Проверка на хипотези: Две извадки

10 ПРОВЕРКА НА ХИПОТЕЗИ: ДВЕ ИЗВАДКИ

В глава 9 концепцията за проверка на хипотези и интервално оценяване беше разширена и включи не само проверката на хипотези и оценяването на отделен популационен параметър, но също и корелационния коефициент , относителния дял  и дисперсията . Във всеки един от изброените случаи използвахме информацията само от една извадка. В тази глава ще разширим проверката на хипотези и оценяването
на параметри и за случая, когато информацията идва от две извадки. В тази ситуация очевидно, че хипотезите, които ще проверяваме се отнасят до две популации, а именно:
1) разликата между две популационни средни (1-2); 2) разликата между два популационни относителни дяла (1-2); 3) разликата между два популационни корелационни коефициента (1-2); 4) разликата между две популационни дисперсии
2(12 −  2 ). Следните нулеви хипотези ще бъдат проверявани както в случая на две

независими извадки, така и в случая на две свързани извадки:
H 0 :  1   2 ,
H 0 :  1   2 ,

012H 0 :  1   2 ,
H :  2
  2 .

Логиката на проверката на хипотези и оценяването на параметри в случая на две извадки е точно същата, както и при една извадка. Тя се основава на случайните извадки и вероятностния подход, който включва: 1) случайната грешка, вътрешно присъща на проверката на хипотези и оценяването на параметри; 2) нивото на статистическа значимост и 3) естеството на насоченост на алтернативната хипотеза. Логическата верига на статистическия извод се използва и в този случай. Разликата е, че при две извадки се разглежда разликата на две статистики, а не стойността на една отделна статистика. Тестовата статистика е разлика между две извадкови статистики и съответно извадковото разпределение е разпределението на разликата.
Както и в глава 9, тук ще разкриваме логиката на процеса чрез серия от въпроси и ще подбираме подходящи процедури за проверката на хипотези и, съответно, за определяне на доверителните интервали (на разликата). Важно е читателят наред с разбирането на логиката на процеса да е в състояние да открие и използва подходящата формула, която ще го доведе до правилен краен резултат.

Ключови термини Независими извадки Свързани извадки Хомогенност на дисперсията
Стандартна грешка на разликата
Съвместно (обобщено) оценяване на дисперсията
F-разпределение на Фишер
F-отношение

Допускания за случая на две извадки
Основните принципи на формулирането и проверката на хипотези за разликата на две популационни средни бяха вече въведени в глава 8. Проверката на такива хипотези и получаването на съответните доверителни интервали ще ни послужи като стратегия и при проверката на хипотези относно разликата и на други популационни параметри, както и за получаването на доверителните интервали. Всъщност тази стратегия съвпада точно със стратегията при една извадка. Преди, обаче, да разгледаме

проверката на хипотезата
H 0 :  1   2
ще е необходимо да обсъдим две условия, които

определят конкретния подход: 1) дали извадките са извлечени от независими или свързани популации и 2) дали дисперсиите на двете популации са равни.

Независимост на извадките
Както беше установено, логиката на статистическия извод предполага извличането на случайна извадка от дадена популация, измерването на извадката, изчисляването на тестова статистика и след това, на базата на теорията на вероятностите, достигането до извод относно популацията. При използването на една извадка предположението за случайност даваше основания за заключения относно популацията.
В случая на две извадки концепцията за случайност изисква разширяване и въвеждане на понятието независими извадки. Традиционният подход за осигуряване на тази независимост предполага първо да се направи случайна извадка от популацията и след това случайно половината елементи да се подложат на определено въздействие (тази група се нарича експериментална), а другата половина да не се подлага на въздействие (тази група се нарича контролна). Предполага се, че случайното назначаване на елементите в коя от двете групи да попаднат, осигурява статистическа еднородност (еквивалентност) на групите в началото на експеримента. С други думи, ако в началото на експеримента съществува разлика между елементите, то тя да е равномерно разпределена между групите. Еквивалентността на групите преди експеримента е необходимо условие, за да може да се направи заключението, че ако след експеримента се наблюдава статистически значима разлика, тя не се дължи на първоначалната разлика между групите. Ако условията за случайно извличане на извадката и за случайно назначаване на елементите по групи се спазят, то може да се направи статистически извод обратно за популацията.
Друга често срещана задача е проверката на разликата между две фиксирани популации. В тези условия случайните извадки се извличат директно от целевите популации, след което се извършват нужните измервания. Оценява се статистически разликата между двете извадки и резултата се генерализира за популациите. Този извод отново се основава на теорията на вероятностите, защото и двете извадки са случайно извлечени от съответните популации.

Хомогенност на дисперсията
При проверката на нулевата хипотеза

H 0 :   a

установихме, че ако дисперсията 2 е

известна, то централната гранична теорема ни дава основание да приемем, че тестовата статистика е нормално разпределена. В случая, когато 2 е неизвестна и се използва s2 като неизместена оценка, извадковото разпределение е t-разпределение на Стюдънт с подходящо изчислени степени на свобода. В случая на две извадки извадковото разпределение е разпределението на всички възможни разлики между средните на двете извадки. Отново, ако 2 е известна, разпределението е нормално. От друга страна, ако 2 се оценява чрез s2 извадковото разпределение на статистиката отново е подходящо t-разпределение на Стюдънт.

Когато се извлича една извадка от отделна популация и след това по случаен начин се разбива на две групи, то 2 се оценява чрез s2 и се изчислява като се използват извадковите данни от двете групи. По-късно това ще бъде определено като съвместна (обобщена) оценка на дисперсията. При другия тип двуизвадкови изследвания, при които двете извадки се извличат случайно от две различни популации отново оценяваме 2 чрез s2, като използваме цялата налична информация, т.е. данните от двете извадки. За да можем да използваме обобщената оценка трябва да направим известни предположения относно равенството на дисперсията на първата популация и

12тази на втората популация (  2
  2 ). Това предположение е прието да се нарича

еднородност (хомогенност) на дисперсията. Ако това допущане не може да бъде прието, то съществуват алтернативни процедури за оценяване на 2, които ще разгледаме по-нататък.

Проверка на хипотезата H0: 1 = 2
Да предположим, че разполагаме с извадки от артефакти от две различни
датировки. Интересувани дали средната дължина на артефактите от двете различни фази се различава. Получени са следните резултати1 в мм:

(Фаза ІХ 5875 – 5800 ВС) (Фаза Х 6000 - 5785 ВС)

1 При две и повече извадки е подходящо да се използва двойно индексиране. С първия индекс ще означаваме номера на елемента в групата, а с втория – номера на групата. В този случай изразът
∑ x i1 ще означава сумиране по всички случаи от първата група.
i

n1 = 88 n2 = 92
∑ x i1 = 3248 ∑ x i 2 = 3442

x1 = 36.91
∑ 2
x 2 = 37.41
22

x i1 = 134082 ∑ x i 2 = 138808

1s 2 = 163.23
s 2 = 110.25

s1 = 12.78
s2 = 10.50

1. Каква хипотеза се проверява?

H 0 : 1   2
или
H 0 :
1 −  2  0

Ha : 1  2
или
Ha : 1 − 2  0

В това изследване целта е да се покаже, че средната дължина на артефактите от фаза Х е по-голяма от тази на артефактите от фаза ІХ. Поради това нулевата хипотеза се проверява срещу насочена алтернативна хипотеза. Ще приемем, че нивото на значимост за проверка на нулевата хипотеза е 0.10.

2. Какви са стойностите на хипотезирания параметър и на съответната извадкова статистика?
1 −  2  0
x1 − x2  36.91 − 37.41  −0.50
Хипотезираният параметър за това изследване е разликата между двете

популационни средни, т.е. 1
−  2
 0 . Съответната статистика е
x1 −
x 2 , или –0.50.

Ще обърнем внимание на реда, по който се извършва изваждането в случая. Той е един и същ и при формулирането на нулевата хипотеза (от 1 се вади 2) и при статистиката

(от
x1 се вади
x 2 ). Този ред е важен, когато става въпрос за проверката на нулевата

хипотеза срещу насочена алтернатива.

3. Какво е извадковото разпределение и стандартната грешка на статистиката?
Стандартната грешка на статистиката в случая на една извадка беше дефинирана като

стандартното отклонение на извадковото разпределение на средната, или
 x .

Извадковото разпределение на средната беше определено (виж глава 7) като разпределението на всички извадкови средни, получени по възможните извадки с фиксиран обем. Беше отбелязано, че не е практически възможно да се определят най- напред всички възможни извадки, а след това и разпределението на статистиката. Поради това вниманието се съсредоточи върху характеристиките на теоретичните извадкови разпределения, които се опират на информацията, съдържаща се в отделната извадка и връзката на тези разпределения с математическата теория.
Теоретичното извадково разпределение и в случая на една извадка и в двуизвадковия случай се определя на базата на централната гранична теорема. Когато имаме две извадки, централната гранична теорема утвърждава:
С нарастването на обема на извадките от две популации (n1 и n2, съответно)

извадковото разпределение на разликата между средните на двете извадки( x1
− x 2 ),

извлечени от популации със средни 1 и 2, съответно, и с крайни дисперсии, равни на
2 , придобива следните свойства:

1. Разпределението на разликата на извадковите средни се стреми към нормалното разпределение.
2. Средната (математическото очакване) на разпределението на разликите

от извадковите средни е равно на 1
−  2 .

3. Стандартното отклонение на разпределението на разликите на извадковите средни (наричано стандартна грешка на разликите на средните) е равно:

2 x1 − x2 
  2

n1 n2

Съответно, дисперсията на извадковото разпределение на разликата е квадрат на неговата стандартна грешка и се дава от израза:

 2
x1 − x 2
  2
 
 n1
 2 
  .
n2 

Прави впечатление, че определянето на дисперсията и стандартното отклонение в този случай предполага, че двете популационни дисперсии са равни, т.е.

2 2 2
1 2
. Това именно е предположението за хомогенност (еднородност) на

12дисперсиите. Ако между популационните дисперсии  2
и  2
съществува значителна

разлика, използването на централната гранична теорема за определяне на теоретичното извадково разпределение изисква известни уточнения. Този проблем ще бъде дискутиран по-късно.

В предходната глава, когато  2
беше неизвес