Стандартни стойности и нормална крива

4 СТАНДАРТНИ СТОЙНОСТИ И НОРМАЛНА КРИВА

До този момент концентрирахме вниманието си основно върху това, как да опишем едно отделно множество от данни, или как да покажем неговото честотно разпределение. Ще припомним, че необходимата за това описание информация е: 1) формата на разпределението; 2) разположението (мерките за централната тенденция);
3) дисперсията (мерките за разсейването). Независимо, че описанието на разпределението хвърля значителна светлина върху поведението на данните и служи като основа за по-нататъшни изводи, то не е в състояние да даде цялата информация, необходима за статистически анализ и интерпретация.

Стандартни стойности
Да разгледаме данните с измерените дължини на артефактите. Нека за един от
тях е получено, че има дължина 36 мм. Какво означава този резултат? Независимо, че този резултат може да има известно значение при интерпретацията, той придобива най- голямо практическа тежест, когато се сравни с други подобни резултати. Тогава може да се отговори на някои важни въпроси. Например, дали попада извън множеството от стойности, за които е известно, че са характерни за даден период или място? Или, дали тези 36 мм определят на този артефакт място в опашката на разпределението, т.е. са екстремални, или лежат близо до центъра? За каква група или популация този резултат е представителен?
Да обсъдим друг пример, при който оръдие, намерено при едни разкопки има дължина 36 мм, а подобно оръдие, намерено при други подобни разкопки, има дължина 45 мм. Може ли да се направи извод, че двата артефакта са подобни по отношение на дължината или, че вторият е по-необикновен по отношение на този параметър, отколкото първия? Няма начин да се отговори директно на този въпрос, ако не знаем как да сравним резултатите от двете партиди и какво е разположението на измерените стойности в разпределението на тези резултатите. Можем да използваме вече разгледаните подходи за определяне на относителния ранг на резултатите в съответните разпределения. Освен това, можем да използваме процедура, която да “стандартизира” всяко разпределение така, че съответните резултати от измерванията на дължините на двете партиди да станат сравними.

Ключови термини Стандартна стойност Нормална крива (разпределение)
z-стойност Стандартна нормална крива
Преобразувана стойност Таблица на стойностите (на стандартната нормална крива)

До този момент ние можем да опишем резултатите от тестовете или като сурови данни или като персентилни рангове. Използването на суровите данни има този недостатък, че резултатите са несравними. Средните стойности от различни извадки рядко са директно сравними. Например, стойността 36 мм може да бъде по-малка от средната на друга извадка от артефакти, равна на средната на втора извадка и по-голяма

от средната на трета. Следователно, използването на суровите данни за сравняване на две или повече разпределения просто няма да е възможно, тъй като обикновено разпределенията се разполагат на различни по мащаб скали.
Най-голямата трудност при използването на персентилните рангове за сравняване на разпределения е свързани с ранговата скала. За по-голямата част от променливите, описващи археологични обекти това означава, че разликата между две стойности в изходната мерна скала не съответства на различните позиции в разпределението. Например, в интервала от три персентилни ранга, да кажем от 2-ри до
5-ти, може да се натрупат

значително повече сурови измервания, отколкото в друг интервал от три персентилни ранга от същото разпределение,
Суровите измервания и персентилните рангове в повечето от случаите не са подходящи за сравнения между разпределенията.

например, 48-ми и 51-ви. Това е естествен резултат, следващ от факта, че стойностите на повечето променливи не са равномерно разпределени по скалата на измерване. Напротив, по-голямата част от измерванията се групират в средата на разпределението и само малка част се разпределят по краищата. Тъй като персентилите имат свойствата на рангова скала, не е подходящо да се осредняват персентилни стойности, тъй като интервалите между съседни персентили не съответстват обезателно на равни интервали в суровите данни.

Изчисляване на стандартните стойности
Тук ще разгледаме как може да бъде преодолян проблема със сравняването на суровите данни и персентилните рангове. Един от начините за това е да се построят равни интервални скали чрез използване на стандартното отклонение като мерна единица. В предходните глави описахме средната и стандартното отклонение. Известно е, че средната е точка, а стандартното отклонение е интервал. Стандартните стойности използват тези статистики, за да опишат относителното положение на отделно измерване в цялото разпределение от измервания. Стандартната стойност по този начин показва на колко стандартни отклонения се намира изходното измерване по отношение на средната. Обикновено за означаване на стандартната стойност се използва малката латинска буква z, затова стандартните стойности се наричат още z- стойности. От казаното дотук може да се изведе правилото за изчисляване на z-

изходно
измерване −
средна

стойностите:
стандартна
стойност
= , или

(1)

z = X − µ .
σ
стандартно
отклонение

Тук са използвани популационните параметри µ и σ. Ако се изчисляват стандартните стойности по извадка, то трябва да се използват извадковите статистики за средна и стандартно отклонение:

(2)
z = x − x .
s

Очевидно е и обратното равенство. Всяко изходно измерване може да се получи от стандартизираната стойност по формулата:

(3)
x = σ .z + µ

Пример. Разпределението на дължините на артефактите от Таблица 2.1 има средна
37.2 мм и стандартно отклонение 11.6 мм. z-стойностите, съответстващи на сурови измервания от 25 мм, 36 мм, 42 мм и 64 мм ще са безразмерните величини –1.05,-0.10,
0.41 и 2.31. Действително, съгласно формула (2) имаме:

z25
= 25 − 37.2 = −1.05;
11.6

z36
= 36 − 37.2 = −0.10;
11.6

z42
= 42 − 37.2 = 0.41; z
11.6 64
= 64 − 37.2 = 2.31
11.6

Отрицателните стандартни стойности указват, че изходните измервания са по-
малки от средната, а

положителните показват, че изходните стойности са над средната. Когато изходната стойност е равна на средната, то съответната z-стойност
Стандартната стойност, или z-стойността, показва колко стандартни отклонения е по-малко или по-голямо от средната съответното изходно измерване.

очевидно е нула. В примера по-горе имаме: z-стойността за суровото измерване от 25 мм говори, че то е с 1.05 стандартни отклонения по-малко (лежи вляво) от средната, докато тази на измерването от 36 мм е само с една десета стандартно отклонение по- малко от средната. z-стойностните тези за наблюденията от 42 и 64 единици – че се намират на разстояние от 0.41 и 2.31 стандартни отклонения вдясно от средната, съответно.

Свойства на стандартните стойности
Стандартната стойност може да бъде изчислена за всяко едно измерване в разпределението. Да разгледаме

данните от Таблица 1. Всяко едно от 180-те измервания е преобразувано към z-стойност съгласно формула (1). Как се променя при тази трансформация изходното разпределение? Първото
Свойствата на разпределението на стандартните стойности (z-стойностите) са:
1. Запазва формата на изходното разпределение.
2. Има средна стойност равна на нула.
3. Има дисперсия и стандартно отклонение равни на единица.

свойство на стандартните стойности е, че тяхното разпределение е подобно на разпределението на изходните данни. Второто свойство е, че средната стойност на преобразуваното разпределение е винаги равна на нула, независимо от това, каква е тя в изходното разпределение. Това свойство се вижда от Таблица 1.

Таблица 1. Разпределение на изходните измервания и на z-стойностите на дължината на артефактите (показани са само първите и последните 9 измервания)

Стандартно отклонение (σ) 11.6 1.0

Третото свойство на стандартните стойности е, че дисперсията на разпределението на преобразуваните стойности е равна на 1. Тъй като стандартното отклонение е корен квадратен от дисперсията, то следва, че и стандартното отклонение е равно на единица. Това свойство също се вижда от Таблица 1. Следователно, чрез определянето на z-стойностите за всяко едно изходно измерване изходното разпределение се преобразуваме в разпределение, което има подобна форма, но има средна равна на 0 и стандартно отклонение равно на 1.

Нормална крива
Едно от най-често срещаните приложения на стандартните стойности е във връзка с т. нар. нормална крива. За много физични, физиологични, социални и пр. процеси може да се каже, че са “нормално разпределени”. Какъв смисъл се влага, когато се говори, че разпределението на такива естествени феномени като ръстта на възрастното население или резултатите от теста за интелигентност (IQ) са нормално разпределени? Графичното изображение, което веднага ни идва на ум е един камбанообразен честотен полигон. В действителност, нормалната крива е просто математически израз, които е получен, за да се опише честотното разпределение на някои естествени (“нормални”) процеси.
Известното математическо уравнение на нормалната крива е изведено от френския математик DeMoivre. Това уравнение са основава на наблюденията върху поведението на изходите (събитията) при вероятностни игри. Този процес може да се илюстрира чрез примера за хвърляне на една монета. При хвърлянето на една правилна монета винаги са възможни два изхода: да се падне “ези” или да се падне “тура”. Нека
ни интересува броя на турата, които се падат в една последователност от няколко
независими хвърляния и съответно вероятността да получим този резултат. Тази вероятност може да се оцени по естествен начин като отношение на броя на получените тура към общия брой на направените хвърляния. Очевидно, в едно отделно хвърляне вероятността1 да се падне тура е 50% или (в части от единицата) 0.5.
Да предположим, че една монета се хвърля последователно 5 пъти и за “успех” приемаме падането на тура. Възможните изходи от тази последователност от експерименти са: да не се падне тура нито веднъж, да се падне веднъж, да се падне 2 пъти, …, да се падне 5 пъти. Разпределението на съответните вероятности е показано на Фигура 1.
Ще отбележим, че разпределението на Фигура 1 е симетрично. В Таблица 1 са показани съответните вероятности2. Тези вероятности не са очевидни от графиката.
Сега да предположим, че монетата се хвърля не 5, а 10 пъти. Разпределението на съответните вероятности е показано на Фигура 2. Това разпределение е отново симетрично.

1 Ще отбележим, че вероянтостта може да приема стойности от 0 до 1. Вероятност 0 говори, че събитието не може да настъпи никога и това събитие са нарича невъзможно. Вероятност 1 говори, че събитието настъпва винаги и то се нарича достоверно. Сумата от всички възможни изходи за дадено събитие е 1.
2 Тези вероятности се изчисляват на основата на т.нар. биномно разпределение.

Фигура 1. Разпределение на вероятностите да се получат определен брой тура в последователност от 5 хвърляния на една правилна монета

В .4
е р о
я .3
т
т о
с
т .2

.1

0.0

0 1 2 3 4 5

Б рой по л у ч ен и ту р а

Таблица 2. Разпределение на вероятностите да се получат определен брой тура в последователност от 5 хвърляния на една монета

Фигура 2. Разпределение на вероятностите да се получат определен брой тура в последователност от 10 хвърляния на една монета

Вероятност.3

.2

.1

0.0
0 1

2 3 4 5 6

7 8 9 10

Брой получени тура

DeMoivre обобщава този процес за случая, когато броят на хвърлянията се стреми към безкрайност и описва аналитично разпределението на вероятностите чрез следната формула:
− 1 ( x − µ )2

(4)

p( x) =
σ
1 e 2 σ
2π

, (−∞ < x < ∞)

където: p(x) = височината на кривата (ординатата) за дадена точка х от разпределението ;
π = известното от елементарния курс по математика число “пи”, което изразява отношението на дължената на окръжността към нейния диаметър и е приблизително равно на 3.1416;
e = друго забележително число в математиката, което се определя като границата, към която се стреми редицата (1 + 1 / n) n , когато n → ∞ и е приблизително равно на 2.7183;
µ = средната стойност на