Представяне и описание на данните

2 ПРЕДСТАВЯНЕ И ОПИСАНИЕ НА ДАННИТЕ

Данните от всяко едно изследване в археологията обикновено се състоят от последователност от числа, които представляват измервания на някакви променливи. Ако, например, сме измерили ширината на 150 артефакта разполагаме със 150 числа, всяко от които изразява съответното количество за един отделен предмет. Да разгледаме списъка на тези 150 числа. Почти невъзможно е да се направи какъвто и да е извод на базата на тези данни без да се използва някаква логическа процедура за организирането и обобщаването им. Една от най-простите процедури за представяне и описание на данните с цел да се получи смислена картина е честотното разпределение. Честотното разпределение ще бъде разглеждано в тази глава наред с някои други елементарни методи за описание на данните.
Всички примери, които се разглеждат в тази книга са на основата на реални археологични или антропологични данни.

Честотни разпределения
Честотното разпределение се определя като такова подреждане на данните, което
показва колко пъти дадена стойност или група от стойности са се наблюдавали. Защо е нужно на изследователя да строи честотното разпределение на група измервания или наблюдения? Получаването на

честотното разпределение на една случайна променлива организира систематично данните и показва някои страни от естеството на данните.
Честотното разпределение е представяне на
данните в табличен вид, така че да се покаже колко пъти дадена стойност или група стойности са наблюдавани.

Честотното разпределение не е в състояние да разкрие цялото информационно съдържание на данните, но може да даде насока на анализа по-нататък.

Ключови термини Честотно разпределение Честотен полигон
Рангово разпределение Асиметрично разпределение Размах Симетрично разпределение Класови (групови) интервали Нормална крива
Точни граници Персентили
Граници на наблюденията Квантили
Средна точка на интервала Кумулативна честота
Хистограма Огива
Персентилен ранг

Да предположим, че сме измерили за 180 артефакта дължината в мм. Данните са дадени в Таблица 1 в реда, по които са получавани. Гледайки на Таблица 1 едва ли е възможно да се направят някакви изводи. Нещо повече, представлява затруднение даже да се определят най-голямата и най-малката измерени стойности.

Таблица 1. Резултати от измерването на дължината на артефактите (мм)

Като първа стъпка в организацията на данните те трябва да бъдат пренередeни или ранжирани от най-голямата към най-малката стойности. Такова едно подреждане, показано на Таблица 2, е известно под името разпределение на ранговете или просто рангово разпределение. Тази стъпка ни осигурява следните възможности: 1) групиране на подобните стойности, разполагайки ги близко една от друга така, че тяхната честота може да бъде лесно определена; 2) става лесно определянето на най-големите и най-малките стойности и 3) всяко измерване получава ранг съобразно мястото, което то заема в този ред започвайки от 1 и свършвайки с номера на последното измерване. Две или няколко еднакви измервания получават ранг, равен на средния ранг на тези наблюдения.
От тази информация вече може да се определи размаха на разпределението:

(1)
R  xmax − xmin ,

където с R е означен размахът, а с xmax и xmin съответно най-голямата и най-малката измерени стойности.
От данните в Таблица 2 имаме очевидното: R = 99-20= 79.
Макар че размахът се изчислява сравнително лесно, той се използва рядко на практика за описание на разсейването на данните върху скалата на измерване поради съществените си недостатъци: а) не използва непосредствено наредеността на всички наблюденията, а само две – най-малкото и най-голямото; б) зависи от броя на наблюденията и може да нараства с нарастването на броя на измерванията. Очевидно, не може никога да намалява. в) наличието на абнормални наблюдения (екстремални стойности, които се различават съществено от близките по ранг измервания) влияе чувствително върху размера на размаха (например, 99 и 80 от Таблица 2 са две стойности, подозрително отличаващи се от съседната, която е 65).

Таблица 2. Наредени в нарастващ ред резултати от измерването на дължината на артефактите (мм) (рангово разпределение)

Следващата стъпка е да се получи честотното разпределение така, както е показано в Таблица 3. В тази таблица са показани честотите на всяка от измерените стойности: има една стойност от 99 мм, една от 80 мм, две стойности от 64 мм т.н. до 4 измерени стойности от 20 мм. В този случай данните са класифицирани в толкова класа, колкото са различните стойности. Макар че описаните две стъпки дават една начална представа за характера на данните, много често се налага използавнето на уедрена класификация, особено в случаите, когато имаме много и различни измервания. Това прави данните по- обозрими и по-лесни за последващи манипулации.
Броят на класовете може да бъде намален като се обединят няколко от измерените стойности в интервал, който включва, например, всички точки от 99 до 65 включително. Тези интервали се наричат класови интервали или просто класове. Едно честотно разпределение, което използва класови интервали с ширина 5 единици е показано в Таблица 4. Единствената разлика между честотното разпределение показано в Таблица 3 и това в Таблица 4 е ширината на класовия интервал. В първата таблица тази ширина е единица, а във втората – 5 единици, с изключение на последния интервал, който е от 65 до последната измерена стойност 99. Ще отбележим, че независимо от това, че втората класификация прави данните по-обозрими и по-лесни за интерпретация, налице е загуба на специфична информация, чието количество понякога може да бъде значително. Например, по Таблица 4 вече не е възможно да се определи точния брой на артефактите с дължина от 32, 33 или 34 мм. Единственото, което можем да видим е, че има 38 оръдия с дължина между 30 и 34 мм.

Точни граници на класовия (груповия) интервал
Да предположим, че за променливата, която се изучава може да се мисли като за непрекъсната, а не като за дискретна. Например, резултатите от измерването на дължините на артефактите могат да се разглеждат като наблюдения (реализации) на една непрекъсната случайна величина, която можем да наречем “дължина на артефакта”. Независимо, че работим с цели числа, да кажем 52 мм, изводът е, че наблюдаваната стойност в действителност представлява число, което попада в дадени граници. В този случай резултатът от 52 мм представлява в действителност число, което може да е както
52.2 така и 51.8, т.е. истинската стойност лежи в интервала, заключен между 51.5 и 52.5.
Следователно, стойностите 51.5 и 52.5 представляват точните граници на отбелязаната

стойност 52. В тази ситуация, стойностите, който са под или над тези ще бъдат отнесени към някои от другите интервали. Например, 52.7 ще се запише като 53.

Таблица 3. Честотно разпределение на резултатите от измерените дължини на артефактите

Таблица 4. Честотно разпределение на резултатите от измерването на дължината на артефактите чрез групиране в интервали

65 и повече 3
Общо 180

Разширявайки логиката на концепцията за точните граници върху честотните разпределения, става ясна необходимостта да се прави разлика между границите на наблюденията на груповия интервал и точните граници. В Таблица 4, например, 50-54 представлява границата на наблюденията на четвъртия интервал, доката точните граници са 49.5 – 54.5. В този случай точните граници са 0.5 единици под и над границите на наблюденията на груповия интервал. Ще отбележим, че когато измерването се извършва с по-голяма точност, например, с точност до най-близката десета, то идеята за точните граници остава валидна. Да предположим, че границите на измерването за даден групов интервал са 17.3 и 18.7. Точните граници за този интервал ще са 17.25 – 18.75. Таблица 5 илюстрира честотното разпределение на резултатите от измерването на дължината на артефактите в съответствие с точните граници и границите на измерване.

Таблица 5. Честотно разпределение на резултатите от измерване на дължините

Има две основни правила при построяването на честотното разпределение, когато се използват групови интервали, различни от оригиналните измервания.
Първото правило е, че интервалът трябва да е с такъв размер, че да са необходими не повече от 10-20 интервала, за да се обхванат всички измервания. В нашия пример сме използвали 9 интервала с ширина 5 единици всеки, последният интервал е с ширина 35 единици. Ако бяхме използвали групов интервал с ширина 3, то тогава щяха да са необходими 15 интервала за покриване

на разстоянието от 20 до 64 и 1 интервал за останалите стойности в опашката измерванията. Това първо правило ни дава възможност да работим с неголям брой интервали без да загубим информация за формата на разпределението на измерванията1.
Точните граници на класовите интервали се
базират на допускането, че променливата, която се изучава е непрекъсната, т.е. че моделът на нейното поведение е непрекъснат независимо, че измерванията могат да са цели числа.

Второто правило е: по-добре е ширината на интервала да е нечетно число, отколкото четно. Съгласно това правило, средната точка на интервала ще е цяло число, а не дробно. Средната точка на интервала се определя като точката, която разполовява интервала. В Таблица 5 за първия интервал средната точка е 22. Това правило служи единствено за облекчаване на изчисленията. Средните точки на интервалите в примера са показани в Таблица 5. Тези точки са едни и същи независимо дали ще използваме точните граници или границите на измерванията.

1 Формулата на Стърджест формализира определянето на ширината на интервала и на броя на интервалите

(класовете). Тази формула има вида:
w  ( xmax − xmin ) /(1  3.322 lg n) , където xmax е най-голямата измерена

стойност, xmin – най-малката измерена стойност, n е броят на наблюдаваните случаи, а lg е логаритъм при основа 10.

Допускания относно груповите интервали, с ширина > 1
Когато ширината на груповия интервал е по-голяма от 1, групирането на наблюдаваните стойности в класове води до загубата на известно количество информация относно първоначално измерените стойности. Това се изразява не само в загубата на точните индивидуални измервания, а също и в замъгляване на разликите между стойностите, които попадат в един и същи интервал. За да се представи честотното разпределение графично и за да могат да се изчислят някои основни характеристики необходимо е направим две предположения.
Първото предположение е, че във всеки групов интервал измерванията са
равномерно разпределени между точните граници на интервала. Например, в Таблица 5 в интервала 30-34, който има точни граници 29.5-34.5, попадат 38 измервания. Съгласно предположението по-горе тези 38 измервания ще бъдат разпределени в интервала по следния начин:

Второто предположение е свързано с факта, че ако трябва едно число да представя интервала, то това число е средната точка на този интервал. Вече определихме средната точка на интервала като

точката, която го разполовява. По същество