Задачи от производна на функция

§2. Задачи от производна на функция

Съдържание
1. Основни теореми за диференциране на функции
2. Производни и диференциали на функция

ТЕОРИЯ
Производна на функцията
()xf в точката
0
x се нарича границата

()()
x
xfxxf
x Δ
−Δ+
→Δ
00
0
lim
когато съществува. Бележи се с
()
0xf′. Функцията ()xf се нарича диференцируема в точка-
та
0x тогава и само тогава, когато
()xf има производна в
0x. Диференциал на функцията
()xf се дава с формулата ()dxxfdy′= . Нека функциите ()xf и ()xg са диференцируеми в
точката x. Тогава
1) Функцията () ()xgxf+ също е диференцируема в x, при което

() ()[] () ()xgxfxgxf ′+′=
′
+.
2) Функцията ()()xgxf също е диференцируема в
x, при което

()()[] ()() () ()xgxfxgxfxgxf ′+′=
′.
3) Ако ()0≠xg, то функцията
()
()xg
xf
също е диференцируема в
x, при което

()
()
()() () ()
()
[]
2
xg
xgxfxgxf
xg
xf ′−′
=
′
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
.
4) Нека функцията ()xf е диференцируема в точката
0x, а функцията ()tϕ е диференцируе-
ма в точката
0t и ()
00txϕ=. Тогава съставната функция ()()() tftFϕ= е диференцируема в
точката
0t, при което ()
()()
000txftF ϕ′′=′ .
За да се усвои техниката за диференциране, посочените правила и следната таб-
лица трябва да се научат без грешка

Таблица с производните на основните
елементарни функции Функция Производна
constC= 0
n
x
1−n
nx
x
a () 1,0≠>aa aa
x
ln
x
l
x
l
x
alog ( )1,0≠>aa
axln
1

xln
x
1

xsin xcos
xcos xsin−
xtg
x
2
cos
1

xctg
x
2
sin
1
−
xarcsin
2
1
1
x−

xarccos
2
1
1
x−
−
xarctg
2
1
1
x+

xarcctg
2
1
1
x+
−

ЗАДАЧИ
Задача 1
. Да се намери първата производна на всяка от функциите:
1.1.
2310235
246
−+−+= xxxxy
Решение.
Прилагаме обобщеното правило

() () ()[] () () () xxgxfxxgxfϕϕ′−′+′=
′
−+
откъдето намираме
()
()() ()()=
′
−
′
+
′
−
′
+
′
=′ 2310235
246
xxxxy

102620601.1022.34.56
3535
+−−=−+−+= xxxxxx
1.2.
3
1
x
xxxy ++=

Решение.
Първо преобразуваме дадената функция и след това използваме формулата

()
1−
=
′
nn
nxx
откъдето намираме


3
4
2
1
4
1
3
1
2
1
4
3
3
1
2
1
4
3
−−−−
−+=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=′ xxxxxxy
1.3.
()
2
1.arcsin
y xx=−
Решение.
Използваме правилото

()()[] ()() () ()xgxfxgxfxgxf ′+′=
′
откъдето намираме
() () () =
′
−+
′
−=′ xxxxyarcsin.1arcsin.1
22

xxx
x
x
xx arcsin21
1
1
arcsin2
2
2
2
−−=
−
−
+−=
1.4.
2
.sin3
x
y x=l
Решение.
Аналогично на предното решение се получава

( )xxxxy
xxx
3cos33sin23.3cos.3sin2.
222
+=+=′lll
1.5.
2
sin 3 2
1.cos3
x
ye x=−
Решение.

( )=−−−=′ 3.3sin.3cos23cos3.3cos.3sin2.
3sin23sin
22
xxxxxy
xx
ll

() =−= xx
x
3cos16sin.3
23sin
2
l

() xxxx
xx
3sin.6sin.33cos16sin.3
23sin23sin
22
ll =−=
1.6.
2.cot
x
y gx=
Решение.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=′
x
gx
x
gxy
xxx
22
sin
1
cot.2ln2
sin
1
.2cot.2ln.2

1.7.
()
32
sin 5 2
y xx=+
Решение.
Използваме правилото за диференциране на съставна (сложна) функция. Първо
намираме производна на степенната функция
3
u, vusin
= , след това намираме производната

на тригонометричната функция vsin, xxv 25
2
+= , и накрая намираме производната на фун-
кцията
v. Получаваме

( )( )( )21025cos.25sin3
222
+++=′ xxxxxy
1.8. ()
2
21
x
ye x=−
Решение.
() ( )
xxxx
x
xx
x
x
y
2222
112.
2
1
.2.
22
1
.12.2.
22
1
.llll=+−=+−=′
1.9.
x
y
tgx
=
l

Решение.
Може да се приложи правилото за диференциране на частно, но е по-лесно дадена-
та функция да се преобразува в произведение и след това да се диференцира.


()
() 1cos.sin
sinsin
cot.cot.
22
−=−=
′
=′ xx
xx
gxgxy
xx
xx
ll
ll
1.10.
2
sin
1cos
x
y
x
⎛⎞
=
⎜⎟
+⎝⎠

Решение.
Първо преобразуваме дадената функция и след това диференцираме

2
cos
2
sin
2
1
.
2
cos
1
.
2
2
2
2
cos2
2
cos
2
sin2
32
2
2
2x
x
x
x
tg
x
tg
x
xx
y ==
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
′
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=′

1.11.
( )
22
ln axxv ++= , 0≠a.
Решение.

2222
22
222222
1
.
1
2
2
1.
1
axax
axx
axxax
x
axx
y
+
=
+
++
++
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
++
=′

1.12.
2
4 4arcsin
2
x
yxx=−+ .
Решение.
() =
−
+−
−
=′
xx
x
xx
y
2
1
.
2
1
.
4
1
1
.424.
42
1
2


x
x
xx
x
xxxx
x −
=
−
−
=
−
+
−
−
=
4
4
4
4
4
1
4
2
222

1.13.
()
3
12
arctg
3
1
1
1
ln
6
1
2
2
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+
=
x
xx
x
y

Решение.

()[] ()[] =
′
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
′
+−−
′
+=′
3
12
3
1
1ln
6
1
1ln
3
1
2 x
arctgxxxy


=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
+
+
+−
−
−
+
=
3
2
.
3
12
1
1
.
3
1
1
12
.
6
1
1
1
.
3
1
22
xxx
x
x


()
()()
()()
() ()
()
() ()
=
++−
+
+
++−
+−
−
+−+
+−
=
116
13
11
112
.
6
1
116
12
222
2
xxx
x
xxx
xx
xxx
xx

() ()
=
+
+
+
+
+−+−+−
=
16
33
16
122222
33
22
x
x
x
xxxxx ()
() 1
1
16
33
16
33
333
+
=
+ +
+
+
−
xx
x
x
x

1.14.
xx
x
x
xy −+
+
= arctg
1
arcsin
Решение.

()
=−
+
+
+
−+
++
−
+
+
=′
xxxx
xx
x
x
x
x
x
x
x
y
2
1
2
1
.
1
1
1
1
.
1
2
1
.
1
1
1
.
1
arcsin
2


() ()
=
+
−−
+
+
+
+
=
12
11
121
arcsin
xx
x
xx
x
x
x

() () 1
arcsin
12121
arcsin
+
=
+
−
+
+
+
=
x
x
xx
x
xx
x
x
x

1.15.
x
yx=
Решение.
Логаритмуваме почленно даденото равенство и полученото

xxy ln.ln=
диференцираме спрямо x. Получава се
()2ln
2
11
.ln
2
1
.
1
+=+=′ x
xx
xx
x
y
y
.
Освобождаваме се от знаменателя от ляво
()2ln
2
1
. +=′ x
x
yy
и заместваме
x
yx=. Получаваме
()2ln
2
1
. +=′ x
x
xy
x
.
Забележка. Този алгоритъм се нарича логаритмично диференциране и се използва за нами-
ране на производна на функция от вида ()[]
()x
xfy
ϕ
= .
Задача 2
. Да се намери диференциала и втората производна на всяка от функциите:
2.1. xxy sin
3
+=
Решение.
Използваме, че
()dxxfdy′= . Тогава
()( ) dxxxdxxxdy cos3sin
23
+=
′
+=
Задачата може да се реши и така
( )dxxxxdxdxxxddxdy cos3cos3sin
223
+=+=+=
Това означава, че производната на xxy sin
3
+= е xxy cos3
2
+=′ . Намираме
() xxyy sin6−=
′
′=′′
2.2.
1
ln.
+
=
x
x
xy

Решение.
() ()
dx
xx
x
dx
x
xx
x
x
x
x
x
dy
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−++
+
+
=
1
1
1
ln
1
1
.
1
.
1
ln
2


() () () () ()
2222
1.
1
1.
1
1
1
1
1
.
1
1
1
1
ln
+
=
+
−+
=
+
−
+
−++
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=′′
xxxx
xx
xx
xx
x
x
xx
x
y

2.3.
x
y
1
arctg=

Решение.

dx
x
dx
x
x
dy
222
1
11
1
1
1
+
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=


()
2
2
2
1
2
1
1
x
x
x
y
+
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−=′′

Задача 3
. Да се намери четвъртата производна на функцията
xxy ln.
3
=
Решение. Намираме последователно

() 1ln3
1
.ln.3
232
+=+=′ xx
x
xxxy

()
() 5ln6
1
3.1ln32
2
+=++=′′ xx
x
xxxy

()
11ln6
1
.6.5ln61 +=++=′′′ x
x
xxy

()
x
y
1
.6
4
=
Задача 4. Да се намери производната от двадесет и пети ред на функцията

()5ln+=xy.
Решение. Идеята за намиране на производна от висок ред е след намиране на производна от
трети и четвърти ред да се установи закономерност при диференцирането и да се направи
хипотеза за производна от произволен ред (n-ти ред). След това верността на хипотезата се
обосновава и n се замества с посоченото в условието число
(n=25).

()
1
5
5
1
−
+=
+
=′ x
x
y

()
2
5.1
−
+−=′′ xy

()
()
3
5.2.1
−
+−−=′′′ xy

()
()
()( )
44
53.2.1
−
+−−−= xy
Забелязваме, че след всяко диференциране старият степенен показател се появява като мно-
жител, новият степенен показател намалява с 1. При това втората, третата и четвъртата про-
изводна имат съответно един, два, три множителя с отрицателен знак, т.е., с единица по-
малък от номера на съответната производна. Поредицата
от множители пред
()1+x задава
факториел на число. Това ни дава основание да предположим, че

()
()
()( )
nnn
xny
−−
+−−= 5!11
1

Верността на това предположение може да се обосновава чрез метода на пълната математи-
ческа индукция. С проверка се установява, че чрез заместване на n съответно с 1, 2, 3 и 4 в
предложената по-горе формула се получават резултатите за първата, втората, третата и чет-
въртата производна. Предполагайки формулата за вярна получаваме

()
() ( )( )
()
25
2512525
5
!24
5!1251
+
=+−−=
−−
x
xy