Задачи от степенни редове

§6. Задачи от степенни редове

Съдържание
1. Определяне на радиуса на сходимост на степенен ред
2. Изследване сходимостта на степенни редове
3. Определяне на сумата на степенен ред

ТЕОРИЯ
Редът от функции

() () ()() () LL +μ−++μ−+μ−+=μ−=∑
∞
=
n
n
n
n
n
xaxaxaaxaxf
2
210
0

се нарича степенен ред с център в точката
μ и коефициенти
na, ,...2,1,0=n. Множес-
твото на сходимост E на реда не е празно, понеже винаги съдържа поне точката μ.
Да разгледаме степенния ред

()()()
()LL +μ−++μ−+μ−+=
n
xxxxf
2
1
Съгласно правилото за сумиране на геометрична прогресия, при 1<μ−x редът (9.4)
представлява функцията

()
()
μ−−
=x
xf
1
1
.
При кое да е
x, за което 1≥μ−x, редът е разходящ, понеже общият му член
()
n
xμ− не клони към нула. По този начин множеството E, над което редът е
сходящ, се определя от условието 1: <μ−xE, което задава интервал () 1,1+μ−μ с
център в точката
μ и радиус 1
=R.Радиусът на сходимост на реда

() () ()() () LL+μ−++μ−+μ−+=μ−=∑
∞
=
n
n
n
n
n
xaxaxaaxaxf
2
210
0

може да бъде намерен с помощта на формулата на Адамар,

n
na
R
lim
1
=
,
където
n
nalim е най-голямата точка на сгъстяване за редицата {}
n
na. В повечето
случаи обаче радиусът на сходимост се пресмята въз основа на следното
Твърдение. Нека съществува някоя от границите
n
n
nal
∞→
=lim или
n
n
n
a
a
l
1
lim
+
∞→
= .
Тогава
l
R
1
=, при което ако
0=l, то
∞=R, и ако ∞=l, то 0=R.
Степенните редове с ненулев радиус на сходимост допускат
почленно диферен-
циране
. Резултатът от почленно диференциране на даден степенен ред е отново степе-
нен ред със същия радиус на сходимост.
Нека () ( )∑
∞
=
μ−=
0n
n
n
xaxf е степенен ред с ненулев радиус на сходимост, 0>R.
Тогава за неговите коефициенти е в сила формулата

()
()
!n
f
a
n
n
μ
= ,
K,2,1,0=n ,
следователно редът може да се запише във вида

()
()
()
()∑
∞
=
μ−
μ
=
0!
n
n
n
x
n
f
xf , т.е.
() () ()( )
()
()
()
()
()
()
() LL+μ−
μ
++μ−
μ′′′
+μ−
μ′′
+μ−μ′+μ=
n
n
x
n
f
x
f
x
f
xffxf
!62
32
,
при което последният ред е абсолютно и равномерно сходящ над всеки ограничен зат-
ворен интервал []() RRba +μ−μ⊂ ,, . Степенните редове с ненулев радиус на сходи-
мост допускат почленно интегриране .

ЗАДАЧИ
Задача 1.
Да се определи радиуса на сходимост на всеки от редовете:
1.1.
()
∑
∞
+0
3 1n
x
n

1.2.
∑
∞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
1
.
1
2
n
n
x
n
n
1.3.
()
()
n
x
n
n
.
!2
!
0
2
∑
∞
.
Решение.
1.1. Определяме коефициента
na пред
n
x в общия член

()
2
1+
=
n
x
u
n
n

на реда и използваме формулата

1
lim
+
∞→
=
n
n
n
a
a
r

Тогава

()
()
()
()
1
1
1
2
1
lim
1
2
lim
2
1
1
1
limlim
2
2
2
2
2
1
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
+
+
=
+
+
==
∞→∞→∞→
+
∞→
n
n
n
n
n
n
a
a
r
nnn
n
n
n
.
1.2. Определяме коефициента
na пред
n
x в общия член
n
n
n
x
n
n
u .
1
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
на реда и използваме формулата

n
n
na
r
∞→
=
lim
1

Тогава
l=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
==
∞→∞→∞→
∞→
n
n
n
n
n
n
nn
n
nnn
n
n
n
a
r
1
1lim
1
lim
1
lim
lim
1
2

1.3. Задачата решаваме както 1.1. и намираме.
()( )
()( )
[]
( )( )
()
42.2
1
12
lim.2
1
12.22
lim
!1!.2
!22.!
limlim
22
2
1
==
+
+
=
+
++
=
+
+
==
∞→∞→∞→
+
∞→n
n
n
nn
nn
nn
a
a
r
nnn
n
n
n
.
Задача 2. Да се изследва сходимостта на всеки от редовете:

2.1.
()
∑
∞
−
−
1
1.3n
x
n
n

2.2.
()
()( )
∑
∞
++
+
0 212
1
nn
x
n
n

2.3.
∑
∞
−
1
2 12
.3
n
x
nn
.
Решение.
2.1. Първо определяме радиуса на сходимост на реда както в решението на
предходните задачи

()
()
31.3
1
lim3
1.3
13.1
limlim
11
1
==
+
=
−
+−
==
∞→
+−
∞→
+
∞→n
n
n
n
a
a
r
n
nn
nn
n
n
n
n

След това изследваме числовия ред, който се получава от степенния при заместване на
x с -3 и числовия ред, който се получава при заместване в степенния ред на x с 3. То-
ва са съответно.
а) реда

∑∑
==
=
n
n
n
n
n
n
nn11
1
3
3

който е разходящ (по интегралния критерий на Коши), т.е. числото -3 не принадлежи
на интервала на сходимост на степенния ред и
б) реда

()
()
∑∑
==
−
=
−
n
n
nn
n
n
n
nn11
1
3
3

който е сходящ (по критерия наЛайбниц), т.е. числото 3 принадлежи на интервала на
сходимост на степенния ред. Обобщавайки получените резултати, определяме, че сте-
пенния ред има за интервал на сходимост интервала (]3;3−.
2.2. В дадения ред тудно може да бъде определен коефициента
na пред
n
x в общия
член на реда. Ето защо полагаме
tx
=+1 и разглеждаме реда

()( )
∑
= ++
n
n
n
n
nn
t
1 2.12

Той има радиус на сходимост

()()
()( )
2
2.12
3.22
lim
1
=
++
++
=
+
∞→
nn
nn
r
n
n
n

Като заместим в степенния ред t с -2 и t с 2 се получават числовите редове

()
()( )
∑
= ++
−
n
n
n
nn
1 2.1
1
и ()( )
∑
= ++
n
n
nn
1 2.1
1

които са сходящи – първия по критерия на Лайбниц, а втория по интегралния критерий
на Коши. Следователно интервала на сходимост на степенния ред

()( )
∑
= ++
n
n
n
n
nn
t
1 2.12
е 22
≤≤−t
а на дадения степенен ред е
212
≤+≤−x , т.е. 13≤≤−x.
2.3. Задачата решаваме по аналогичен начин като първо полагаме tx=
2
и изследваме
за сходимост степенния ред
∑
=−
n
n
nn
n
t
1 12
3

Той има радиус на сходимост
3
1
=r и интервал на сходимост
3
1
0
<≤t. Следователно

3
1
0
2
<≤x
т.е. редът

∑
∞
−
1
2 12
.3
n
x
nn

е сходящ за всяко
x от интервала
3
1
3
1
<<− x .
Задача 3. Чрез диференциране или интегриране намерете сумата на всеки от редовете:
3.1.
∑
∞ +
+
0
12 12n
x
n

3.2.
∑
∞ −
−
0
14 14n
x
n

3.3. ()∑
∞
−
+
0
1
.1
n
xnn
Решение.
3.1. Използваме. че при диференциране и при интегриране радиуса на сходи-
мост на един степенен ред не се променя и ще се стремим да получим познат ред чрез
посочените по-горе действия. Нека сумата на дадения ред е
()xs, а радиуса му на схо-
димост да е r .От реда

()
rx
n
xxx
x
n
x
xs
nn
n
n
<+
+
++++=
+
=
+
=
+
∑ .......;
12
...
5312
1253
0
12

чрез диференциране получаваме реда

()
1.......;...1
242
<+++++=′xxxxxs
n

а това е геометричен ред с частно
2
x и сума

()
2
1
1
x
xs
−
=′ .
Тогава чрез интегриране се получава

()
C
x
x
dx
x
xs +
−
+
=
−
=∫
1
1
ln
2
1
1
1
2
,
1<x.
Това означава, че
1=
r. Остава да намерим стойността на константата C. Изчисляваме
сумата на реда първо от степенния ред за
0
=x, а след това по получената формула за
същото
0=x.

()
0.......
12
0
...
5
0
3
0
00
1253
=+
+
++++=
+
n
s
n


()
CCCs =+=+
−
+
= 1ln
2
1
01
01
ln
2
1
0.
Излиза, че
0=C. и в такъв случай търсената сума на реда е

()
x
x
xs
−
+
=
1
1
ln
2
1

а интервала на сходимост на дадения ред е ()1;1−.
3.2. Решаваме задачата по абсолютно същия начин. Без да пишем подробно, решението
ще изглежда така

()
rx
n
xxxx
n
x
xs
nn
n
n
<+
−
++++=
−
=
−
=
−
∑ .......;
14
...
117314
141173
1
14

() 1.......;...
241062
<++++=′
−
xxxxxxs
n
. ()
4
2
1x
x
xs
−
=′ .

() ()()
Cx
x
x
dx
x.x
xx
dx
x
x
xs+−
−
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
+−+
=
−
=∫∫
arctg
2
1
1
1
ln
4
1
11
11
2
1
1
22
22
4
2

По същия начин както в предходната задача се намира
0
=C. Тогава

()
x
x
x
xs arctg
2
1
1
1
ln
4
1
−
−
+
= .
3.3. Ако сумата на реда е

() () () ....1......4.3.3.22.11.
12
1
1
++++++=+=
−
=
−
∑
n
n
n
n
xnnxxxnnxs ,
то чрез две последователни интегрирания ще получим

()
()∫
+++++++= .....1....432
32 n
xnxxxCdxxs

()[]
1;
1
.......
2
1
32
1
<
−
++=++++++=∫∫
x
x
x
CxCxxxCxCdxdxxs
n

За да намерим сумата на реда, диференцираме последователно два пъти последното
равенство. Така определяме, че

()
() ()
() ()
2
2
2
22
1
1
2
1
1.1.2
1 x
xx
C
x
xxx
C
x
x
CxCdxxs
−
−
+=
−
−−−
+=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
++=
∫
.

()
()
()() () ()()
() ()
34
22
2
2
1
2
1
1.12.21.22
1
2
xx
xxxxx
x
xx
Cxs
−
=
−
−−−−−−
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+=
.
Задача 4. Да се развие в степенен ред функцията:
4.1. () ( )1ln+=xxf
4.2. ()
x
xf
x
1−
=l

4.3. () ()
2
1ln. xxxf += ,

4.4. ()
65
1
2
+−
=
xx
xf .
Решение.
4.1. Намираме производната ()
x
xf
+
=′
1
1
. и забелязваме, че това е сума на
геометрична прогресия с първи член 1 и частно ()x− , т.е. на реда
......1
1
1
5432
+−+−+−=
+
xxxxx
x

Чрез почленно интегриране определяме, че

()
1......;
65432
1ln
65432
<+−+−+−=++ x
xxxxx
xCx
Тъй като

()
0......
6
0
5
0
4
0
3
0
2
0
001ln
65432
=+−+−+−=++C
то
0=C.Следователно дадената функция се развива в степенния ред

()
1......;
65432
1ln
65432
<+−+−+−=+ x
xxxxx
xx .

4.2. () Rx
xx
x
xxx
x
xf
x
∈+++=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++
=
−
= ........;
!3!2
1
1........
!3!2!1
1
1
2
32
l

Тук сме използвали развитието на функцията
x
l в степенен ред.
4.3. Използваме, че

()
1......;
65432
1ln
65432
<+−+−+−=+ x
xxxxx
xx
Тогава със заместване на x с
2
x намираме, че

()
1......;
65432
1ln
1210864
22
<+−+−+−=+ x
xxxxx
xx
След почленно умножаване с x се получава

()
1......;
65432
1ln.
1311975
32
<+−+−+−=+ x
xxxxx
xxx .
4.4. Разлагаме на елементарни дроби и използваме сума на геометрична прогресия

()
()
()()
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−−
−−−
=
+−
=
3
1
1
.
3
1
2
1
1
.
2
1
2
1
3
1
3.2
32
65
1
2
xxxxxx
xx
xx
xf
()23;2min;........
333
1.
3
1
........
222
1.
2
1
3
3
2
2
3
3
2
2
=<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++= x
xxxxxx .