Проверка на статистически хипотези

Глава 13
Проверка на статистически
хипотези
13.1 Понятие за статистическа хипотеза
В много научни изследвания задачата може да се формулира във вида
на хипотеза, която предстои да бъде потвърдена или отхвърлена. В ста-
тистическата практика се налага да се проверяват твърдения относно
стойностите на генералните параметри или закона за разпределение на
една или няколко статистически променливи. Такива твърдения се на-
ричатстатистически хипотези. Например, статистически са следните
хипотези:
1. Нормално разпределена статистическа променлива има дадени сред-
но и дисперсия;
2. Нормално разпределение има дадено средно (за дисперсията не се
твърди нищо);
3. Разпределението на статистическа променлива е нормално
(с някакви средно и дисперсия);
4. Две статистически променливи имат еднакво разпределение
(за вида на закона за разпределение не се твърди нищо).
В случая на една статистическа променлива се проверяват два основ-
ни типа статистически хипотези:
•проверка на хипотезата за равенство на стойността на даден гене-
рален параметър на определено хипотетично число;
•проверка на хипотезата за разпределение на изследваната стати-
стическа променлива по даден вероятностен закон.
141

142 Проверка на статистически хипотези
13.2 Видове статистически хипотези
13.2.1 Параметрични и непараметрични хипотези
Ще отбележим,че в примерите 1 и 2 на предната точка разпределението
има известен вид (то е нормално) и хипотезите са само за стойността
на единия или двата параметъра на това разпределение. Такива хипо-
тези се наричатпараметрични. Хипотезите от примерите 3 и 4 имат
друга природа. Те са относно вида на закона за разпределение на една
или няколко статистически променливи и не са свързани със стойности-
те на конкретни параметри на тези разпределения. Такива хипотези се
наричатнепараметрични.
13.2.2 Прости и сложни хипотези
Между хипотезите от примерите 1 и 2 също има разлика. Хипотезата
от пример 1 е относно стойностите на всичките параметри на разпре-
делението (в случая два параметъра), докато хипотезата от пример 2 е
относно само един от тези два параметъра. За теорията това различие
е съществено. В общия случай то се формулира по следния начин. Ако
разпределението има общоrпараметъра и хипотезата твърди, чеkот
тях имат определени стойности, тя се нарича проста, акоk=r, и сложна,
акоk < r. При това числотоr−kсе наричаброй на степени на сво-
бодана хипотезата, а числотоk–брой на ограниченията, налагани
от хипотезата.
13.2.3 Основна и алтернативна хипотеза
Проверяваната хипотеза се наричаосновна (работна, нулева)и се бе-
лежи сH0. Наред с хипотезатаH0се разглежда и хипотезаH1, която `и
противоречи и се наричаалтернативна (конкурираща) . Например,
ако се разглежда хипотеза за равенство на параметърна някакво хи-
потетично число0, т.е.H0:=0, то като алтернативни може да
разгледаме една от следващите хипотези:
H
(1)
1: > 0; H
(2)
1: < 0; H
(3)
1:̸=0;
H
(4)
1:=1(1е дадена стойност и1̸=0):

Грешки от първи и втори род 143
Изборът на алтернативната хипотеза се определя от конкретната фор-
мулировка на задачата за проверка на основната хипотеза и решението
за приемане или отхвърляне на основната хипотеза съществено зависи
от това, против каква алтернативна хипотеза тя се проверява.
13.3 Статистическа проверка на хипотези.
Грешки от първи и втори род
Основната хипотеза може да бъде вярна или грешна и затова възниква
необходимостта от нейната проверка. Статистическа проверка на хипо-
теза се нарича процедурата по изясняване дали да се приеме основната
хипотеза или да се отхвърли, при което решението за приемане или от-
хвърляне се базира на данните от случайна статистическа извадка:
x1; x2; : : : ; xn: (13.1)
В хода на статистическата проверка на произволна статистическа хи-
потеза с критерий за проверка, се открояват следните основни етапи:
1.Определяне на основната(H0)и алтернативната(H1)хипотези на
проверката.
2.Определяне на нивото на значимостна проверката.
3.Избиране на критерий за проверка на основна хипотеза.
4.Определяне на критичната областWна критерия за проверка.
или
Пресмятане наP−стойността на критерия за проверка.
5.Вземане на решение относно статистическата основателност на ос-
новната хипотеза.
Първо ще се спрем по-подробно на основните етапи на проверката в
случая, когато се използва критична област, а след това ще отбележим
с какво се отличават етапите 4 и 5 в случая, когато се използваP−
стойност.
Причината за обособяването на основната хипотеза се състои в това,
чеH0обикновено се разглежда като твърдение, което е по-важно, ако

144 Проверка на статистически хипотези
бъде отхвърлено. Това се основава на общия принцип, че теорията тряб-
ва да бъде отхвърлена, ако има поне един противоречащ `и пример, но не
е задължително да бъде приета, ако такъв пример не е намерен. Понеже
решението за приемане или отхвърляне наH0се основава на данните на
случайната извадка (13.1), то това решение може да се окаже грешно.
Възможно е да се допуснат два рода грешки:
Ако хипотезатаH0е вярна, а е прието решение за нейното отхвър-
ляне, то казваме, че се допускагрешка от първи род.
Ако хипотезатаH1е вярна, а е прието решение за приемане наH0,
то казваме, че се допускагрешка от втори род.
Вероятността за грешка от първи род се означава с, а вероятността
за грешка от втори род се означава с. Тези вероятности може да се
представят във вида
=P(да се отхвърлиH0|H0e вярна); (13.2)
=P(да се приемеH0|H1е вярна): (13.3)
Ще подчертаем, че последствията от тези грешки може да се отличават
съществено. Може да се посочат примери, когато грешката от първи род
влече по-тежки последствия, отколкото грешката от втори род.
При проверка на хипотеза може да се приеме правилно решение в
следните два случая:
1) Ако хипотезатаH0е вярна и е прието решение за приемане наH0.
2) Ако хипотезатаH1е вярна и е прието решение за отхвърляне наH0.
Казаното дотук относно различните възможни изходи от статисти-
ческата проверка на статистическите хипотези, може да се представи
нагледно с помощта на следната таблица:
Два типа грешки, допускани при статистическа проверка на хипотеза
H0е вярна H1е вярна
H0е отхвърленаГрешка от първи род,Вярно решение,
вероятност вероятност= 1−
H0е приета Вярно решение, Грешка от втори род,
вероятностp= 1−вероятност

Наблюдавана стойност на критерия 145
Величинатаp= 1−се наричадоверителна вероятностна про-
верката и показва каква е вероятността да приемем основната хипотеза,
в случай че тя е вярна. Величината= 1−се наричамощност на
проверкатаи показва каква е вероятността да отхвърлим основната
хипотезаH0при условие, че е вярна алтернативната хипотезаH1. Не е
трудно да се провери, че
=P(да се отхвърлиH0|H1е вярна): (13.4)
13.4 Статистически критерий за проверка.
Наблюдавана стойност на критерия
ПравилотоK, по което се взема решение за приемане или отхвърляне
на основната хипотезаH0, се наричастатистически критерийза про-
верка (или простокритерий). За да се формулира конкретен критерий
за проверка, се използва специално подбрана функция на данните от
наблюдението (извадката (13.1)), напримерZ=Z(X1; X2; : : : ; Xn):Тази
функция се наричастатистикаZна критерияK.
Тъй като данните от извадката са статистически реализации на слу-
чайна величинаXс определен закон за разпределение, то статистиката
Zсъщо е случайна величина с определен закон за разпределение. За ста-
тистика на критерия за проверка на една статистическа хипотеза винаги
се избира такава случайна величинаZ=Z(X1; X2; : : : ; Xn), чието раз-
пределение (функция на разпределение или плътност на разпределение)
е известно (точно или приближено),при предположение, че прове-
ряваната основна хипотезаH0е вярна. Тази величина се означава
сU, ако е разпределена нормално; сF, ако е разпределена по закона на
Фишер–Снедекор; сT, ако е разпределена по закона на Стюдънт; с
2
,
ако е разпределена по закона „хи-квадрат” и т.н. Понеже в този параграф
няма да конкретизираме вида на избраната статистика за проверка, ще
я означаваме общо сZ.
За всеки конкретен статистически метод за проверка на основната
хипотеза, който е реализиран програмно, изборът на статистиката на
критерия вече е направен.
Наблюдавана стойност Z0на критерия се нарича стойността на
статистикатаZ, която е изчислена по извадката (13.1):
Z0=Z(x1; x2; : : : ; xn):

146 Проверка на статистически хипотези
Например, ако се проверява хипотезата за равенство на дисперсиите на
две нормално разпределени генерални съвкупности, то за статистика на
критерия се приема отношениетоF=s
2
1=s
2
2на неизместените статистиче-
ски дисперсии. Тази величина е случайна, понеже се изчислява по стой-
ностите на различните наблюдения (извадки) и нейното разпределение
е по закона на Фишер–Снедекор. За проверка на хипотезата по данни-
те на извадките първо се изчисляват частните стойности на величините
s
2
1иs
2
2, участващи в статистиката, след което се намира наблюдавана
стойност на критерия. Например, ако по две извадки са намерени неиз-
местените статистически дисперсииs
2
1= 24иs
2
2= 16, то наблюдаваната
стойност на критерия еF0=s
2
1=s
2
2= 24=16 = 1:5.
13.5 Критична област. Област на приемане на
хипотезата. Критични точки
След избора на статистикатаZна критерия, множеството от всички
възможни стойности наZсе разбива на сума на две непресичащи се
множестваWиW. МножествотоWсе наричакритична области се
състои от всички стойности наZ, при които основната хипотеза се от-
хвърля. МножествотоWсе наричаобласт на допустими стойности
и се състои от всички стойности наZ, при които основната хипотеза се
приема.
Когато статистическата проверката на основната хипотеза се извър-
шва с използване на критична област, решението за приемане или от-
хвърляне на тази хипотеза се взема съгласно следното правило.
Правило за проверка:Ако наблюдаваната стойност на критерия
Z0попада в критичната областW, хипотезатаH0се отхвърля; акоZ0
попада в допустимата областW, то хипотезатаH0се приема.
Забележка 13.1.Нека основната хипотезаH0е приета; грешно е да
се мисли, че с това тя е доказана. Наистина, известно е, че един при-
мер, потвърждаващ справедливостта на някакво общо твърдение, все
още не го доказва. Затова е по-правилно да се казва, че „данните от
наблюдението се съгласуват с основната хипотеза и не дават основа-
ние за нейното отхвърляне”. На практика, за да приемем основната
хипотеза с по-голяма увереност, същата се проверява по друг начин
или проверката се повтаря с по-голям обем на извадката.

Критична област. Критични точки 147
Отхвърлянето на основната хипотеза става по-категорично, от-
колкот