≤α
=
=
γ
t
tyy
txx
:

където координатните функции
()tx и
()ty имат непрекъснати производни в интервала
[]βα,. Тогава

( ) () ()
∫
β
α
+=γμ dttytx
22
&&
Нека равнинната крива
γ е зададена чрез полярно уравнение ()ϕρ=ργ: , β≤ϕ≤α, където
функцията
()ϕρ има непрекъсната производна в интервала
[]βα, (ρ е полярният радиус на
точката
()yxM,, а ϕ е полярният ъгъл – ъгълът между оста Ox и лъча
OM, измерван в
посока, обратна на движението на часовниковата стрелка). Тогава
ϕρ=cos
x и ϕρ=siny,
следователно
γ може да се параметризира по следния начин

()
()
β≤ϕ≤α
ϕϕρ=
ϕϕρ=
γ
sin
cos
:y
x
Тогава формулата за дължина на кривата приема вида

()∫
β
α
ϕρ′+ρ=γμ d
22


ЗАДАЧИ
Задача 1. Да се намери лицето на фигурата, ограничена от линиите

() xyc =→
2
1

и

()
2
2
xyc =→
Решение.

Намираме абсцисите на пресечните точки на двете линии чрез решаване на системата

()()
()
()1,1
0,0
0110
2
2
4
2
2
2
M
O
xxxx
xy
xx
xy
xy
xy
⇒
=++−
=
⇒
=−
=
⇒
=
=

Следователно, ако
()yxP, е точка от зададената фигура, трябва нейната абсциса да бъде в
интервала
[]1,0∈x , а нейната ордината в интервала
[ ]xxy ,
2
∈ . Тогава търсеното лице ще
намерим така

()
()
3
1
3
1
3
2
|
3
2
3
1
0
32
3
1
0
2
=−=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−=∫
xx
dxxxF
μ
Задача 2. Да се намери лицето на фигурата, ограничена от кривата
65
2
+−= xxy
и координатните оси.
Решение. Намираме пресечните точки на графиката на дадената функция с координатните
оси. Те са
()()() 3,0C ,0,2 ,6,0BA.

Координатните оси и графиката ограничават две фигури P и Q. Търсим сбора от лицата им

() () ()()
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=+−++−=+∫∫
3
2
23
2
0
232
0
3
2
22
|6
2
5
3
|6
2
5
3
6565 x
xx
x
xx
dxxxdxxxQPμμ

6
29
2
9
4
3
16
2.6
2
4
.5
3
8
3.6
2
9
.592.6
2
4
.5
3
8
=−+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
Задача 3. Да се намери лицето на фигурата, ограничена от линиите
3 4
2
+−=xxy
и

3−=xy
Решение. Намираме пресечните точки на дадените линии чрез системата

3 ,2
0 ,1
065
3
3
34
21
21
2
2
==
=−=
⇒
=+−
−=
⇒
−=
+−=
xx
yy
xx
xy
xy
xxy

Тогава фигурата ще изглежда така

() ( ) ()[] () =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−=−+−=+−−−=∫∫
3
2
233
2
2
3
2
2
|6
2
5
3
65343 x
xx
dxxxdxxxxFμ

6
1
6
16135150
3
8
2
45
251210
3
8
18
2
45
9 =
++−
=++−=+−+−+−=
Задача 4. Да се намери лицето на фигурата, ограничена от окръжността

()
222
4ryxk=+→
Решение. Използваме, че уравнението на дадената окръжност в полярни координати е

() []
πϕϕρ 2,0 ,2∈=r
То се получава от

()()
222
4sincos r=+ϕρϕρ
Тогава

()
()() ()
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
4|.22
2
1
2
1
rrdrdkπϕϕϕϕρμ
π
ππ
====∫∫

Задача 5. Да се намери лицето на фигурата, ограничена от елипсата

()
1
2
2
2
2
=+→
b
y
a
x
E
Решение. Използваме, че елипсата е симетрична спрямо координатните оси и намираме
лицето на частта от фигурата само в първи квадрант след което полученото умножаваме по
4. Частта от елипсата в първи квадрант се задава с уравнението

[]axxa
a
b
y,0 ,
22
∈−=


() ()
∫
−==
a
dxxa
a
b
FE
0
22
44μμ
Полагаме

taxadttadxtaxcos ,cossin
22
=−=⇒=
Сменяме границите чрез таблицата
x 0 a
t 0
2
π

Тогава

() ababdttabdttata
a
b
Eπ
π
μ
ππ
====∫∫
22
1
4cos4coscos.4
2
0
2
2
0

Задача 6. Да се намери дължината на кривата

xxxyarcsin
2
+−=
Решение. Определяме границите за изменение на аргумента x чрез дефиниционното
множество на дадената функция. То се намира от ограниченията

()
10
0
01
0
0
2
≤≤⇒
≥
≥−
⇒
≥
≥−
x
x
xx
x
xx
и използваме формулата за дължина на крива

() () []
∫
′+=γμ
b
a
dxxf
2
1
Намираме

()
()
() x
x
xx
x
x
x
xx
x
y
−
=
−
−
=
−
+
−
−
=′
1
12
12
2
1
.
1
1
2
21
22
и []
xx
x
y
11
11
2
=
−
+=′+
Тогава

()
2|2
1
1
0
1
0
===∫
xdx
xγμ
Задача 7. Да се намери дължината на дъгата от кривата

()
()
tttty
ttttx
sin2cos2
cos2sin2
2
2
+−=
+−=

за
[]
π,0∈t.
Решение. Прилагаме формулата

() () ()
∫
+=
β
α
γμ dttytx
22
&&
като предварително подготвим подинтегралната функция.

()
()
()
422422
22
22
sincos
sincos2sin2sin2cos2
cossin2cos2cos2sin2
ttttyx
tttttttty
tttttttttx
=+=+⇒
=++−−−=
=−+−+=&&
&
&
Тогава

( ) () ()
3
8
|
3
3
2
0
32
0
2
2
0
4
2
0
22
π
γμ
π
πππ
====+=∫∫∫
t
dttdttdttytx
&&
Задача 8. Да се намери дължината на астроидата

xay
xax
3
3
sin
cos
=
=

Решение. Астроидата е симетрична спрямо координатните оси. Намираме дължината на
частта от първи квадрант и умножаваме по 4.

Прилагаме формулата

( ) () ()
∫
β
α
+=γμ dttytx
22
&&
като предварително подготвим подинтегралната функция.

()
() ttattttayx
ttay
ttax
2222222222
2
2
sincos9sincossincos9
cos.sin3
sin.cos3
=+=+⇒
=
−=&&
&
&
Тогава

() () ()
a
ta
tdtadtttadttytx 6|
2
sin3
4sinsin34sincos344
2
0
2
0
22
0
2
0
22
====+=∫∫∫
π
πππ
γμ .&&
Задача 9.
Да се намери дължината на кардиоидата

()
ϕρ cos1+=a
Решение. Кардиоидата е дефинирана за []πϕ 2,0∈ и е симетрична спрямо полярната ос.

Намираме дължината за половината интервал []πϕ,0∈ и полученото умножаваме по 2.

()
=′+=∫
π
ϕρργμ
0
22
2 d

()()
=+++=−++=∫∫
ππ
ϕϕϕϕϕϕϕ
0
22
0
2222
sincoscos212sincos12 dadaa

() =+=+=∫∫
ππ
ϕϕϕϕ
00
cos122cos222 dada

aadada 8|
2
sin8
2
cos4
2
cos2.22
0
00
2
====∫∫
π
ππ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ

Задача 10. Да се изчисли обема на тялото, ограничено от елиптичния параболоид

254
22
yx
z +=
и равнината
1z= .
Решение. Пресичаме тялото с равнина
(]1,0 ,∈= zconstz и получаваме сечение

с уравнение
1
254
22
=+
z
y
z
x

което е уравнение на елипса с полуоси
za2= и zb5=. Лицето на фигурата, ограничена
от тази елипса е

() zbaz .10..
ππμ ==
Тогава обемът на тялото ще е равен на

()∫
===
1
0
1
0
2
5|.5.10πππμzzdzV
Задача 11. Да се изчисли обема на тялото, ограничено от елиптичния хиперболоид

22
2
1
49
xy
z+−=
и равнините
1z=− и 2z=.
Решение. Решава се по същия начин както предната задача

Сега сечението е с уравнение

()
()
1
1914
2
2
2
2
=
+
+
+ z
y
z
x

и ограничава лице

()
( )
222
1.6.13.12.. zzzbaz +=++==πππμ
Тогава обемът на тялото ще е равен на

() ()
ππππμ36
3
1
1
3
8
26|
3
.61.6
2
1
2
1
3
2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=+=∫
−
−
z
zdzzV

Задача 12. Да се пресметне обема на ротационното тяло, получено от въртенето около
абсцисната ос на кривата xy12
2
= за
[]9,0∈x .
Решение. Дадената крива е парабола с ос Ox и уравнение xy 32= , задаващо само клона и
над абсцисната ос. След завъртането и се получава тялото


Обемът на това тяло ще се намери по формулата

() ()∫
π=μ
b
a
dxxfV
2
.

Тогава

()
∫
===
9
0
9
0
2
486|
2
1212πππμ
x
xdxV

Задача 13. Да се пресметне лицето на ротационната повърхнина, получена от въртенето
около абсцисната ос на кривата xy12
2
= за
[]9,0∈x .
Решение. Ще търсим лицето на повърхнината на тялото от предната задача. Използваме
формулата

() () () []
∫
′+π=μ
b
a
dxxfxfS
2
12
за
xy 32= в интервала []9,0∈x. Тогава

()
()∫∫∫
=++=+=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
9
0
9
0
9
0
2
16833..1293.34
3
1322ππππμxdxdxxdx
x
xS