Статистически разпределения. Нормално разпределение – свойства.

Статистически разпределения. Нормално разпределение – свойства.
(Тема 53)

Статистически разпределения:


Понятието разпределение е основно в статистическия анализ. Именно в статистическите
разпределения се проявяват съществени закономерности в структурата, динамиката и
зависимостите на масовите явления. От теорията на вероятностите е известно, че ако в резултат на
различни случайни обстоятелства, една величина приема различни стойности, тя се нарича
случайна величина, а тя може да бъде дискретна и непрекъсната. Появата на всяка числена
стойност на случайната величина (сбъдването на определено събитие) е свързана с някаква
вероятност. Известно е, че отделните възможни стойности на случайната величина са
несъвместими и сумата от техните вероятности е равна на 1. Възможните стойности на случайната
величина и съответните им вероятности образуват разпределение. Разпределението на дискретна
променлива е дискретно, а на непрекъсната величина – непрекъснато. Разпределението на
вероятностите се нарича вероятностно или теоретично разпределение. Теоретично честотно
разпределение честотното разпределение, което може да се конструира, ако данните са събрани
от всички възможни елементи на популацията. Разпределението на честотите от извадка,
изведена от интересуващата ни популация, образуват емпирично разпределение. Ако
разглеждаме емпиричното разпределение като разпределение на честоти в извадка от
хипотетична популация, разпределението на релативните честоти е някакво приближение към
истинското разпределение на вероятностите. Оттук и възможността теоретичните разпределения
да се използват като модели за изследване на емпиричните разпределения. Теоретичните
разпределения са важни, тъй като много статистически методи са базирани на разбирането, че
наблюдаваните данни са извадка от популация с известно разпределение. Те дават възможност за
по-добро разбиране на общите характеристики на даден набор от данни и връзката между дадена
стойност и целия набор данни. Тези разпределения дават възможността да се определи
вероятността дадена случайна променлива да има определена стойност. Открити са и са описани
различни теоретични разпределения, всяко от които е подчинено на определен закон. Някои
теоретични разпределения имат особено значение за конкретните статистически изследвания.
Когато се анализират емпирични разпределения, много често, за да се разкрият и обяснят
реалните закономерности, се използват съответното теоретично разпределение, т.е. теоретичните
разпределения служат за модел на емпиричните. Освен това редица статистически анализи се
основават на законите и свойствата на определени теоретични разпределения. Ето защо от
съществено знчени е да се познават основните видове теоретични разпределения и техните
характеристики, тъй като те са основа за избор на подхода и апарата на емпиричния статистически
анализ.

Нормално разпределенеи – свойства: (примери стр 104 – 107)
Нормалното разпределение е теоретично перфектен честотен полигон, при който среднтата
аритметична, медианата и модата съвпадат и са разположени в центъра. Графично такова
разпределение се представя под формата на симетрична камбановидна линия, т.е. повечето
случаи лежат близо до някаква типична (средна) стойност и при движение към по – екстремните
резултати броя на случаите намалява. То е просто математически израз, който е получен, за да се
опише честотното разпределение на някои естествени процеси.
Нормалното разпределение има следните свойства:
1. Нормалната крива е непрекъсната, т.е. крива е определена за всяка стойност на
аргумента „х“
2. Нормалното разпределение се определя напълно от средната аритметична и
стандартното отклонение. Означението N (µ,δ
2
) изцяло описва разпределението.
Средната аритметична определя центъра на разпределението, а стандартното
отклонение – формата на кривата. При по – малко стандартно отклонение кривата
е по – стръмна, а при по – голямо стандартно отклонение – по – полегата.
Нормалната крива не е отделна крива, а фамилия от криви, всяка от които се
опрделя еднозначно чрез своите средна стойност и стандартно отклонение.
3. Кривата е напълно симетрична по отношение на вертикалната линия, пресичаща
абсцисната ос в точката µ. Тя има един връх (или максимум в µ) и формата на разрез
на камбана (от тук и термина „камбановидна“).
4. Нормалната крива е асимптотична относно оста „х“. Това означава, че кривата се
приближава до абсцисата, но никога няма да докосне или пресече тази ос, колкото и
отдалечена да е дадена стойност от средната
5. Камбановидната крива има ексцес равен на нула
6. Нормалната крива е винаги над хоризонталнта ос.
7. При фиксирана стойност на δ промяната на µ1 до µ2 измества кривата по
дължината на остта „х“ вляво, ако µ1> µ2. Ако µ1< µ2 то изместването е вдясно.
8. При фиксирана стойност на µ промяната в δ от δ1 до δ2 променя стръмността на
кривата: ако δ1> δ2, то кривата става по – стръмна и обратно, ако δ1< δ2, кривата
става по-сплескана и полегата. С други думи, намаляването на стандартното
отклонение прави кривата на разпределението по – висока и тясна. Нарастването
на стандартното отклонение прави разпределението по-широко и сплескано.
9. Общата площ под нормалната крива е равна на 100% (площите се дават в проценти,
тъй като вертиканлата ос е скала на гъстотата или честотата).