Задачи от скаларно, векторно и смесено произведение

§5. Задачи от скаларно, векторно и смесено произведение

Съдържание
1. Пресмятане на скаларно произведение
2. Пресмятане на векторно произведение
3. Пресмятане на смесено произведение
4. Приложения

Скаларно произведение
Геометрично определение
ϕcosbaba
r
r
r
= ,
където ()ba
rr
,∠=ϕ , πϕ≤≤0, е ъгълът, който сключват двата вектора a
r и b
r.
Аналитичен запис. Ако

→→→→
++= kajaiaa
321
и
→→→→
++= kbjbibb
321

то

332211
... babababa ++=
→→
.
Основни задачи
1) дължина на вектор

2
3
2
2
2
1
aaaa ++=
→

2) ъгъл между вектори

2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
...
cos
bbbaaa
bababa
++++
++
=
ϕ
Задача 1. Намерете скаларното произведение на векторите

34 7ai jk=+ +
rrrr и 25 2bijk=−+
rrrr
.
Решение.

() 014206275423=+−=+−+=
→→
...ba .
Щом скаларното произведение на тези вектори е равно на нула и векторите не са
нулеви, то те са перпендикулярни един на друг.
Задача 2 . Остър или тъп е
()ba
r
r
,∠ , ако
а) 3 4ai j
=+
rrr
и 45bij
=+
rrr
:
б) 2 3ai j k
=+ +
rr r r
и →→→→
−+=kjib 546.
Решение. От геометричното определение за скаларно произведение следва, че ако ска-
ларното произведение
ba
r
r
е положително, то векторите сключват остър ъгъл, а ако е
отрицателно, то ъгълът между векторите е тъп.
а) 0325443
>=+=
→→
..ba , следователно в този случай ъгълът между векторите е остър.
б)
() 01534261<−=−++=
→→
..ba , следователно в този случай ъгълът между векторите е
тъп.
Задача 3 . Намерете скаларното произведение
а)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
→→→→→→
cbacba 765432,
ако
1a=
r
, 2b=
r
, 3c=
r
, ba
r
r
⊥,
3
,,
π
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∠=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∠
→→→→
cbca .

б) ?
a
m= и ?
ABC
P= ако AB a=
uuurr
и AC b=
uuur r
, а ( )( )( )1, 2,3 , 2,3,1 , 3,1, 2ABC− −− .
Решение.
а) +++=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
→→→→→→→→→→→
cabaacbacba 726252765432
2
...

→→→→→→→→→→→→
++++++ ccbcaccbbbab282420211815

+++++++=
3
cos.1320
3
cos32212180
3
cos31140110
22 πππ
........
522252723063722110328
3
cos2324
2
=++++++=++ ...
π
.
б) Намираме първо координатите на средата
M на отсечката BC и координатите на
AM. Тогава
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +++
2
1
,2,
2
1
2
,
2
,
2M
zzyyxx
M
CBCBCB
,

() ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⇒−−−
→
2
7
,4,
2
1
,,
AMzzyyxxAM
AMAMAM ,

2
114
2
7
4
2
1
2
2
2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
am .
Аналогично определяме
() 2,5,3−−AB , ( )5,3,2−AC и ( )3,2,5−−BC . В такъв случай
383942525944259 =++++++++=
ABC
P .
Дължините на трите страни на триъгълника са равни. Следователно той е равностранен.
Задача 4 . Намерете единичен вектор, колинеарен с a
r
, ако
а) ()1, 1, 2a−
r

б) 42aij=−
rrr

Решение.
а) Такъв вектор
anr
r
ще намерим, като разделим дадения (ненулев) вектор a
r
на неговата
дължина. Имаме
() 6211
222
=+−+=a
r
,
следователно
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
6
2
,
6
1
,
6
1
anr
r
.
б) Аналогично намираме


⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
= 0,
5
1
,
5
2
anr
r

Задача 5 . При какви стойности на m имаме ab
⊥
rr
, ако
а) 34ami j k=++
rrrr
и 47bimjk=+ −
rrrr

б) amij=+
rrr
и 33 4bijk=− +
rrr r

Решение. а) Намираме скаларното произведение

28728.3.4 −=−+=
→→
mmmba .
Тъй като векторите са ненулеви и трябва да са перпендикулярни, то трябва скаларното
им произведение да е равно на нула, т.е.
0287
=−m следователно 4=m.
б) Аналогично 0 33033 =−=+−=
→→
mmba , следователно 1=m.

Векторно произведение
1. Геометрично определение. Векторното произведение на двата пространствени векто-
ра
a
r и b
r
се определя като вектор bac
r
rr
×=, за който ac
rr
⊥ и bc
r
r
⊥, при което за него-
вата дълнина имаме ϕsinbaba
r
r
r
r
=× , което представлява лицето на пространствения
успоредник, построен върху
a
r
и b
r
.
2. Аналитичен запис. Ако
()
123
,,aaaa=
r
и
( )
123
,,bbbb=
r
, то

23 31 12
123
23 31 12
123
ijk
aa aa aa
ab a a a i j k
bb bb bb
bbb
×= = + +
rrr
rr r r r

3. Основни задачи.
а) Лице на триъгълник и успоредник


б) колинеарност на ненулеви вектори. Векторното произведение на
a
r и b
r
е нулевият
вектор
( )0
rr
r
=×ba , когато двата вектора a
r
и b
r
са колинеарни (успоредни, лежат на ед-
на права).
Задача 6 . Намерете векторното произведение на векторите, ако
а)
23 5aijk
bik
=++
=+
rrrr
rrr

б)
25
23
aijk
bi j k
=++
=+ −
rrrr
rr r r

Решение. а) По формулата намираме

→→→
→→→
−+==× kji
kji
ba 333
101
532
rr

б) Аналогично пресмятаме
→→→→→
−+−=× kjiba 717 .
Задача 7 . Намерете лицето на успоредник, построен върху a
r
и b
r
, където
а)
63 2
32 6
aijk
bi jk
=+−
=− +
rrrr
rrrr
б)
()
()
2,3,5
1, 2,1
a
b
r
r

Решение. а) Пресмятаме

→→→
→→→
−−=
−
−=× kji
kji
ba 214214
623
236
rr
,
следователно

()() 497793647214214
222
==++=−+−+=×=
×
.baS
ba
r
r
rr .
б) Аналогично

→→→
→→→
++−==× kji
kji
ba 37
121
532
rr
,
следователно

()()() 591949137
222
=++=++−==×=
×
baS
ba
r
r
rr .

Задача 8 . Докажете, че точките
A, B и C не лежат върху една права и намерете лице-
то
?
ABC
S
Δ
=, ако
а)
()()()1,1,1 , 2, 3, 4 , 4, 3, 2AB C
б) ()()()2,2,2 , 4,0,3 , 0,1,0ABC
Намерете
дължините на височините и ъглите на триъгълника ABC
Δ .
Решение. а) Намираме координатите на векторите
→
AB и
→
AC.
()()() kjiABkjiAB
srrsrr
321141312 ++=⇒−+−+−=
→

()()() kjiACkjiAC
srrsrr
123121314 ++=⇒−+−+−=
→

и след това векторното им произведение
0484
123
321 ≠−+−==×
→→→
→→→
kji
kji
ACAB .

Следователно трите точки не лежат на една права. Тогава
621412484
2
1
222
=++=++=
ΔABCS .
Задача 9 . Намерете единичен вектор c r
, ac
rr
⊥, bc
r
r
⊥, така че b
r
, a
r
и c
r
в този ред да
образуват дясна тройка, при което ()1,1, 2a
r
и ()2,1,1b
r
.
Решение. Първо намираме векторното произведение

→→→
→→→
+−==×kji
kji
ab3
211
112
rr
.
Тогава

kjiba
ba
c
rrrrr
rr
11
1
11
3
11
11
+−=×
×
=
→

III Смесено произведение
1. Геометрично определение.
Смесено произведение
( )cba
rrr
,, на трите вектора a
r
, b
r
и
c
r
, взети в този ред, наричаме скаларното произведение на ba
r
r
× с вектора c
r
,
( )()cbacba
r
r
rr
r
r
×=,,.
2. Аналитичен запис. Ако
()
123
,,aaa a
r
,
( )
123
,,bbb b
r
и ( )
123
,,ccc c
r
, то

()
321
321
321
,,
ccc
bbb
aaa
cba =
r
r
r .
3. Основни задачи.
а) компланарност на три вектора. Три вектора
a
r
, b
r
и c
r
са компланарни (лежат в
една равнина), точно когато тяхното смесено произведение е равно на нула.
б) намиране обем на пирамида и обем на призма и пирамида

Задача 10 . Докажете, че точките A,
B, C и D не лежат в една равнина и намерете
обема
ABVDV, ако
а)
()()()
( )0,0,1 , 2,3,5 , 6,2,3 , 3,7,2ABC D
б) ()()() ( )2, 2, 2 , 4,3,3 , 4,5, 4 , 5,5,6,ABCD
Решение. а) Намираме координатите на вектора
()()() kjiAB
rrr
150302 −+−+−= ,
kjiAB
rrr
432 ++= .
Аналогично намираме
kjiAC
rrr
226 ++= и kjiAD
rrr
173 ++=.
Пресмятаме смесеното произведение на тези вектори
() () 012012212
173
0120
432
173
226
432
,, ≠=−−=−==ADACAB.
Следователно четирите точки
A,
B, C и D не лежат в една равнина. Обемът на пира-
мидата с тези върхове е
20120
6
1
==
ABCDV

б) Решава се по същия начин. За обема намираме

6
7
=
ABCDV .
Задача 11 . Нека
()2,0,0A , ()4,0,4 −B , ()0,0,2C и ( )3,3,5−D са върховете на пирамидата
ABCD. Да се намерят:
а) дължините на ръбовете AB и CD.
б) ъглите между AB и CD и между AC и BD.
в) координатите на точка ABM∈ и на точка CDN∈, за които MN е перпендикулярна
на
CD.
г) Лицето
ABCS.
д) Обемът
ABCDV.
е) Дължината на височината на пирамидата през върха D.
Решение. а)

()()( ) 13252240004
222
==−−+−+−=AB
()()( ) 3327030325
222
==−−+−+−=CD .
б)

()
()()
39
395
396
30
33132
363034
,cos ==
−−++
==
..
CDAB
CDAB
CDAB
.
По същия начин се намира

()
()
0
123012
,cos =
−++
==
BDACBDAC
BDAC
BDAC
....
Следователно ръбовете
AC и
BD са перпендикулярни.

в)
() 24
2
1
040
2
1
202
604mod
2
1
2
1
2
=−=+−=
−
−=×=
→→→
→→→
kji
kji
ACABS
ABC ...
г) Пресмятаме смесеното произведение
( )ADACAB ,, като векторното произведение
ACAB× умножим скаларно с AD. Получава се
( ) () ()12503450,, −=−+−+=...ADACAB .
Тогава за обема на пирамидата намираме
212
6
1
=−=
ABCDV .
е) Дължината на височината на пирамидата през върха D намираме чрез формулата

ABC
ABCD
DS
V
h
3
= .
Получаваме

3
2
23
==
.
Dh .
Задача 12 . Да се намери радиусът r на вписаната сфера в триъгълната пирамида с вър-
хове
()0,0,0O, ()3,2,1A, ()2,1,3B и
()3,1,2C.
Упътване. Използвайте формулата

S
V
r
ABCD3
= ,
където
S е пълната повърхнина на пирамидата.