Математически анализ

ДИМЧО СТАНКОВ





О v
c, r
r(x)
(З)
(З)
(П)
 
)(ln
)(ln
)(



x
xf
fE
x

 

1
),( yxkyxF







МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ

за студенти по икономика

2007

П Р Е Д Г О В О Р

Настоящият учебник е предназначен за студентите от специалност Икономика на
Шуменския университет “Епископ Константин Преславски”. Той е съобразен с учебната
програма на дисциплината Математика - втора част (Математически анализ) от учебния план. В
него са разгледани понятия и твърдения от математическия анализ като:
 реални числа и числова ос;
 основни елементарни функции;
 производна и диференциал на функция;
 теореми за средните стойности;
 приложения на производната за изследване на функция;
 редове от реални числа и степенни редове;
 примитивна функция и неопределен интеграл;
 определен интеграл и приложения;
 функции на две и повече променливи;
 някои видове обикновени диференциални уравнения.
В учебника са намерили място и някои приложения на математическия анализ в
икономиката като:
 маргинални величини в икономиката;
 еластичност на търсенето;
 оптимизационни модели;
 равновесни точки;
 точка на спадащ доход;
 производствена функция на Коб-Дъглас;
 взаимовръзки между два продукта;
 интерполиране на функции.
Съдържанието на учебника е разпределено в двадесет и пет теми (въпроси от конспекта).
Във всяка от тях има достатъчно на брой примерни решени задачи, демонстриращи основни
методи разгледани в теоретичната част. Накрая се предлагат задачи за самостоятелна работа.
Много от твърденията в учебника са приведени без доказателства. Доказателствата на
останалите не винаги са строги и често са изложени на базата на геометрични (нагледни)
заключения. Целта е бързото усвояване на свойствата на разглежданите фундаментални
математически операции (граничен преход, диференциране, интегриране и други),
математически характеристики (монотонност, екстремум, изпъкналост, вдлъбнатост и други),
както и методите за решаването на основните задачи. За по-пълно изучаване или запознаване с

други подходи към учебното съдържание читателят може да ползва учебните помагала от
посочената литература.
Структурата на учебника и съдържанието му са такива, че той може да бъде използван с
успех и от студентите, обучаващи се чрез Центъра за дистанционно обучение на Шуменския
университет. Наличието на голямо количество решени и нерешени задачи са предпоставка за
задълбочена самостоятелна работа, а също така за качествено изготвяне на курсови работи и
други задания на студентите.
Авторът изказва своята благодарност на рецензента доц. д-р Георги Георгиев за
прецизната и задълбочена рецензия. Изказвам благодарност и на Снежана Стойчева за
акуратната предпечатна подготовка на книгата, без помощта на която отпечатването й щеше да
е невъзможно.


февруари 2007 г. От автора
гр. Шумен

1. Реални числа и числова ос. Координатна система в равнината

Реалните числа са числата, които могат да бъдат представени, като безкрайни десетични
дроби. Например:
00000,99 . . .
333,4
3
13
 . . .
6666,0
3
2
 . . .
95141,3 . . .
3157546,27 . . . .
Многоточието означава, че редицата от цифри продължава безкрайно. Докато в първите
три примера е ясно, че се повтаря една и съща цифра (съответно 0 , 3 и 6 ), то за 7 и  това
не е така. Периодичните безкрайни десетични дроби се наричат рационални числа, а
непериодичните - ирационални числа. Означаваме тези множества съответно с Q и I . Тогава
множеството R на реалните числа (всички безкрайни десетични дроби) е обединението на Q и I
, т. е. IQR  .
Реалните числа служат преди всичко за измерване на различни величини. Например
измерваме дължината на дадена отсечка и по такъв начин й съпоставяме положително число.
Обратно всяко положително число изразява дължината на някаква отсечка. Именно на това се
основава геометричното представяне на реалните числа като точки от една права, която се
нарича числова ос (фиг.1).
! ! Дефиниция 1. Числова ос се нарича права, на която са избрани определена точка O
(начало на отчитането), мащабна отсечка OE , дължината на която приемаме равна на единица
и положителна посока (от O към E ).
O E

Фиг.1
На всяко положително реално число x може да се съпостави точка от числовата ос,
надясно от началото O , която е на разстояние x от O . На всяко отрицателно реално число x -
точка наляво от O , която е на разстояние (x ) от O . На числото нула се съпоставя точката O
. По такъв начин се получава взаимно еднозначно съответствие между множеството R на
реалните числа и множеството на всички точки от числовата ос, а именно:
1) на всяко реално число съответства точно една точка от числовата ос;
2) на различни реални числа съответстват различни точки от числовата ос;
3) всяка точка от числовата ос съответства на някакво реално число.
Поради тази причина R се нарича числова ос, вместо реално число се казва точка от
числовата ос, а R и числовата ос се отъждествяват. От училищния курс е известно, че реалните
числа можем да събираме, изваждаме, умножаваме и делим (стига да не е на нула) и сравняваме
по големина. Последното се записва по следния начин: xyx 
лежи от ляво на y (като точка от числовата ос).
Проверете вярно ли са подредени числата върху числовата ос на фиг.2.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4  3


 


 

Фиг.2
По-важни подмножества на R са следните:
1)  ...,3,2,1N - множеството на естествените числа.

2)  ...,3,2,1,0 Z - множеството на целите числа.
3) 





 0,Z,Z, nnm
n
m
Q - множеството на рационалните числа, т. е.
периодичните безкрайни десетични дроби.
4) I - множеството на ирационалните числа, т. е. непериодичните безкрайни десетични
дроби.
Да отбележим, че QZN  . В N са изпълними само операциите събиране и
умножение, в Z - операциите събиране, умножение и изваждане, а в Q - всички аритметични
операции. Да припомним как се извършват:
21
1221
2
2
1
1
.
..
nn
nmnm
n
m
n
m 

21
21
2
2
1
1
.
.
nn
mm
n
m
n
m

21
21
2
2
1
1
.
.
:
mn
nm
n
m
n
m
 (0
2
m ).
Освен четирите аритметични действия с реалните числа могат да се извършват и
действията повдигане на степен и коренуване: xxxx
n
nпъти
....

, Rx , Nn x
0
1
, x0 и x
x
n
n


1 , 0x и Nn x x
p
q p
q

, 0x , Np , Nq .
С всеки две реални числа ba се свързват следните видове интервали (фиг.3):
1) }:{),( bxaRxba  - отворен интервал с краища a и b ;
2) }:{],[ bxaRxba  - затворен интервал с краища a и b ;
3) }:{),[ bxaRxba  - затворен отляво и отворен отдясно;
4) }:{],( bxaRxba  - отворен отляво и затворен отдясно. a ba, b( )
a ba, b[ ] a ba, b[ )
a ba, b( ]
Фиг.3
Тези интервали са крайни интервали - всеки от тях има крайна дължина ab .
Интервалите могат да имат и безкрайна дължина, т.е. да бъдат безкрайни (фиг.4):
1) }:{),[ axRxa  или }:{),( axRxa  , където Ra ;
2) }:{],( bxRxb  или }:{),( bxRxb  , където Rb ;
3) R),( . aa, + 

b - , b  
(- ,+ )   

Фиг.4
За всяко реално число x , числото








0<ако,
0=ако,0
0>ако,
xx
x
xx
x
се нарича абсолютна стойност или модул на x . Да отбележим, че 0x и xx за всяко
реално число x . Геометрично x представлява разстоянието от x до O върху числовата ос.
По-общо yx е разстоянието между точките x и y върху числовата ос (фиг.5): 0 x
|x|
x 0
|x| x y
|x-y|
|y-x|

Фиг.5
Свойства на абсолютната стойност:
1. yxyxyx  или
2. y
x
y
x
yxyx  и..
3. yxyx  - неравенство на триъгълника
4. cxcxcx  или
cxccx  <
cxccx 
cxcxcx  или
cxcxcx  или
Пример 1. Решете уравненията:
1. 135x ; 2. 742  xx ; 3. 5
4
7
3
1



xx ; 4. 0
1
3
2




y
y
y
y ;
5.  12
5
114
2
10
13 




xx
x ; 6. 513 x ; 7. 132 t ;
8. 412 xx .
Решение: 1. 135x  4315 x  5
4
x .
2. 742  xx  274  xx  55x  1x .
3. 5
4
7
3
1



xx  05
4
7
3
1



xx  
0
12
6073314

x  0
12
6021344

 xx
 0
12
85

x  085x  85x .
4. Дефиниционното множество на даденото уравнение се определя от условията 2y и 1y
.

0
1
3
2




y
y
y
y  

0
12
231



yy
yyyy  
0
12
263
22



yy
yyyyy  
0
12
66



yy
y
 066 y  1y .
5.  12
5
114
2
10
13 




xx
x    
0
10
1201142105130

 xxx  01202285503030  xxx
 016227 x  16227x  6
27
162
x
.
6. 513 x  513x или 513 x  63x или 43x  2x или 3
4
x
.
7. 132 t  132t или 132 t  213t или 213 t  13t
или 33t  3
1
t или 1t .
8. 412 xx  412 xx или 412  xx  142 xx или 412  xx
 5x или 1x .
Пример 2. Решете неравенствата:
1. 3312x ; 2. xx  3223 ; 3.6
5
1
8
72
4
xxx


 ;
4. 132 x ; 5. 31
2

x .
Решение: 1. 3312x  3312x  612x  2
1
x .
2. 32 23x x  6362x x  3266xx  05x  0x .
3. 6
5
1
8
72
4
xxx


  0
6
5
1
8
72
4



xxx   
0
24
20247236

 xxx  0
24
20242166

 xxx
 0
24
305

x  0305 x  305x  6x .
4. 132 x  1321 x  422 x  21x .
5. 31
2

x  31
2

x или 31
2

x  13
2

x или 13
2

x  x
2
2 или 4
2

x
 4x или 8x .
! ! Дефиниция 2. Координатна система в равнината се нарича двойка пресичащи се оси с
общо начало, взети в определен ред. Началото се означава с O , първата координатна ос се
означава с Ox , а втората с Oy .
Когато осите са перпендикулярни и единичните отсечки по тях са равни, координатната
система се нарича декартова координатна система в равнината.
Точката O се нарича начало на координатната система, оста Ox се нарича абсцисна ос,
оста Oy - ординатна ос.

Да завъртим на ъгъл равен на 90 около точката O положителната полуос Ox до
съвпадането й с положителната полуос Oy . Ако това завъртане става в посока обратна на
посоката на часовниковата стрелка, то декартовата координатна система Oxy се нарича дясно