Биостатистика

Биостатистика
–
Семинар
3.

Цел •
Изчисляване

и

интерпретиране

на

следните

мерки

на

централна

тенденция
:
•
Средна

аритметична
•
Медиана
•
Мода
•
Избор

и

прилагане

на

подходящи

мерки

на

централната

тенденция
.
•
Изчисляване

и

интерпретиране

на

следните

мерки

на

варирането
:
•
Обхват
•
Интерквартилен обхват
•
Дисперсия
(variance)
•
Стандартно

отклонение
•
Избор

и

приложение

на

подходящи

мерки

на

варирането
.

3
Честотно

разпределение
•
Честотно

разпределение

е

табулация

на

честотата
,
с

която

стойностите

се

появяват

във

вариационен

ред
.
•
Честотно

разпределение
(
вариационен

ред
) –
редица

от

числени

стойности
,
характеризиращи

дадена

количествена

променлива

при

всеки

отделен

случай
,
подредени

най
-
често

във

възходящ

ред
.
•
Емпирично

честотно

разпределение

се

табулира
от

данните

от

извадка
,
извлечена

от

популацията
,
която

изучаваме
•
Теоретично

честотно

разпределение

е

честотното

разпределение

което

можем

да

съставим

ако

табулираме всички

елементи

на

популацията
.

4
•
Различни

теоретични

честотни

разпределения

се

използват
:
•
Биномно
•
Нормално
•
Поасоново
•
Хи
-
квадрат
•
Разпределение

на
Student (t-
разпределение
)
•
.....
•
Най
-
важното

разпределение
,
което

се

използва

в

статистиката

е

нормалното
,
Гаусовоили

камбановодноразпределение

5
•
Честотният

полигон

може

да

има

различна

форма
,
но

много

от

естествените

явления

са

приблизително

разпределени

в

съответствие

със

симетричното
,
камбановидно
,
нормално

или

Гаусово
разпределение
02468
10121416
27121722273237424752576267

•
Наклон
(
върхова

изтегленост
)
Skewness
•
Положително

(
или

дясно
)
изтеглено

разпределение

има

относително

голям

брой

ниски

стойности

и

малък

брой

високи

стойности
•
Отрицателно
(
или
ляво
)
изтеглено разпределение

има

относително

голям

брой

високи

стойности

и

малък

брой

малки

стойности
6
Number
Score
Number
Score

7
Ексцес
•
върхова

изтегленост
на

кривата
–
отнася

се

до

това

колко

плоска

или

островърха е

симетричната

крива

8
•
Ако

имаме

две
(
и

повече
)
разпределения

с

подобна

форма
,
това
,
което

трябва

да

се

направи

е

просто

да

се

опише

как

те

се

различават
;
•
Това

се

прави

като

се

изчисли
•
Средната

аритметична
(
мярка

на

централната

тенденция
)
и
•
Варирането
(
разсейването
)
на

височините

около

съответната

средна

стойност

9
Средна

аритметична
•
Най
-
широко

използваната

средна

стойност
•
Локализира

центъра

на

гравитация

на

разпределението
The mean

10
Средна

аритметична

величина
•
Най
-
често

използваната

описателна

числова

характеристика

на

количествени

променливи
.
•
Изчислява

се

като

се

раздели
сумата

от

всички

стойности

на

променливата

на

броя

на

стойностите
.
•
Средната

стойност

изисква

и

е

предпочитаната

мярка

за

интервални
или

пропорционални
данни

•
Екстремните
стойности

оказват

изключително

голям

ефект

върху

средната
.
n
x
x
x
x
n
x
х
средна
n
i
�
�
�
�
�
�
�
�?
...
3
2
1
N
X
X
N i
i
�?
�
�
1
N
X
X
�?

•
При

степенен

вариационен

ред
(
съдържа

повтарящи

се

стойности

във

вариационния

ред
,
които

могат

да

се

групират
)
f
f
x
x
�6
�6
�
.

•
При

интервален

вариационен

ред
(
интервалите

са

с

еднаква

ширина
)
се

използва

стойността

в

средата

на

всеки

интервал
f
f
c
x
�6
�6
�
.

Средна

аритметична
-
свойства
1.
За

произволно

разпределение
,
сумата

от

отклоненията
на

стойностите

от

средната

е

равна

на
“0”. (
затова

средната

аритметична

се

нарича

още

център

на

гравитацията
на

разпределението
).
2.
Ако

отклоненията

се

повдигнат

на

квадрат

и

се

сумират
,
получаваме

сума

от

квадратите

на

отклоненията
,
която

е

по
-
малка

от

сумата

от

квадратите

на

отклоненията

около

всяка

друга

стойност
(
т
.е
.
тази

сума

е

минимума
).
3.
Тъй

като

средната

аритметична

има

формула
,
тя

е

алгебрична

и

може

да

се

манипулира
в

уравнения
.
13

14
Медиана

•
Медианата

е

стойността

на

средната

точка
в

ранговоподреден

списък
(
ред
)
на

всички

стойности

от

група

данни
(
средната

точка

в

поредица

от

ранжирани данни
)
•
Половината

стойности

са

над

медианата

и

половината

стойности

са

под

медианата
.
•
Понякога

се

нарича

50
ти
персентил
(P
50
)
или

бисекторна

площта

на

хистограмата
.
•
Използва

се

с

разпределения

с

произволна

форма
,
но

е

изключително

полезна

мярка

за

силно

изтеглени
(
изкривени
)
разпределения
.

15
Медиана •
Няма

формула

за

изчисляване

на

медианата
,
а

само

процедура
:
•
Подреждат

се

данните

във

възходящ

ред
•
Ако

общият

брой

на

стойностите

е

нечетен
,
стойността

на

медианата

е

равна

на

стойността
,
намираща

се

точно

в

средата

на

реда
: 1, 3, 3, 4 ,
6
, 13 ,14, 14, 18
(6)
•
Ако

общият

брой

на

стойностите

е

нечетен
,
медианата

ще

бъде

равна

на

средната

аритметична

от

двете

централни

стойности

в

реда
: 1, 3, 3,
4, 6
, 13, 13, 14
(5)
•
Медианата

се

използва

като

мярка

за

централна

тенденция

на
:
-
Ординални данни
-
Пропорционални
и
интервални
данни
,
когато
данните
не

са
симетрично
разпределени
Може

да

се

използва

за

дискретни
или

непрекъснати
данни
.

16
Мода
•
Най
-
често
срещаната

категория

или

стойност

във

вариационен

ред
•
Модата

не

се

изчислява
,
тя

просто

се

забелязва
(
най
-
лесно

в

графика

или

таблица

с

подредени

стойности
)
•
Ако

всички

стойности

са

различни
–
няма

мода
•
Ако

няколко
стойности

се

появяват

с

еднаква
честота
–
няколко

моди
•
Бимодалност
–
данни

с

два

върха
(
гърбици
)
с

подобна

височина
•
Мултимодалност
•
Основното

качество

на

модата

е

да

привлича

вниманието

към

разпределения
,
в

които

стойностите

се

струпват

на

няколко

места
.

Сравнение

на

средната

аритметична
,
медианата

и

модата
•
При

идеално

нормално

разпределение
(
симетрично
,
Гаус
-
Лапласово
) –
средната

аритметична
,
медианата

и

модата

имат

еднакви

стойности
.
•
При

дясно

изтеглено

(
положително
)
разпределение
,
средната

аритметична

има

най
-
висока

стойност
,
следвана

от

медианата

и

модата
.
•
При

ляво

изтеглено

(
отрицателно
)
разпределение