Задачи от трансформация на Лаплас

1
§13. Задачи от трансформация на Лаплас

Съдържание
1. L - изображение на дадена функция
2. Обратно L - изображение

ТЕОРИЯ
Всяка функция ()tf, определена за R∈t и удовлетворяваща следните условия.
1)
()0=tf за 0<t.
2) Във всеки краен интервал
[]A,0, 0>A, функцията
()tf е непрекъсната или има
краен брой прекъсвания от първи род.
3)
()tf расте не по-бързо от експонента при
∞→t , т.е.

()
t
Metf
0σ
≤ , 0≥t,
за някои константи
0≥M и R
∈σ
0
ще наричаме оригинал. Ако функцията ()tf
е оригинал, то образ
()pF на
()tf се нарича стойността на несобствения
интеграл
() ()∫
∞
−
=
0
dtetfpF
pt
,
разглеждан като функция на комплексната променлива ω+σ=ip . В този случай
пишем ()()pFtf⇔ или () (){}tfpFL = . Преобразуването на оригинала ()tf в
образа ()pF се нарича L – изображение (Лапласово изображение) на този
оригинал, а намирането на оригинала ()tf по даден образ ()pF се нарича обратно
Лапласово изображение. Това записваме така () (){}pFtf
1−
=L .
Основни свойства. Причината поради която преобразованието на Лаплас
работи толкова добре в математическото моделиране е начинът, по който задава
съответствието между оригинали и образи. По-нататък ще се убедим, че това
съответствие при някакви естествени уговорки е взаимно еднозначно. Освен това
съществуват и прости връзки между образът на дадена
функция и образите на
нейните производни и интеграли. В определен смисъл диференциалното и
интегралното смятане за дадени функции се превръща в своеобразно смятане над
техните образи, при което последното в технически план е значително по-лесно.
Следва да се има предвид, че операционното смятане, както още се нарича
цялата технология
на работа с оригинали и образи, е било открито и използвано
от английския електроинженер Оливър Хевисайд преди да му бъде придадена
строга математическа форма, намерила окончателен вид в работите на полския
математик Ян Микусински.
Тук ще разгледаме основните свойства на преобразованието на Лаплас.
1) Линейност. Образ на линейна комбинация от
оригинали е равен на
съответната линейна комбинация от образи, т.е.
() () (){}
(){} (){}() {}tftftftftftf
mmmm
LLLL λ++λ+λ=λ++λ+λ LL
22112211
.
2) Формула за отместването. Ако () ()pFtf⇔ , то

()
( )α−⇔
α
pFtfe
t
.

2
3) Формула за подобието. Нека () ()pFtf⇔ и 0>λ. Тогава е в сила формулата

()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λλ
⇔λ
p
Ftf
1
.
Конволюция ()tff
21
* на два оригинала ()tf
1 и ()tf
2 наричаме функцията,
определена от интеграла

() () ( )∫
ττ−τ=
t
dtfftff
0
2121
* . 4) Теорема на Борел. Нека ()tf
1 и ()tf
2 са оригинали. Тогава образът на
конволюцията ()tff
21
* е равен на произведението на образите на ()tf
1 и ()tf
2,
т.е.
(){}() {} (){}tftftff
2121
* LLL = .
5) Ако ()tf, ()tf′, ...,
()
()tf
n
са оригинали и () ()pFtf⇔ , то за образа на
()
()tf
n
е
в сила формулата

()
() ( ) () ()
()
()
()
()0000
1221−−−−
−−−′−−⇔
nnnnnn
fpffpfppFptfL .
6) Нека () ( )pFtf⇔ . Тогава ()()
()
()pFtft
nnn
1−⇔ , K,2,1 =n .

7) (теорема за възстановяване). Нека ()
()
()pB
pA
pF= е правилна рационална
функция с полюси
1
p,
2
p, ...,
np, които представляват нулите на знаменателя
()pB. Тогава ()pF представлява образ на някакъв непрекъснат оригинал, който
може да се определи посредством следната формула за възстановяване
() ( )[]
()
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==∑∑
=
=
=
=
pt
n
k
pp
pt
n
k
pp
e
pB
pA
epFtf
kk
11
resres .
Задача 1. Като използвате таблицата с L-изображение на дадена функция и
свойствата на Лапласовото изображение намерете образите на следните функции.
№
()tf ()
{}tfL № ()tf (){}tfL
1 1
p
1

9 at
t
cos
λ−
l
()
22
ap
p
++
+
λ
λ

2
n
t
1
!
+n
p
n

10
attsin.
()
2
22
2
ap
pa
+

3 atsin
22
ap
a
+

11
attcos
() 2
22
22
ap
ap+
−

4 atcos
22
ap
p
+

12
attsin
2

() 3
22
22
3
.2
ap
ap
a
+
−

5
nt
t.
α−
l
()
1
!
+
+
n
p
nα

13 attcos
2

()
3
22
22
3
.2
ap
ap
p
+
−

6 atsh
22
ap
a
−

14 ()tf′ (){}()0. ftfLp −

3
7 atch
22
ap
p
−

15 ()tf′′ (){} ()()00..
2
ffptfLp ′−−
8 at
t
sin
λ−
l
()
22
ap
a
++λ

16 ()tf′′′ (){} ()() ()00.0..
23
ffpfptfLp ′′−′−−

1.1. () 21235
27
−+−= ttttf
1.2. () 52cos4
3
1
3
+−= tttf
1.3.()
shttttf
t
512sin
3
1
.
43
+−=l
1.4. () tchtttf
t
754sin3cos
32
++= l
1.5. () tshtttttf
t
953cos2sin6cos.2cos
22
+++=
−
l
1.6. () ( ) tttf 3sin1
2
−=
1.7. () ( )( ) tshttttf
t
53cos1212
2
l+−+=
1.8. () bttatttf
t
cossin
23
l+=
Решения.
1.1.

{ }{}{}{} {}=−+−=−+− 12123521235
2727
LtLtLtLtttL

pppp
1
.21
1
2
!2
3
!7
.5
238
−+−=
1.2.

{} {}{}
pp
p
p
LtLtLttL
1
.5
4
.4
2
152cos4
3
1
52cos4
3
1
24
33
+
+
−=+−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−
1.3.

{} {}{} =+−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+− shtLtLtLshtttL
tt
512sin
3
1
512sin
3
1
4343
ll

()
1
1
.5
144
12
.
3
1
4
!3
224
−
+
+
−
−
=
ppp


1.4.

{}
{} {}=+=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧+
=++ tchLtL
t
LtchttL
tt
754sin
2
4cos1
754sin2cos
33
ll

() 49
.5
163
4
16
.
2
11
.
2
1
222
−
+
+−
+
+
+=
p
p
pp
p
p
;
1.5.

{ }=++
−
tshtttL
t
953cos6cos.2cos
2
l
{} {}=++
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ +
=
−
tshLtL
tt
L
t
953cos
2
4cos8cos
2
l

() 81
9
.5
92
2
16
.
2
1
64
.
2
1
2222
−
+
++ +
+
+
+
+
=
pp
p
p
p
p
p

1.6.

4
(){ }{} { }{}=+−=− tLttLttLttL 3sin3sin.23sin.3sin.1
22


()
() 9
3
.5
9
12
9
93
.6
22
2
3
2
2
+
+
+
−
+
−
=
pp
p
p
p
;
1.7.

()()
{ }{ }{ }{ }=+−=+−+ tshLtLttLtshtttL
tt
53cos3cos453cos.12.12
222
ll

()
() 252
5
99
27
.8
223
2
2
−−
+
+
−
+
−
=
pp
p
p
p
p
;
1.8.

{ }{ }{ }=+=+ bttLatttLbttattL
tt
cos.sin.cos.sin
2223
ll

()
()
()
[]
2
22
22
4
22
22
2
253
.4
bp
bp
ap
ap
pa
+−
−−
+
+
+
=
Задача 2. Да се намерят оригиналите на следните изображения.
2.1. ()
9
6
23
p
p
pF
−
=

2.2.()
pp
p
pF
2
1
2
+
+
=
2.3. ()
()
17
17
2
+
=
pp
pF
2.4. ()
22
12
23
2
+−−
−+
=
ppp
pp
pF

2.5. ()
()
()
521
35
2
++−
+
=
ppp
p
pF
2.6. ()
8
3
+
=
p
p
pF
Решение.
2.1.

⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
−−−−−
3
1
9
1
3
1
9
1
9
6
1
!2
!2
2!8
!8
31
2
323
p
L
p
L
p
L
p
L
p
p
L
28
.
!8
3
tt−=
2.2.

() 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
111
2
1
+=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
++
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
−
−−−−t
p
L
p
L
pp
pp
L
pp
p
L
l

2.3.

()
()
t
p
p
L
p
L
pp
pp
L
pp
L 17cos1
17
1
17
17
17
17
2
11
2
22
1
2
1
−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−−−−

2.4. Разлагаме дадената дроб на елементарни дроби

()()() 112112
12
22
12
2
23
2
+
+
−
+
−
=
+−−
−+
=
+−−
−+
p
C
p
B
p
A
ppp
pp
ppp
pp

и от равенството

()()
()()()()12121112
2
−−++−++−=−+ ppCppBppApp
определяме

5

3
7
=A,
1−=
B ,
3
1
−=C
Тогава
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−−
−+
−
22
12
23
2
1
ppp
pp
L


ttt
p
L
p
L
p
L
−−−−
−−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=lll
3
1
3
7
1
1
3
1
1
1
2
1
3
7
2111

2.5.

()()
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
++−
+
−
521
35
2
1
ppp
p
L


() ()
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
++
++−−
−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
++
+−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
−−−
22
1
22
11
21
211
21
2
1
1
p
p
L
p
p
L
p
L
t
l

()
()
tt
p
p
L
p
L
tttt
2cos2sin
2
3
21
1
21
3
22
1
22
1 −−−−
−+=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
++
+
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
++
+=llll
2.6.

()
()
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−
++−
+=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−
+
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−−−−
31
1
4228
2
12
2
1
3
1
p
CBpB
LA
pp
CBp
p
A
L
p
p
L
t
l


t
CB
tBA
ttt
3sin
3
3cos
2
lll
+
++=
−

От равенството

( )() ()242
2
++++−= pCBpppAp
определяме, че

6
1
−=A ;
6
1
=B;
3
1
=C.
Тогава
tt
p
p
L
ttt
3sin
32
1
3cos
6
1
6
1
8
2
3
1
lll++−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−−