Задачи от редове на Фурие

§7. Задачи от редове на Фурие

Съдържание
1. Развиване на функция във ред на Фурие в интервла [ ]ππ;−
2. Развиване на функция във ред на Фурие в произволен интервал
3. Определяне на сумата на ред на Фурие

ТЕОРИЯ
Една функция
()xf, определена за всяко R
∈x, се нарича T-периодична, когато
()() xfTxf =+, за всяко R∈x. Теорията на редовете на Фурие е свързана с въз-
можността за представяне на една π2-периодична функция във вид на тригоно-
метричен ред

()
[]∑
∞
=
++
1
0
sincos
2
~
n
nn
nxbnxa
a
xf
с някакви подходящи коефициенти
na, K,2,1,0
=n , и
nb, K,2,1=n . Редът на Фу-
рие за функцията
()xf се записва във вида

∑
∞
=
++
1
0
)sincos(
2
n
nn
nxbnxa
a

където коефициентите се пресмятат по еднотипните формули
∫
π
π−
π
= nxdxxfa
n
cos)(
1 , K,2,1,0=n,

∫
π
π−
π
= nxdxxfb
n sin)(
1 , K,2,1=n .
Теорема на Дирихле. Нека функцията ()xf е π2-периодична и гладка по
части. Тогава за всяко R∈
0x е изпълнено
() ()
() ( )
2
00
lim
00
00 −++
=τ=τ
∞→
xfxf
xx
n
n ,
т.е. стойността на реда на Фурие в точката
0x е равна на полусбора от лявата и
дясната граници на функцията в тази точка.

ЗАДАЧИ
Задача 1.
Да се развие в ред на Фурие функцията.
1.1. ()xxf= в интервaла ()
ππ;−
1.2. ()
⎩
⎨
⎧
<<
<<−
= ππ
πt
t
tu
0 ;
0 ;0

(чрез тази функция се задават правоъгълни импулси)
1.3. ()
⎩
⎨
⎧
≤≤
≤≤−
= π
πtt
t
ti
0 ;sin
0 ;0

(чрез тази функция се задава силата на тока при едно полупериодно изправяне)
1.4. () ( ) 0 ;>=aattu в интервaла
()π2;0
(чрез тази функция се задава разгъващо напрежение)

1.5. ()
2
xxf= в интервaла []2;2−.
1.6. ()[]ππ;;sin −∈= xxxf
(чрез тази функция се задава комутиран ток)
1.7. ()
[] 0;;; >−∈= lllxxxf - произволно реално число.
1.8. Да се развие в ред от синуси функцията

()
()
⎩
⎨
⎧
<<−
∈
=
)21(;2
1;0;1
xx
x
xf .
1.9. Функцията от зад. 1.8. да се развие в ред от косинуси.
Решения.
1.1. Определяме коефициентите на реда

()
()∑
=
++≈
n
n
nn
nxbnxa
a
xf
1
0
sincos
2
по формулите ()∫
−
=
π
π
π
dxxfa
1
0 ,

()∫
−
=
π
π
π
nxdxxfa
n
cos
1 ,
()∫
−
=
π
π
π
nxdxxfb
n
sin
1
в които използваме, че
()xxf=. Тогава

0
1
0
==∫
−
π
π
π
xdxa
защото подинтегралнта функция е нечетна, а интегралът е със симетрични грани-
ци спямо началото на координатната система

0cos
1
==∫
−
π
π
π
nxdxxa
n
(по същата причина),

=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=−==∫∫∫
−
−
−−
π
π
π
π
π
π
π
π
πππ
nxdxnxx
n
nxxd
n
nxdxxb
n coscos
.
1
cos
.
1
sin
1

() ()
n
n
n
nx
n
nn
n
n2
.1cos.
2
sin.
1
coscos.
.
11+
−
−=−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−−πππππ
π
π
π
.
Следователно редът на Фурие за дадената функция е

()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+−=−∑
=
+
...........
4
4sin
3
3sin
2
2sin
1
sin
2sin
2
.1~
1
1
xxxx
nx
n
x
n
n
n

1.2. Прилагаме същия метод за решаване на задачата. Изисляваме последователно

() ππ
πππ
π
π
ππ
π
=Ι=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+==∫∫∫
−−
0
0
0
0
1
0
11
tdtdtdttua ,

0sin
1
cos
1
0
0
=Ι==∫
π
π
π
π nt
n
ntdta
n ,

()()
1
0
0
11
1
cos
1
sin
1
+
−+=Ι−==∫
n
n
n
nt
n
ntdtb
π
π
π
π
Следователно дадената функция се развива в ред на Фурие така:

()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++++
π
.............
7
7sin
5
5sin
3
3sin
1
sin
2
2
~
tttt
tu

1.3. ()
ππππ
π
π
ππ
π
2
cos.
1
sin0
11
0
0
0
0
=Ι−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+==∫∫∫
−−
ttdtdtdttia

==∫
π
π
0
cos.sin
1
ntdtta
n
(Използваме формулата от тригонометрията
()()[] βαβαβα−++= sinsin
2
1
cos.sin )
() () =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−++=∫∫
ππ
π
00
.1sin.1sin
2
1dttndttn
() () () ()
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−
+
+
−−
−=Ι
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
+
−
−+
nnn
tn
n
tn
nn
1
11
1
11
2
1
1
1cos
1
1cos
2
1
11
0
ππ
π


() ()
()()
()
1
11
.
1
1
1
1
1
11
2
1
1
11
1
11
2
1
2
−
−+
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
−+=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
+
+
−+
=
nnnnn
n
n
nn
πππ

това важи за
1≠n (непосредствено се изчислява, че 0
1
=a),
==∫
π
π
0
sin.sin
1ntdttb
n
(Използваме формулата от тригонометрията

()()[] βαβαβα+−−= coscos
2
1
sin.sin )
() ()
() ()
0
1
1sin
1
1sin
2
1
1cos1cos
2
1
0
00
=Ι
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
−
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−−=∫∫
π
ππ
ππ n
tn
n
tn
tdtntdtn
това важи за
1≠n (непосредствено се изчислява, че
2
1
1=b ). Замествайки намере-
ните коефициенти, за реда на Фурие за дадената функция се получава

()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
−
+
−
+
−π
−+
π
...........
18
8cos
16
6cos
14
4cos
12
2cos2
2
sin1
~
2222
ttttt
ti
.
1.4. Използваме формулите

() ;
1
2
0
0
∫
=
π
π
dxxfa
() ;cos
1
2
0
∫
=
π
π
nxdxxfa
n ;
()∫
=
π
π
2
0
sin
1nxdxxfb
n
Тогава

a
at
atdta.2
2
1
2
0
2
0
2
0
π
ππ
π
π
=Ι==∫


=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−Ι===∫∫∫
π
π
ππ
πππ
2
0
2
0
2
0
2
0
sinsin.sincos
1ntdtntt
n
a
nttd
n
a
ntdtata
n

()[] 011cos
2.
2
2
0
2
=−−=Ι=
π
π
ππ
n
n
a
nt
n
a

=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−Ι−=−==∫∫∫
π
π
ππ
πππ
2
0
2
0
2
0
2
0
coscos.cossin
1ntdtntt
n
a
nttd
n
a
ntdtatb
n

n
a
nt
nn
a 2
sin
1
2
2
0
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Ι−−=
π
π
π
Тогава функцията
() ( ) 0 ;>=aattu в интервaла
()π2;0 се развива в следния ред на
Фурие
∑
∞
−π
1
sin
2.~
n
nt
aaat

1.5. Дадената функция е четна в интервала []2;2−. Тогава тя ще се развие в ред от
косинуси като се използват формулите за развитие
()∫
−
=
2
2
0
2
1
dxxfa ;
()∫
−
=
2
2
2
cos
2
1
dx
xn
xfa
n
π
;
()∫
−
=
2
2
2
sin
2
1
dx
xn
xfb
n
π

Получават се съответно

3
8
32
1
2
0
32
2
2
0
=Ι==∫
−
x
dxxa ;

()
22
2
0
2
2
2
2
1.16
...........
2
sin
2
2
cos
2
1
π
π
π
πn
xn
dx
n
dx
xn
xa
n
n
−
====
∫∫
−
;

0
2
sin
2
1
2
2
2
==∫
−
dx
xn
xb
n
π

(интеграл в симетрични граници от нечетна функция).
Следователно

⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
π
−
π
+
π
−
π
π
− ..............
4
2
4
cos
3
2
3
cos
2
2
2
cos
1
2
cos
16
3
4
~
2222
2
xxxx
x
.
1.6. Фунцкцията е четна и се развива в ред само от косинуси.
Отговор.

()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
++
−
+
−
+
−π
+
π
...........
21
2cos
.......
61
6cos
41
4cos
21
2cos42
~sin2222
n
ntttt
t
.
1.7. Както в зад. 1.5 вместо интервала
[]2;2− използваме интервала []ll;−. Полу-
чава се

⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++−= .........
5
5
cos
3
3
cos
cos
4
2
222
l
x
l
x
l
xll
x
ππ
π
π
.
1.8. Изчисляваме само коефициентите

()
2
sin
42
2
sin2
2
sin
2
1
.2
22
2
1
1
0
π
ππ
ππn
nn
dx
xn
xdx
xn
b
n +=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+=∫∫

Тогава

()
2
sin
2
sin
42
~
1
22
xnn
nn
xf
n
n
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
π
+
π
∑
=

Задача 2. Да се развие в ред на Фурие функцията:
2.1. ()
xxxf +=
2.2. ()
⎩
⎨
⎧
<<
<<−
= π
πx
x
xf
0 ;2
;0 ;0

2.3. ()
⎩
⎨
⎧
<<
<<−
= π
πxx
xx
xf
0 ;2
;0 ;
.