Проверка на хипотези: Една извадка

9 ПРОВЕРКА НА ХИПОТЕЗИ : ЕДНА ИЗВАДКА

В двете предидущи глави бяха разгледани основните концепции на проверката на хипотези и интервалното оценяване. Обсъждането беше насочено преди всичко към логиката и стратегията при проверката на хипотези относно популационните параметри. Проверката на хипотези предполага да се вземе решение относно достоверността на хипотезираната стойност на параметъра. При интервалното оценяване върху скалата на измерване се строи интервал, който с предварително зададено ниво на доверие съдържа истинската, но неизвестна стойност на съответния параметър. Независимо дали се проверяват хипотези или се строят доверителни интервали, решението относно нужния параметър се базира на подходяща извадкова статистика. Следователно, изводът е насочен от статистиката към параметъра.

Ключови термини z-разпределение на
Фишер
Стандартна грешка на относителния дял

Стандартна грешка на zr Хи-квадрат разпределение
Относителен дял Статистическа точност

В тази глава концепциите за проверка на хипотези и построяване на доверителни интервали ще бъдат разширени и освен случая на популационна средна () ще се разгледат и методите за проверка на хипотези относно популационния корелационен коефициент (), популационния относителен дял () и популационната дисперсия (2). За всеки популационен параметър ще бъде зададена серия въпроси, чрез които ще бъде разкрита логиката и състоятелността на процедурите за проверка на хипотези и построяване на доверителни интервали. Важно е читателят да е в състояние да разпознава и използва правилно подходящите формули и да вникне в същността на процеса, който беше наречен логическа последователност на статистическия извод. Въпросите, които формират логическата структура на процеса на проверка на хипотези са:
1. Каква хипотеза ще се проверява?
2. Каква е хипотезираната стойност на параметъра и каква е оценената по извадката стойност?
3. Какво извадково разпределение има статистиката и каква е стандартната грешка на тази статистика?
4. Каква е критичната стойност на тестовата статистика при зададено ниво на значимост?
5. Каква е критичната стойност за доверителния интервал при зададено ниво на доверие?
6. Какво е решението, до което достигаме?
Използвайки тези въпроси за отправна точка ще опишем проверката на следните

конкретни хипотези:
  a ,
  a ,
  a
и  2  a , където а е хипотезираната чрез

нулевата хипотеза стойност на параметъра. Тази стойност се задава често на базата на допълнителна информация и отразява предварителните знания за изучаваното явление. Очевидно, тази стойност може да бъде и нула.

Проверка на хипотезата H0:  = a
В предишната глава използвахме хипотезата относно отделна популационна
средна, за да въведем основните моменти в процеса на проверката на хипотези. В тази глава ще модифицираме този процес в рамките на горните въпроси. Да предположим, че изследовател-археолог се интересува дали има основание да се твърди, че ширината на намерените артефакти средно е около 25 мм. Това число е изведено на базата на предишен опит и литературни данни. Целевата популация са артефактите от определен ареал, датирани към фаза ІХ (5875 – 5800 ВС). Нека приемливото ниво на значимост е фиксирано предварително и е 0.05. Броят на намерените артефакти е 88. След измерването се установява, че средната ширина на тези артефакти е 27.5 мм. Оценката на стандартното отклонение за извадката е 12.7 мм. След това изследователят започва процес на интерпретация на резултатите от експеримента и извличане на изводи относно целевата популация. Възникват следните въпроси:

1. Каква хипотеза се проверява?
Изследователят иска да знае само дали средната ширина на артефактите е различна от 25 мм. Следователно, алтернативната хипотеза трябва да е ненасочена:
H0 :   25
Ha :  ≠ 25.

2. Каква е хипотезираната стойност на параметъра и каква е оценената по извадката стойност?
Постулираната стойност на парметъра е 25 мм. Извадковата средна е изчислена

на 27.5, т.е.   25,
x  27.5 .

3. Какво извадково разпределение има статистиката и каква е стандартната грешка на тази статистика?
Нека си припомним, че централната гранична теорема говори, че когато стандартното отклонение  е известно, извадковата средната има нормално разпределение със средна, равна на хипотезираната стойност на параметъра. В случай, че стандартното отклонение не е известно извадковата средна има t-разпределение на Стюдънт с n-1 степени на свобода. В нашия случай  не е известно и степените на свобода ще са 88-1, или 87. Стандартното отклонение на извадковото разпределение, наричано още стандартна грешка на средната, се оценява по формулата:

(1)
s x  s / n ,

∑ ( x − x ) 2

където: s = стандартно отклонение на извадката =
.
n − 1

За примера ще имаме:
sx  12.7 / 88  1.3536 ≈ 1.35 .

Разполагайки със стойността на хипотезирания параметър , изчислената стойност на съответната извадкова статистика x и стандартната грешка на тази

статистика
s x , хипотезата
H 0 :   25
може да бъде проверена, като използваме

общата формула на тестовата статистика:

(2)

Тестова статистика 
Извадкова статистика − Параметър
Стандартна грешка на извадковата статистика

В този конкретен случай тестовата статистика е t-статистиката и общата формула просто преобразува извадковото разпределение на средната към t- разпределение на Стюдънт. Можем да сравним наблюдаваната стойност на тестовата статистика с критичната стойност (виж следващия въпрос), за да вземем решение за отхвърлянето или неотхвърлянето на нулевата хипотеза. Тестовата статистика за примера е:

(3)
t  x −   27.5 − 25.0  1.85

sx 1.35
4. Каква е критичната стойност на тестовата статистика при зададено ниво на значимост?
Критичната стойност зависи от: 1) нивото на значимост; 2) насочеността на
алтернативната хипотеза и 3) степените на свобода. В този пример решихме, че нивото на значимост, т.е. вероятността за грешка от І-ви тип е приемливо да е 0.05 и алтернативаната хипотеза да е двустранна1. Областта на отхвърляне (критичната област) е симетрично разделена на две равни части и е разположена в двата края на извадковото разпределение. Критичните стойности на тестовата статистика tкс, съответстващи на областта на отхвърляне са онези стойности, за които нулевата хипотеза трябва да бъде отхвърлена. В примера имаме 87 степени на свобода, или от

Таблица В2 определяме, че съответните критичне стойности са
1.9876 . Тъй като

наблюдаваната стойност на тестовата статистика 1.85 и по абсолютна стойност не надхвърля критичната 1.9876, то нулевата хипотеза не може да бъде отхвърлена.

5. Каква е критичната стойност за доверителния интервал при зададено ниво на доверие?

От проверката на хипотезата
H 0 :   25 заключихме, че нямаме основания да

твърдим, че средната ширина на артефактите не е 25 мм. Този извод дава малко информация относно истинската, но неизвестна популационна ширина. Ясно е, че определянето на доверителния интервал може да помогне в този случай и да даде повече знания за нужния параметър. Установихме в предишната глава, че общата формула за изчисляване на доверителния интервал е:

(4)
ДИ  Статистика  ( Критична стойност )
(Стандартна грешка на статистиката ) .
Тъй като нивото на значимост (a−нивото) е 0.05, то съответния доверителен

интервал ще е 1- или 0.95 (95%-тен). Следователно, коефициентът на доверие е
1.9876 и 95%ДИ се изчислява както следва:

(5) 95%ДИ  x 1.9876(sx )  27.5 (1.9876)(1.35)  27.5 2.68
 (24.82 ; 30.18) .
6. Какво е решението, до което достигаме?
Първо, изследователят проверява хипотезата, че  = 25 и след това изчислява
95%-ния доверителен интервал за средната. На първия етап той намира, че
наблюдаваната стойност на тестовата статистика (1.85) не надхвърля по абсолютна стойност критичната (1.9876) и не е в състояние да отхвърли нулевата хипотеза при ниво на значимост 0.05. Изводът е: вероятността изчислената извадкова средна ( x  27.5 ) да се наблюдвана случайно, ако в действителност нулевата хипотеза ( =

1 Когато се проверява нулева хипотеза срещу двустранна (ненасочена) алтернативна хипотеза е прието процедурата да се нарича двустранен тест.

25) е вярна, е по-голяма от 0.05. Чрез неотхвърлянето на нулевата хипотеза изследователят показва, че разликата между наблюдаваната извадкова средна и хипотезираната популационна средна е твърде малка и може да се отнесе за сметка на случайните извадкови флуктуации.
Втората стъпка предвижда да се изчисли 95%-ния доверителен интервал около извадковата средна. Този интервал се оказа, че е от 24.82 до 30.18, или с дължина 5.36 единици. Изводът относно доверителния интервал е, че изследователят има 95% увереност, че този интервал съдържа истинската, но неизвестна популационна средна.
При проверката на хипотези и определянето на доверителния интервал съществува вероятност да допуснем грешка. Нулевата хипотеза не се отхвърля и, следователно, е възможно да сме направили грешка от ІІ-ри тип, т.е. да не сме отхвърлили невярна хипотеза. Възможно е също интервалът (24.82; 30.18) да не съдържа истинската стойност на параметъра и да сме допуснали подобна на горната грешка.

Проверка на хипотезата H0 : =a
В глава 5 беше въведено понятието за корелационен коефициент като индекс за
силата на линейната взаимовръзка между две променливи в чисто дескриптивен план. Пак там бяха описани някои емпирични правила за интерпретацията на коефициента на смесените произведения на Пирсън (Таблица 5.5). Например, корелационен коефициент +0.86 се интерпретира като показващ висока положителна корелация, докато коефициент от 0.23 говори в най-добрия случай за ниска връзка. За много променливи, особено в археологията, коефициент от 0.23 се разглежда като отразяващ липсата на съществена взаимовръзка. Във всеки случай, правилата дадени в глава 5 са само насочващи и не почиват на теоретична основа.
В този раздел ще разгледаме малко по-различен въпрос: “Каква е корелацията между две променливи в популацията?” Следователно, ще разглеждаме въпроса за проверката на хипотези относно стойността на популационния корелационен коефициент, който обикновено се бележи с малката гръцка буква ро (). Обсъждането ще бъде подобно на това, което беше при проверката на хипотези относно средната стойност и определянето на съответните доверителни интервали. Ще бъде използвана общата процедура за проверка на хипотези и построяване на доверителни интервали.
До този момент разглеждахме само извадковото разпределение на извадковата средна. По-нататък ще въведем подходящите разпределения и за други статистики, включително и за извадковия корелационен коефициент. За тези други статистики концепцията за извадковото разпределение се използва по подобен начин както досега. За някои статистики, както например за корелационния коефициент, определянето на извадковото разпределение не е така лесно, както за средната. За разлика от средната, която поне теоретично може да приеме всяка реална стойнос