Типове коефициенти на взаимовръзка

6 ТИПОВЕ КОЕФИЦИЕНТИ НА ВЗАИМОВРЪЗКА

До този момент разгледахме единствено коефициента на корелация на Пирсън, или т.нар. коефициент на смесените произведения. Този коефициент беше въведен като индекс на взаимовръзката между две случайни променливи. Бяха обсъдени условията, които трябва да се изпълняват, за да се използва този коефициент, както и факторите, оказващи влияние върху размера на коефициента и начина на неговото изчисляване. Едно от основните изисквания при оценяването на r беше и двете случайни променливи да се измерват в интервална скала или в скала на отношенията, т.е. в метрична скала, като дължина, тегло, ширина или дебелина на артефакта. Очевидно, много често това изикване не е възможно да се удовлетвори.

Скали на измерване
Един от най-важните въпроси при използването на корелационния анализ е въпросът за скалата на измерване на променливите, за които трябва да се оцени силата на взаимовръзката. Вече обсъдихме (в Глава 1) йерархията на използваните в статистиката скали на измерване. В тази глава ще продължим това обсъждане в малко по-друга светлина като разгледаме често възникващия в практиката проблем за анализ на данни, измервани в разнотипни скали.

Номинална скала – дискретна дихотомна скала
До този момент правихме разлика между между непрекъснати и дискретни променливи. В тази глава ще използваме подобен подход и за номиналната скала. Ще отделим специален вид подскала на тази скала, която ще наричаме двойчна, дихотомна или бинарна, тъй като в този случай всяка променлива в тази скала може да приема само две взаимноизключващи се стойности. Дадено свойство може или да присъства или да отсъства. Обикновено наличието на изучаваното свойство ще се кодира с “1”, а отсъствието – с “0”. Типичен пример за такава скала е скалата, по която се измерва променливата “пол” (мъж=0, жена=1), или ако искаме да оценим отговора на даден въпрос само с “верен/неверен” (верен=1, неверен=0). Очевидно, могат да се използват и други кодове за означаване на двата класа, тъй като тези кодове нямат смислово натоварване, а са само етикети за различаване на класовете.

Номинална скала – непрекъсната дихотомна скала
В непрекъснатата дихотомна скала данните, които се наблюдават могат отново да приемат само една от две взаимноизключващи се категории, но се предполага, че променливата, която се измерва има непрекъснато разпределение и обикновено се приема, че това разпределение е нормално. Например, можем да разполагаме с данни за измереното тегло на емисия монети в грама и като резултат да имаме информация само дали дадена монета тежи повече от 10 гр. (и този резултат е кодиран с “1”) или нейното тегло е равно или по-малко от 10 гр. (кодирано с “0”). Известно е, че независимо от начина на представяне променливата тегло е непрекъсната случайна променлива, подчинена приблизително на нормално разпределение. Друг пример може да бъде психологическа скала, която има непрекъснато разпределение, но класифицира случаите на нормални (“1”) или на отклоняващи се от нормата (“0”). Следователно, при

този тип подскала предполагаме, че измерваната променлива е непрекъсната, но достъпната информация за тази непрекъснатост е дихотомна.

Ключови термини Йерархия на скалите Тау на Кендал()
Корелация на Пирсън на
смесените произведения Бисериална корелация
Точково-бисериална корелация Тетрахорична корелация
Фи коефициент () Рангово-бисериална
Ро на Спирмън () корелация
Съвпадащи рангове Нелинейна корелация
Коефициент на контингенция (С) Криволинейна връзка
Таблица на спрегнатост
(Крос-таблица) Ета коефициент ()

Рангова скала
Тази скала, така както я определихме в Глава 1, е скала на подредените (ранжирани) измервания. Ранговете се назначават в съответствие с количеството (интензитета) на измерваната характеристика, притежавана от всеки елемент на дадена група. Типичен пример за използване на рангова скала може да бъде подреждането на участниците в конкурс или състезание с жури (фигурно пързаляне, конкурси за красота и пр.).

Интервална скала и скала на отношенията
В тази глава двата типа скали ще бъдат разглеждани заедно, тъй като те притежават еднаква точност на измерването и разликата между тях е в наличието на абсолютна нула при скалата на отношението. Този факт, обаче, не оказва никакво влияние на статистическите методи за анализ на данните и поради това от тази гледна точка скалите са идентични. Ще предполагаме навсякъде в тази глава, че случайните променливи, които се разглеждат имат нормално разпределение, независимо, че в определени ситуации действителното вероятностно разпределение може да е само
приблизително нормално. Примери за такива променливи са дължината, широчината,
теглото и пр. Характеристика на артефактите, отразяващи някакво присъщо количество.
За да покажем връзката между последните три типа описани скали, нека разгледаме следващото разпределение на резултатите от измерването на дължината на
10 артефакта. Тези резултати са дадени по-долу по реда на тяхното появяване.

Пореден № Измерени дължини на 10 артефакта (мм)

Измерените дължини в мм са във втората колона, ранжираните (наредените) в намаляващ ред съответни стойности са в третата колона. Четвъртата колона съдържа дихотомизираните стойности по схемата: поставя се “1” за всяка стойност над 10.0 мм и “0” – за всички останали стойности, т.е. които са равни или по-малки от 10.0 мм. Ще припомним, че дължината се измерва в скала на отношенията и предполагаме (засега), че е нормално разпределена. Следователно, четвъртата колона е пример за дихотомна непрекъсната случайна величина, която е получена чрез трансформиране на интервалната скала към дихотомна.
Особено внимание ще обърнем на факта, че не можем да сменяме типа на скалата произволно. Ако при избора на корелационен коефициент използваме данни или измервания, които предполагат по-висок тип скала от този, които в действителност имаме, ще направим предположения относно свойства на данните, които не са налице. От друга страна, ако преминем към по-нисък тип скала ще пренебрегнем и загубим информация, която реално съществува. Изчисляването на корелационния коефициент и в двете ситуации може да даде като резултат изопачена картина на истинската връзка между променливите.

Таблица 1. Таблица за избор на корелационен коефициент в зависимост от скалите на измерване на променливите X и Y1

Скала на измерване на променливата Х

Скала на измерване на промен- ливата Y

Дискретна номинална

Непрекъсната номинална

Рангова
Дискретна номинална
Непрекъсната номинална
Рангова Интервална/
на отношенията

Интервална/ на отношенията

1.i) Фи () илиii)Коефициентна контингенция(С)5.*8.Рангово-бисериален rrb10.Точково- бисериален rpb5.*2.Тетрахоричен6.*9.Бисериаленrb8.Рангово-бисериален rrb6.*3. i) Ро () наСпирмън илиii) Тау () наКендал7.*10.Точково-бисериален r9.Бисериаленr7.*4.Коефициент на Пирсън rpb b

* Коефициентът на корелация е неопределен при тази комбинация от скали на измерване

Подходящи коефициенти на връзка при различни комбинации от скали2
След като променихме малко йерархията на скалите на измерване, ще
разгледаме оценяването на корелационния коефициент, подходящ за две променливи, да кажем X и Y, независимо дали те се измерват по едни и същи или по различни по тип скали. Първо ще разгледаме различните възможни комбинации от скали и

1 Тази таблица е модифициран вариант на таблицата, която дават Glass G.V.&J.C.Stenley, STATISTICAL METHODS IN EDUCATION AND PSYCHOLOGY. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1970.
2 Изчислителните формули за съответните коефициенти се дават в термините на популацията. Формули за извадка се привеждат под линия.

съответно подходящите корелационни коефициенти за всеки случай. След това ще обсъдим по-подробно свойствата на тези коефициенти. Тъй като са налице четири различни типа скали в тази нова йерархия ще имаме 4х4=16 различни комбинации на възможни измервания на двете променливи. Част от тези комбинации съвпадат поради симетричността на корелационната връзка, т.е. r(X,Y)=r(Y,X). Например, комбинацията рангова-интервална скала се

разглежда по същия начин както комбинацията интервална-рангова. Комбинациите на скалите и
Типът на корелационния коефициент, които се
използва за изчисляването на взаимовръзката между две промевливи, X и Y, зависи от типа на скалата, по коята се измерва всяка една от тези
променливи.

наименованията на
съотнветните подходящи
коефициенти са показани в Таблица 1. Ще обърнем внимание на факта, че клетки с номера 5, 6 и 7 са отбелязани със звездички и са празни, защото за тези комбинации на скалите не съществуват подходящи коефициенти. Тази ситуация ще бъде обсъдена специално и ще бъдат предложени подходи за анализ на взаимовръзките в този случай. Ще отбележим още, че от останалите 10 клетки, 6 се дублират поради вече споменатата симетричност на корелацията. Окончателно, общият брой на обсъжданите различни коефициенти се редуцира до 7.

Пирсънови корелационни коефициенти, които използват смесените моменти
Корелационният коефициент, който е даден в 4-та клетка на Таблица 1 е вече
разглежданият в предходната глава коефициент на смесените произведения на Пирсън r. Двете основни предположения, които стоят в основата на използването на този коефициент са: а) и двете променливи се измерват в метрична скала (интервална скала или скала на отношенията); б) вероятностното разпределение на двете променливи е нормално. Формулата, по която се изчислява този коефициент е дадена в (5.3). За удобство ще я повторим:
N N N

(1)

 xy
N ∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi
 i 1 i 1 i 1

 N 2 N
∑ 
2  

N 2  N
2 

i N xi
−  ∑ x 
  N ∑ yi
−  ∑ yi  

 i 1
 i 1
  
i 1
 i 1  

Разработени са няколко модификации на този коефициент за някои комбинации на скали. Тези модификации, както се вижда от Таблица 1, са точково-бисериалният коефициент (клетка 10), фи ()-коефициентът (клетка 1) и ро () на Спирмън (клетка 3).
В следващите раздели ще бъдат показани примери за тези коефициенти и ще бъде използвана формула (1) за изчисляване на корелацията между две променливи, измервани по подходящи скали. Като следствие, от формула (1) ще бъдат изведени специфични формули и тези нови формули ще използваме за преизчисляване на корелационните коефициенти в примерите. Детайлното проследяване на извеждането на тези формули изисква известен математически опит. Читателите без такъв опит могат да срещнат затруднения, но все пак биха могли, макар и повърхностно, да проследят доказателствата, за да се убедят, че и трите формули са пряко следствие на формула (1) и, следователно, са специален случай на коефициента на Пирсън на смесените произведения.

Точково-бисериален коефициент
Точково-бисериалният корелационен коефициент е специален случай на коефициента на Пирсън на смесените произведения и се използва, когато една от променливите се измерва в интервална скала или в скала на отношенията, а другата промен