Корелация: Измерване на взаимовръзки

5 КОРЕЛАЦИЯ: ИЗМЕРВАНЕ НА ВЗАИМОВРЪЗКИ

До този момент обсъдихме статистическите процедури, използвани за описване на разпределението на една случайна променлива. Разгледахме мерките на централната тенденция и мерките на разсейването като основни характеристики на разпределението. Да предположим, че за група артефакти са измерени стойностите по две променливи. Да си припомним групата от 180 оръдия от миналите глави. Нека освен дължината за всеки артефакт да е даден и резултата от измерването на ширината в мм. Възможно е всяка променлива и нейното разпределение да бъдат описани отделно, но много често възниква въпросът за степента на свързаност на тези две променливи. Например, дали артефактите с по-голяма дължина са и с по-голяма ширина. В по-общи термини, дали ако стойностите на едната променлива нарастват, стойностите на другата също показват тенденция за нарастване? Статистическата мярка за описание на връзката между две случайни променливи е коефициентът на корелация.
Изследванията на взимовръзката между две променливи се срещат често в областта на археологическите изследвания Примерите за това са многобройни. Изучаването на връзката между две и повече променливи е основен подход за изследователите в областта на археологията. Няма научна дисциплина, която да не се занимава с разкриването на структурата на взаимовръзките между различни целеви променливи. Знанието на тази структура се счита за базово при всеки по-нататъшен анализ на данните, особено при използването на съвременните многомерни методи.
В тази глава ще се спрем преди всичко на класическия коефициент на корелация на Пирсън, които се изчислява чрез т.нар.смесени моменти и по традиция се бележи с , когато се отнася до популацията и с r, когато се отнася до извадката. Този коефициент се приема за стандартна мярка на взаимовръзката между две случайни променливи измервани по метрични скали. Други коефициенти, подобни в съдържателен смисъл на коефициента r, ще бъдат разгледани в Глава 6.

Корелационен коефициент и значение на корелацията
Коефициентът на корелация е индекс, които описва до каква степен две
множества от стойности са линейно свързани. С други думи, корелационният коефициент е мярка или индекс за взаимовръзката между две променливи. Корелационният коефициент може да приема всяка стойност от интервала [-1.0; +1.0]. Знакът плюс или минус пред коефициента показва посоката на тази връзка. Абсолютната стойност на коефициента показва размера на взаимовръзката.

Да разгледаме данните, показани в Таблица 1. Това са измервания на дължините,
ширините и дебелините на артефакти, датирани като отнасящи се към фаза ІХ (5875 –
5800 ВС)

Таблица 1. Измерени дължини, ширини и дебелини на артефактите за фаза IX (5875 – 5800 BC)

Да предположим, че имаме основания да мислим, че артефактите с по-голяма дължина имат и по-голяма ширина и обратно – по-ниският резултат при първото измерване е свързан с по-нисък резулта и при другото измерване. Това може да бъде изобразено графично чрез т.нар.

диаграма на разсейването. Това е графично представяне на измерванията на двете променливи в правоъгълната (декартова)
Диаграмата на разсейване е двумерна графика, всяка точка от която представя измерванията на двете променливи върху един и същ обект.

координатна система както е показано на Фигура 1а. Всяко наблюдение се представя като точка с абсциса, съответстваща на измерването по първата променлива (X) и ордината, съответно равна на измерването по втората променлива (Y).
Често се налага едновременно да се изучава връзките между повече от два параметъра. Може да се подходи по два начина: 1) Да се построят всички възможни диаграми на разсейване по двойки. Например, за данните от Таблица 1 ще имаме три такива диаграми, подобни на диаграмата от Фигура 1а. 2) Да се построи една обща

диаграма на разсейването, която да включва всички променливи. Тази диаграма се нарича матрична диаграма на разсейването. Тази диаграма позволява не само да се визуализира връзката между всеки две променливи, но и дава сравнителна представа за връзките между всички двойки променливи. За данните от Таблица 1 матричната диаграма е показана на Фигура 1б.

Фигура 1а. Хистограма на разсейването, илюстрираща взаимовръзката между дебелината (Х) и ширината на артефактите (Y)

Фигура 1б. Матрична диаграма разсейването за данните от Таблица 1

Посока и сила на взаимовръзката
Да се върнем към Фигура 1а. Точките от графиката показват тенденция да се
групират около една линия, която започва от долния ляв ъгъл и се стреми към горния десен ъгъл. Тази конфигурация говори за положителна корелация между двете променливи, докато конфигурацията от горния ляв ъгъл към долния десен ъгъл говори за отрицателна корелация. Тези две основни конфигурации са илюстрирани на Фигура
2а и 2б. Ако взаимовръзката между двете променливи е идеална, всички точки ще лежат върху една права линия. В този случай ще говорим за идеална положителна или идеална отрицателна корелация. Това е илюстрирано чрез Фигурите 2в и 2г. Когато точките са разположени приблизително в кръг, то тази конфигурация говори за нулева или близка до нулевата корелация (Фигура 2д).
Коефициентът при идеална положителна корелация е +1.0, при идеална отрицателна корелация –1.0. Когато между двете променливи не съществува линейна взаимовръзка, то съответният коефициент на корелация е 0. Стойността на корелационния коефициент е функция на наклона на конфигурацията на точките към положителната посока на оста Х и на ширината на елипсата, ограждаща множеството на измерванията. Ако наклонът е под тъп ъгъл, то коефициентът е отрицателен, обратно ако наклонът е под остър ъгъл, то коефициентът е положителен (както е изобразено на Фигура 1). Ако елипсата е тясна (сплескана) по продължение на едната си ос, то степента на взаимовръзка е висока и коефициентът на корелация показва висока стойност. Ако двете оси са приблизително равни, елипсата става окръжност и коефициентът на корелация е с ниска стойност.
Две допълнителни концепции са важни за разбирането на смисъла на корелационния коефициент. Първо, за да се определи корелацията трябва да са налице подвойкови измервания на двете променливи върху едно и също множество обекти.

Корелационният коефициент не може да бъде изчислен, ако по едната променлива имаме измерени една група обекти, а по другата – друга, различна група. Второ, корелационният

Коефициентът на корелация може да приема всяка една стойност от интервала [-1.0, +1.0]. Знакът на коефициента указва посоката на взаимовръзката, а абсолютната му стойност указва силата на тази взаимовръзка.

коефициент е индекс на взаимовръзката между двете променливи само за специфицираната група обекти, за която той е изчислен. Например, не е възможно да се говори за взаимовръзката между дължината и ширината на артефактите без да се датира популацията, за която са събрани данните. Взаимовръзката ще се променя за групите, принадлежащи на различни времеви фази.

Фигура 2. Диаграми на разсейването, илюстриращи различни степени на взаимовръзка между случайните променливи X и Y

а) положителна корелация б) отрицателна корелация

в) идеална положителна корелация г) идеална отрицателна корелация

д) нулева корелация
Y

X

Изчисляване на корелационния коефициент
От диаграмата на разсейване изобразена на Фигура 1а се вижда, че обикновено артефактите с по-голяма дебелина показват и по-голяма ширина. Вече споменахме, че
когато на високи стойности на променливата X съответстват високи стойности на променливата Y и обратно, говорим за положителна взаимовръзка. От друга страна, когато високите стойности на Х са свързани с ниски стойности на Y и обратно, говорим за отрицателна взаимовръзка. Независимо, че е възможно до добием известна представа за силата на връзката между двете променливи по графиката, този подход не може да разкрие количествено съответствието и не е достатъчно точен за по- нататъшни статистически анализи. В този случай е необходимо да се изчисли количествен индекс на взаимовръзката, наречен корелационен коефициент.
При изчисляването на корелационния коефициент съществена роля играе т.нар. смесено или кръстосано произведение на измерванията. Смесеното произведение се получава като се умножат стойностите на двете променливи, измерени за един и същ отделен случай. Ако сумираме произведенията за всички случаи, т.е. за n елемента от извадката ще получим сумата на смесените произведения. Ще използваме данните от Таблица 2 за онагледяване на процеса на определяне на сумата на смесените произведения.

Таблица 2. Намиране на сумата на смесените произведения за различни променливи

Да разгледаме стойностите променливите X, R, S, T, U и V. Променливите X и R приемат равни стойности еднакво наредени стойности, докато S приема същите стойности, но в обратен ред. За променливата Т стойностите са същите като на Х, но в различен ред. Очевидно, стойностите на Т не са идеално свързани с тези на Х, но е налице тенденция за положителна връзка между двете променливи. Променливата U приема същите стойности, както и Х, но връзката между двете променливи е с отрицателен знак. Стойностите на променливата V са умножените на 10 стойности на Х. Очевидно, сумите на смесените произведения (с изключение на променливата V) дават известна представа за връзката между Х и другите променливи. Съществуват обаче две сериозни ограничения за директното използване на тези суми като индекс на връзката.
Първото ограничение произлиза от факта, че абсолютната стойност на сумата е функция на мерната единица за всяка променлива. Например, променливите Х, R, S, T и U се измерват с еднакви мерни

единици и съответните произведения са директно сравними, докато променливата V се измерва в единици, различни от
Корелационният коефициент може да бъде получен като средна на смесените произведения на z-стойностите на двете променливи.

тези на останалите променливи. Затова сумата от произведенията на съответните стойности на Х и V не е непосредствено сравнима с другите суми. Следователно, ако трябва да използваме сумите на смесените произведения за построяване на индекс на корелацията, то изходните измервания трябва да са изразени в еднакви мерни единици. Това може да се постигне просто чрез трансформиране на оригиналните измервания към стандартни (и безразмерни) z-стойности съгласно формула 4.1. Таблица 3 съдържа съответните z-стойности за променливите от Таблица 2. Прави впечатление, че сега сумите на произведенията вече не се влияят от мерната единица и сумата на zxzr е равна на сумата zxzv.
Второто ограничение произтича от факта, че смесената сума е функция и на броя на измерванията. Това ограничение може да се премахне, като вместо сумата на произведенията се разгледа средната стойност, т.е. като се раздели сумата на броя на двойките, по които е изчислена тази сума. Обобщавайки казаното до тук, получаваме следната формула за изчисляване на корелационния коефициент между две случайни пр