Описание на разпределенията: Мерки на централната тенденция и разсейване

3 ОПИСАНИЕ НА РАЗПРЕДЕЛЕНИЯТА: МЕРКИ НА ЦЕНТРАЛНА ТЕНДЕНЦИЯ И РАЗСЕЙВАНЕ

В предходната глава разгледахме конструирането на честотни разпределения като процедура за организиране и обобщаване на данните за смислено представяне. Бяха определени различните форми на разпределението и относителното място на едно измерване в честотното разпределние беше обсъдено в термините на персентилите и персентилните рангове. Наред с разгледаните, съществуват и други процедури, които разкриват по-дълбоко свойствата на честотното разпределение. Тези процедури предполагат изчисляването и на други характеристики или мерки за разпределението на наблюденията(измерванията).
Три са основните характеристики, за които трябва да има информация, за да се опише едно честотно разпределение: 1) информация за формата на разпределението;
2) информация за разположението на разпределението върху скалата на измерване; 3) информация за разсейването на разликите между измерванията и дадена (обикновено фиксирана) точка. Отттук можем да заключим, че знанието на разпределението означава да имаме отговорите на трите въпроса: Каква е формата? Какво е разположението? Какво е разсейването на измерванията около фиксирана точка? Отговорите на тези въпроси са основата за изводите, които следват от изучаването на археологичните данни.
Във връзка с първия въпрос, вече разгледахме различни възможни форми на разпределението, както и процедури за графично представяне на разпределенията като хистограма или честотен полигон.

Във връзка с втория въпрос, най- често използваните мерки за разположение са т.нар. мерки на централна тенденция. На мерките на централна тенденция може да се глада като на някакъв вид
Да се опише едно разпределение означава да се
установят неговата форма, разположение и разсейване. Формата може да се установи графично. Мерките на централна тенденция са индикатори за разположение, а мерките за
дисперсия са индикатори за разсейване.

средни стойности, тъй като всички те отразяват тенденцията в разположенито на центъра (на тежестта) на честотното разпределение. Мерките на централна тенденция, които се използват най-често и които ще бъдат разгледани тук са: средна, медиана и мода.

Третият въпрос се отнася до разсейването на измерванията в разпределението. Най-често използваните мерки на разсейване са: размах, (полу-)интерквартилен размах, дисперсия и стандартно отклонение. Размаха на разпределението вече беше споменат в Глава 2. В тази глава ще опишем неговите свойства по-пълно вече във връзка с описанието на честотното разпределение.

Мерки на централната тенденция
Мерките на централната тенденция са точки върху скалата на измерване на
променливата. Много променливи в археологията и антропологията имат разпределения, при които точките са концентрирани в средата на разпределението и само отделни измервания са разположени в края (опашката) на разпределението. Примери за такива разпределения са нормалното разпределение и близките до нормалното разпределения. Освен това, често се наблюдават и асиметрични разпределения, за които мерките на централна тенденция не са разположени близо до центъра на интервала от скалата, по която се измерва дадена променлива. Следователно, важно е не само да се изчислят мерките на централна тенденция за дадено множество точки, но и те да бъдат интерпретирани във връзка с формата на разпределението.

Мода
Модата е най-елементарният показател на централната тенденция. Тя се определя като най-често срещаната стойност в честотното разпределение и се намира по-скоро чрез броене, отколкото чрез алгебраични пресмятания. Да разгледаме отново данните от резултатите от измерването на дължината на 180 артефакта. За удобство тези данни са показани отново в Таблица 1. Модата на това разпределение очевидно е 23, тъй като тази стойност се среща 11 пъти, най-много по сравнение с всички други. Тук трябва да се отбележи, че когато данните са групирани в честотно разпределние с определена държина на интервала, за мода се взема средата на класовия интервал с най-голяма честота. Например, ако се обърнем към групираните данни от Таблица 2, за мода трябва да бъде избрана средата на интервала 30-34, т.е. 32.
Когато две несъседни стойности (или интервала за групирани данни) се наблюдават по-често, отколкото съседни стойности (или интервали), то разпределението се нарича многомодално. Специален случай е, когато разпределението има две моди. Тогава то се нарича двумодално. Да разгледаме данните в Таблица 1. Има 10 артефакта с дължина
30 мм, 10 - с дължина 32 мм и 10 – с дължина 39 мм. Вече установихме, че 23 мм се среща 11 пъти. Това говори, че разпределението е многомодално. В археологията обикновено многомодалността е указание за нееднородност на данните.
Модата е твърде груба мярка на централната тенденция. Тя дава малко информация и единственото, което показва е стойността с най-голяма честота. Тя не се поддава лесно на математически

манипулации и, следователно, има ограничена практическо значение
като статистика. Единствената
Модата се определя като най-често срещаната
стойност в разпределението.

ситуация, в която модата може да се използва пълноценно е когата имаме голям брой измервания и то във връзка с други описателни мерки на разпределението.

Таблица 1. Честотно разпределение на дължината на артефактите

Таблица 2. Честотно разпределение на резултатите от измерването на дължината на
Артефактите (групирани данни)

Общо 180 100.0

Медиана
Втората мярка на централна тенденция е медианата. Медианата се определя като 50- тия персентил, т.е. онази точка върху скалата на измерване, под която лежат точно 50% от всички измервания.
- Групирани данни. Когато данните са групирани, изчисляването на меданата е частен случай на изчисляването на кой и да е персентил:

(1)
 N / 2 −
Med  ll  
cf 
(i )

 f i 
където: ll = точната долна граница на интервала, съдържащ точката с номер, равен на Nх0.5) ;
N = общият брой измервания;

cf = кумулативната честота на измерванията в интервала, предшестващ интервала, който съдържа точката с номер, равен на N(0.5), т.е. медианата ;
fi = брой на измерванията в интервала, който съдържа точката с номер,
равен на Nх0.5, т.е. медианата ;
i = ширина на груповия интервал.

Пример. Ще покажем използването на формула (1) на примера от данните в Таблица
2. Медианата ще се изчисли както следва. Определяме интервалът, който съдържа медианата. Това е интервалът, в който попада измерването с номер 180х0.5 = 90 или (34.5-39.5). Съгласно формула (1) ще получим:
Med  34.5   180 / 2 − 85   5  34.5  0.78  35.3 .
 32 
 
- Негрупирани данни. В този случай медианата се определя като средното измерване в извадката от наредени измервания, такова, че половината от измерванията са по- малки или равни на него, а другата половина са по-големи или равни.. Ако x(i) е стойността на променливата с

рангов номер i в наредената извадка, то : а) ако N е четно число, медианата е равна на
Медианата е точката, под която се намират
половината или 50 процента от всички измервания. Тя е 50-тия персентил.

средното измерване, което има ранг
[( N  1 / 2] 1 , т.е.
x[( N 1) / 2] ; б) ако N е четно

число, то медианата е равна на средно аритметичното на двете стойности с ранг N/2
и N/2+1, т.е. ( x N / 2  x N / 21 ) / 2 .
Пример. Ако търсим медианата преди да сме групирали резултатите от теста, т.е. по суровите наредени данни (виж Таблица 2.2), то единственото, което трябва да направим е да определим номера на медианната стойност. Имаме 180 измервания. В този случай медианата ще лежи между двете стойности с номера 180/2 и 180/2+1, т.е. ще се намира между 90-тото и 91-вото измервания и се определая като средно аритметична на тези две точки. Тъй като тези две измервания са равни на 36, то и тяхната средна е също 36, т.е. медианата е 36.

Средна2
Средната се определя като средната аритметична на разпределението на наблюденията. Тя се определя като се съберат всички стойности и сумата се раздели на броя на измерванията. Има известна разлика, чисто аритметична, между начина на изчисляване на средната при групирани и при негрупирани данни, затова ще разгредаме тези два случая отделно.
- Групирани данни
k
∑ f i x i

(3)
 i 1
k
∑ f i
i 

където: xi = средната точка на i-тия интервал;
fi = честотата (броят) на измерванията от i-тия интервал
k = общият брой на интервалите на групиране.

1 Квадратните скоби означават, че се взема само цялата част на частното.
2 По-натък ще означаваме средната с . При обсъждането на методите на статистическия извод ще правим разлика между означенията за извадкова средна ( x ) и средна на популацията ().

- Негрупирани данни
N
∑ x i

(4)
  i 1
N

където: xi = i-тото измерване;
N = общият брой на измерванията.

Пример. – за групираните данни от Таблица 2 ще получим:
  22  22  27  25  ....  62  3  82  3  6685  37.1 ;
180 180
- за негрупираните данни от Таблица 1 ще получим:

  20  20  ...  65  80  99  6690  37.2
180 180
Разликата от една десета се дължи на това, че най-десният интервал е с различна
дължина от предходните, което води до допълнителна загуба на информация.

Свойства на средната
Две са най-важните свойства на средната. Първото е, че сумата на всички отклонения на измерванията от средната е нула. Отклонението се определя като разликата между съответното

измерване и средната. Да разгледаме Таблица 3. Отклоненията са отбелязани с i и се намират в колона 2. Записано алгебраично, това свойство е следното:
Средна стойност или само средна се нарича
аритметичната средна на всички измервания от разпределението.
Двете важни свойства на средната са:
1. Сумата от отклоненията (разликите) на всички измервания относно средната е равна на нула.
2. Сумата от квадратите на отклоненията

∑ ( x i −  )  ∑  i
 0 . Второто
относно средната е минимална

важно свойство на средната е,
че сумата от квадратите на отклоненията от средната е по-малка от сумата от квадратите на отклоненията от която и да е друга стойност, т.е. от всяка стойност, различна от средната. В трета колона на Таблица 3 се намират квадратите на отклоненията от средната, която е 6, а в четвъртата сме взели произволно число, в случая 8, и сме изчислили квадратите на отклоненията на всяко Х от 8. В първия случай сумата е 76, докато във втория е 104. Това важи и за всяко друго число.
Второто свойство показва, че средната е мярка на централната тенденци в термините на най-малките квадрати, т.е. сумата от квадратите на отклоненията е минимална. За никоя друга стойност тази сума не може да бъде по-малка.

Сравнение между модата, медианата и средната
Коя е най-добрата мярка на централната тенденция? До известна степен изборът на най-подходяща мярка на централната тенденция зависи от скалата на измерване. Ако данните са номинални, то единствено модата може да бъде подходяща. Ако данните са рангови, то подходящи мерки са модата и медианата. Когато данните са метрични (интервални или измервани по