Биостатистика - Семинар

Биостатистика
–
Семинар
4-5.
1

Цел
:
•
Да

се

идентифицират

характеристиките

на

нормалното

разпределение
.
•
Да

се

изчислява

площ

под

нормалната

крива
,
при

зададена
z-
стойност
.
•
Да

се

трансформират

стойности

от

нормално

разпределение

в

стандарти

нормални

стойности
.
•
Да

се

намират

критични

стойности

на

z
и

t
.
•
Да

се

изчисляват

доверителни

интервали

около

средна

стойност
.
•
Да

се

изчисляват

доверителни

интервали

около

пропорция
.
2

3
Теоретични

вероятностни

разпределения
:
•
Биномно разпределение
Дискретноразпределение
•
Поасоново разпределение
•
t-
разпределение
•
F-
разпределение
…
•
Нормално разпределение
–
променливите са
непрекъснати
(
интервална или пропорционална
скала
)

4
Какво

означава
„
нормално

разпределение
“?
•
Датира

от
18
ти
век
–
проучвания

в

областта

на

експерименталните

грешки
.
•
Установено

е
,
че

при

повторни

измервания

на

една

и

съща

физична

величина

се

демонстрира

учудваща

степен

на

регулярност
.
•
Установено

е
,
че

разпределението

на

тези

измервания

се

апроксимират

до

определен

вид

непрекъснато

разпределение
,
което

се

нарича

нормално
разпределение
.

5
Защо

нормалното

разпределение

е

толкова

важно
?
1.
Много от статистическите тестове приемат
,
че данните
идват от нормално разпределение
.
2.
При

нормално

разпределени

данни
,
средната
и

дисперсията
са

независими

една

от

друга
;
ако

средната

стойност

се

увеличава
,
дисперсията

й

остава

непроменена
.
3.
Много
естествени
явления се почти нормално
разпределени
.
4.
Ако от не
-
нормално разпределение се извлекат много
извадки с еднакъв размер
,
разпределението на техните
средни стойности ще бъде нормално
,
при условие
,
че
извадките са достатъчно големи
(n>30).

6
Стандартни

стойности
•
При всички нормални разпределения можем да определим на какво разстояние се намира индивидуална стойност
(X)
от средната
стойност като опишем нейното местоположение чрез единици стандартно отклонение
(SD) units.
•
Ако
трансформираме
оригинална стойност в единици
SD,
резултатът се нарича
стандартна стойност
.
•
Стандартната стойност
еначиннапредставяненаоригинална
стойност в единици
SD (
относителното разстояние
от средната
).
•
z
или
Z
стойност е една такава стойност
.
•
Стойност
,
която е на
1SD
над средната се означава чрез
+z
•
Стойност
,
която е на
1SD
под средната се означава чрез
-z
1
)
(
2
�
�
�
�?
n
X
X
s

7
Стандартни

стойности
Стандартна
z-
стойност
се изчислява като от оригиналната
стойност се извади средната на разпределението и резултатътсераздели на
SD
�
�
�V
�P
�
�
X
z
�
�
s
X
X
z
�
�
1
)
(
2
�
�
�
�?
n
X
X
s
N
X
�?
�
�
2
)
(
�P
�V

8
•
z
ни казва на
колко стандартни отклонения
съответната
X-
стойност се намира
над
или
под
средната на разпределението
.
•
z
стойностите са
стандартизирани
или
нормализирани
стойности
,
ипозволяватстойностиотразличнинормални
разпределения да се
сравняват
.
•
Например
,
височината на индивид може да се сравни с теглото му
чрез съответните
z-
стойности
(
при условие
,
че двете променливи са
елементи от нормални разпределения
).
•
Ако всички оригинални стойности в едно разпределение се конвертират в
z-
стойности
,
полученото разпределение ще
има
средна стойност
0
и
стандартно отклонение
1
(
това е т
.н
.
стандартно нормално разпределение
).

9

Важни

характеристики

на

нормалната

крива
1.
Кривата е камбановидна и симетрична около средната стойност
;
наклонът е
0,
ексцесът също е
0.
2.
Средната
,
медианата и модата имат една и съща стойност
.
3.
Кривата е
винаги над
хоризонталната ос
..
4.
Когато се отдалечават от средната
,
опашките
на кривата се
доближават до
X-
оста
,
но
никога
не я пресичат
.
5.
Общата площ
под кривата е
100%.
6.
Тъй като има математическа формула
,
ако знаем средната
стойност
(
μ
)
истандартнотоотклонение
SD
(
σ
),
можем да
определяме площта под кривата между всеки две точки от хоризонталната ос
.
•
Съществува само едно нормално
разпределение с дадена средна
стойност и дадено
SD.
10

11
•
Числата

вътре

в

кривата

ни

показват
,
че

34.1%
от

площта

под

нормалната

крива

попадат

между

средната
(
μ
)
и

едно
SD
над

средната
(+1
σ
);
тъй

като

кривата

е

симетрична
,
още
34.1%
попадат

между
μ
и
-1
σ
.
•
�P
–SD
до

�P
+ SD
около
68% (68.2%)
•
�P
–2 SDs
до

�P
+ 2 SDs
около
95% (95.4%)
•
�P
–3 SDs
до

�P
+ 3 SDs
около
99% (99.8%)
0.1% 0.1%
‐
3
σ‐
2
σ‐
1
σμ
1
σ
2
σ
3
σ
34.1%

34.1%
13.6% 13.6%
2.2% 2.2%

12
•
За

да

ни

улеснят

живота
,
съществуват

таблици

Площ

под

нормалната

крива

(
под

или

над
z)
μ
z

13
•
z-
стойностите

могат

да

се

използват

за

намирането

на

вероятността
,
че

случаен

елемент

ще

има

стойност

над

или

под

определена

стойност
.
За

целта
:
•
Популацията

трябва

да

бъде

нормално
разпределена
•
И

както

средната

на

популацията
(
μ
),
така

и

стандартното

отклонение

на

популацията
(
σ
)
трябва

да

са

известни
.
•
Повечето

изследвания
,
обаче
,
предполагат

точно

обратния

проблем
:
•
Вместо

да

се

използва

информация

за

популацията

за

да

се

правят

изводи

или

предположения

за

извадка
,
•
Изследователят

иска

да

използва

информацията
,
получена

от

извадка

за

съставяне

на

заключения

за

популация
.

14
Дескриптивна

и

Оценъчна

статистика
Да

си

припомним
:
статистиката

може

да

се

раздели

на

две

основни

области
•
Дескриптивна

статистика
включва

статистически

методи

за

събирането
,
организирането
,
представянето
и

описването
на

извадки
от

данни
,
така

че

да

се

представи

значима

и

смислена

информация
,
т
.е
.
основната

й

цел

е

“
описването
”
на

данни
•
Оценъчна

статистика
включва

методи
,
които

позволяват

анализ

и

интерпретиране

на

данни
,
които

помагат

на

изследователите

да

формулират

смислени

и

значими

обобщения

за

данните
,
т
.е
.
основната

й

цел

е

да

определи

вероятността
(
правдоподобността
),
че

извод

направен

от

данните

е

верен
.

15
Популация

и

извадка
•
Популация
(
генерална

съвкупност
)
е

цялото

множество

наблюдения
,
от

които

статистикът

се

интересува
.
•
Наблюденията

могат

да

бъдат

върху

различни

обекти
–
хора
,
животни
,
предмети
;
не

е

нужно

да

се

ограничават

само

до

индивиди
.
•
Размерът

на

популацията

се

определя

от

броя

на

наблюденията

в

популацията
.
•
Извадка

–
подмножество

на

популацията
,
от

която

се

събират

данни

и

се

използват

като

основа

за

извеждането

на

заключения

за

цялата

популация

•
В

практиката

е

невъзможно

или

най
-
малкото

непрактично

да

се

изследва

цялата

популация
.
•
Взема

се

извадка

от

популацията
,
от

нея

се

събират

съответните

данни
,
и

се

правят

обобщения
(
оценки
)
за

популацията
,
на

базата

на

анализа

на

данните

от

извадката
.
•
В

идеалния

случай

всеки

индивид
(
обект
)
от

популацията
,
от

която

се

взема

извадката
,
трябва

да

има

известен

и

равен

шанс

да

бъде

включен

в

извадката
.

16
Видове
„
Лоши
“ (
невероятностни
)
извадки
•
“
Удобна
” -
съставя

се

по

най
-
удобния

начин
•
В

извадката

се

включва

този
,
който

е

наблизо
•
Целева
извадка
•
Изследователят

сам

решава

кого

да

включи

в

извадката

като

“
типичен
”
или
“
представителен
”
за

нея
•
Квотна
или

пропорционална
извадка
•
Извадка
,
която

е

възможно

най
-
подобна

на

популацията
•
23%
ергени
, 40%
с

кафяви

очи

и
19%
които

имат

синя

кола
•
Най
-
лошото

е
,
че

никога

не

се

знае

коя

популация

представляват
.

17
Видове
„
Добри
“ (
вероятностни
)
извадки
1.
Проста

случайна

извадка
•
Еднаква
вероятност
-
Всички

индивиди
(
обекти
)
имат

еднаква

вероятност

(
шанс
)
да

бъдат

включени

в

извадката

•
Такава

извадка

се

съставя

с

помощта

на

таблици

със

случайни

числа

(
има

ги

в

почти

всички

учебници
,
има

и

програми
,
които

генерират

случайни

числа
).
•
Независимост
-
Фактът
,
че

даден

член

на

популацията

е

включен

в

извадката
,
не

оказва

влияние

върху

шанса
(
не

намалява

шанса
)
на

някой

друг

член

на

популацията

да

бъде

включен

в

извадката

2.
Систематична

извадка
•
Ако

можете

да

подредите

всички

членове

на

популацията

в

редица

и

се

придвижвате

по

тази

редица

човек

по

човек
,
тогава

говорим

за

“
систематична
”
извадка
•
Започвате

от

единия

край

на

редицата

и

избирате

всеки
“
к
-
ти
”
член

(
например
,
всеки

десети
)
•
Ако

първият

член

на

извадката

е

избран

случайно
,
извадката

става

систематична

със

случайно

начало
.

Видове
„
Добри
“ (
вероятностни
)
извадки
(cont.)
•
3.
Стратифицирана

случайна

извадка
•
Разделя

се

популацията

на

определен

брой

подмножества
(
страта или

слой
)
Където

всеки

слой

е

вътрешно

хомогенен

по

отношение

на

изследваните

характеристики
•
И

се

прави

случаен

подбор

на

случаи

от

всеки

от

слоевете
•
Стратифицираната

случайна

извадка

може

да

бъде

по
-
ефективна

от

простата

случайна

извадка

•
4.
Кластерна
(
гнездова
)
извадка
•
Популацията

предварително

се

разделя

на

кластери
(
гнезда
)
•
Кластерите се

избират

случайно

и

всички

членове
на

избрания

кластер се

включват

в

извадката
.
18

19
Да

обобщим
•
Използваме

дескриптивна
(
описателна
)
статистика

за

обобщаване

на

данни

от

извадки
.
•
Използваме

статистически

оценки
за

да

правим

оценки
(
обобщения
)
за

популация
,
на

базата

на

данни

от

извадка
.
•
Ако

изберем

извадка

от

популация

и

изчислим

нейната

средна

аритметична
,
колко

близко
е

тази

стойност

до

средната

аритметична

на

популацията
?
•
Съществуват

формули
,
чрез

които

можем

да

определим

колко

близко

е

средната

аритметична

на

нашата

извадка

до

средната

аритметична

на

популацията
.

20
•
Когато

от

популация

се

изберат

много

извадки
,
средните

аритметични

на

тези

извадки

клонят

към

нормално

разпределение
•
(
ако

се

начертаят

около

някаква

основна

линия
,
те

образуват

нормална

крива
).
•
Колкото

по
-
голям
е

броя

на

извадките
,
толкова

повече

разпределението

се

доближава

до

нормална

крива
.
•
Ако

можем

да

получим

достатъчно

извадки

от

една

и

съща

популация

и

начертаем

техните

средни

аритметични
,
получаваме

нещо

подобно

като

на

фигурата
.
•
Това

е

познатата

форма

на

нормално

разпределение
45 48 50 52 55
-
Means
of

200
samples

of
newborns
45 48 50 52 55
Height
(cm)

21
•
Ако

средната

стойност

на

средните

аритметични

на

извадките

се

изчисли
(
средната

на

средните
),
•
Тази

средна

стойност
(
или

средна

аритметична
)
е

много

близо

до

действителната
средна

аритметична

на

популацията
.
•
Колкото

по
-
голям
е

броя

на

извадките
,
толкова

по
-
близо
ще

бъде

тази

изчислена

средна

аритметична

до

средната

аритметична

на

популацията
.
•
Ако

можем

да

изберем

всички

възможни

извадки
от

популацията
…
и

изчислим

средната

аритметична
за

всяка

от

тях
,
и

направим

списък

на

тези

средни

величини
…
ще

получим

нещо
,
което

се

нарича

The Sampling Distribution of Sample Means
(
разпределение

на

средните

величини

на

извадките
)