Регресия- същност. Видове регресионни модели. Линейна и нелинейна регресия

Регресия- същност. Видове регресионни модели. Линейна и
нелинейна регресия (Тема 61)
Регресия – същност:
Въпреки голямото разнообразие от зависимости, много често при емпиричните изследвания
интересът е насочен към зависимостта между два признка, от които единият обикновено е
резултативен, а другият – факторен. Факторният признак се нарича още независима
променлива, входна променлива или предикатор, а резултативният – зависима променлива,
отговор или изходна променлива. В много случаи се пренебрегват всякакви други признаци, които
могат да се намират в зависимост с изследваните, и се говори за единична (или проста) регресия и
корелация. Регресията е блестящо изобретение, което ни позволява на базата на някои известни
факти да предсказваме бъдещи непознати събития. В медицината се използва за пръв път от
английския антрополог Франсис Галтон, който през 1875 година използва регресия при
статистическо изучаване на наследствеността. Регресионният анализ намира най – често
приложение за изследване на причинно – следствени връзки. Той ни позволява да проверяваме
хипотези за наличието на такава връзка и да я оценяваме количествено.
Видове регресионни модели:
Според броя на факторите:
 еднофакторни;
 многофакторни.

Според формата на зависимост:
 линейни;
 нелинейни:
 вътрешно линейни;
 вътрешно нелинейни.
Обикновена линейна регресия:
Линейна регресия се използва, когато между променливите съществува проста линейна
зависимост. Ако зависимостта между променливите не е линейна, се изпозват други техники, като
например анализ на тренда. Ако корелацията между две променливи е перфектна (+1 или -1),
можем да направим идеално предположение за стойностите на едната променлива, при
положение, че знаем стойностите на другата. Естествено, никога нямаме идеална корелация, така
че никога не можем да направим идеално предсказване. Колкото по – голяма е корелацията,
толкова по – точно ще бъде предсказването. Ако между две променливи няма корелация,
познаването на стойностите на едната променлива няма да ни помогне да изчислим стойностите
на другата. В подобен случай ще трябва да се използват други средства (например средната
стойност или друг анализ, основаващ се на средна стойност, в случая нашето най – добро
предположение ще бъде средната стойност.) За да може да се направи предсказване, трябва да
измерим връзката между двете променливи – независимата Х и зависимата У. Ако между тях има
връзка, може да се състави регресионно уравнение, която ще позволи на базата на известни

стойности на Х да се изчислят съответните стойности на У. Тъй като зависимостта не е
функционална, а е корелационна, точката не се намират на една линия. Бихме могли обаче да
намерим линия и нейния аналитичен израз, която съответства или която би била подходящ модел
на емпиричната зависимост, проявяваща се общо в съвкупността. Тази линия трябва да минава
най – близо до всички точки така, че сумата от квадратите на разликите между емпиричните
стойности на у и техните оценки (у‘), намерени за всяка стойност на х, които биха се намирали на
линията, да е минимална. Линията, която задоволява това изискване и следователно изразява
зависимостта, се нарича регресионна линия, а нейното уравнение, което е аналитичен израз
(модел) на зависимостта – регресионно уравнение. При линейна зависимост уравнението има
вида У= а+вХ, където а и в са параметри:
“a” се нарича свободен член или константа на пресичане и представлява стойността на У при Х=0.
Това е точката, в която регресионната линия пресича ординатната ос (Оста У)
„в“ се нарича регресионен коефициент и показва с колко единици се изменя У при изменение на Х
с една единица. Това е мярка за наклона на регресионната линия. Тъй както има отклонения от
среднтата стойност, така има и отклонения от /около регресионната линия. Регресионната линия
представлява предсказаните стойности (У‘), но тъй като предсказването не може да бъде идеално,
действителните стойности (У) ще се отклоняват по някакъв начин от предсказваните. Тъй като
регестрационната линия преминава през центъра на двойките данни, ако съберем тези
отклонения от регресионната линия, те ще дадат сума равна на 0. Регресионният коефициент „в“
измерва влиянието на х върху у и показва с клко се изменя у при изменение на х с определен брой
единици (според приетата мярка). Възможно е също така да се намери регресионно уравнение и
за зависимостта на х от у, което ще съдържа регресионен коефициент за х по отношение на у. Той
ще показва колко единици изменение на х съответства на изменение на у с една идиница.
Коефициентите на регресия на двете формули са обратни по смисъл, но не са взаимно братни
величини, тъй като зависимостта не е функционална. Двете линии на регресия не съвпадат (на х
по у и на у по х). Те биха съвпаднали, ако зависимостта е функционална. Колкото по – слаба е
корелационната зависимост, толкова „ножицата“ между двете регресионни линии е по – творена,
т.е. ъгълът между тях е по – голям. Ако напълно липсва зависимост, двете регресионни линии биха
били препрендикулярни една спрямо друга, успоредни на координатната ос.
Нелинейна (криволинейна) регресия:
В много случаи графичният образ на зависимостта между изследваните променливи не е права
линия, а някаква крива линия. Тогава тя не може да се представи чрез линейно регресионно
уравнение. Ако в такива случаи се изчисляват линейни корелационни коефициенти, те могат да
доведат до неверни заключения. За да се състави адекватно регресионно уравнение, трябва да се
избере съответната функция. Добра ориентация може да бъде диаграмата на емпиричните данни.
Тя може да покаже как приблизително изглежда кривата, описваща зависимостта.