Въведение в статистическия извод: Оценяване

7 ВЪВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКИЯ ИЗВОД: ОЦЕНЯВАНЕ

В предидущите глави разгледахме понятието описателна статистика. Това е обобщеното наименование на този дял от статистиката, чийто методи имат за цел да опишат данните по един сумарен начин така, че да се разкрие разпределението на променливите и взаимовръзките между тях. При този подход обикновено се изчисляват средната стойност, стандартното отклонение, модата, медианата и т.н. за метричните променливи и честотните разпределения – за неметричните. В глава 1 тези описателни мерки бяха определение като параметри, тъй като се имаше предвид преди всичко целевата популация.

Ролята на извадковия метод в статистическия извод
До този момент не се налагаше да правим разлика между понятията статистика (описателна мярка на извадката) и параметър (описателна мярка на популацията). В археологията най-често се налага да се изучава интересуващия на феномен, като се използва ограничена група от обекти, наречена извадка. В огромната част от ситуациите не е възможно поради технологични, времеви или финансови ограничения да се събере информация за всички елементи на целевата популация.
Алтернативата е да се излъчи неголяма извадка и да се съберат данни за случаите от
тази извадка. Извадката е инструментът, който дава възможност да се събере емпирична информация и съответните описателни мерки се наричат статистики.
Да предположим, че разполагаме с измерванията на дължината на група артефакти и сме изчислили средната по тези данни. Какво отразява тази средна? Естествено, нашите очаквания са, че по някакъв начин тази стойност ще ни даде информация за средната на популацията. Вероятно истинската, но неизвестна стойност на популационната средна няма да е равна точно на изчислената по извадката, поради извадковата неопределеност, дължаща се на непълнотата на информацията, която се обуславя от ограничения брой случай в извадката. Следователно, изчислената по извадката стойност ще отразява съответния популационен параметър, но в рамките на някаква флуктуация или грешка.

Следователно, изследователят може да направи извод относно популационния параметър, използвайки знанията от извадката, но имайки предвид горните ограничения. Тази верига от разсъждения носи наименованието
Статистическият извод е процедура, която се
използва от изследователя, за да се направи правдоподобен извод относно популационните параметри на базата на информацията, която се съдържа в съответните извадкови статистики.

статистически извод и е илюстрирана на Фигура 1. За да се разбере логическата последователност на статистическия извод, трябва да се обсъдят понятията модел на извадката, вероятност, извадково разпределение на статистиката, проверка на хипотези, оценяване на параметрите чрез статистики.

Ключови термини Прост случаен подбор Неизместена оценка Вероятностна извадка t-разпределение на Стюдънт Систематичен подбор Степени на свобода Клъстерен (гнездови) подбор Хипотеза
Стратифициран подбор Проверка на хипотези
Избор с пропорционални
вероятности Нулева хипотеза
Вероятност Алтернативна хипотеза Базово разпределение Ниво на значимост Извадково разпределение Точково оценяване Теоретично извадково
разпределение Интервално оценяване
Централна гранична теорема Доверителни интервали
Стандартна грешка на средната Ниво на доверие

Фигура 1. Логическа последователност на статистическия извод

Популация с параметри
Случаен подбор

Извод

Вероятност
Извадка и съответните статистики

Теоретични разпределения на статистиките

1) Имаме популация (наречена целева) и искаме да вземем решение относно някои характеристики, наречени параметри.
2) Извличаме от тази популация случайна извадка и изчисляваме мерките, които ни интересуват. Те се наричат статистики.
3) Статистиките са случайни величини, които оценяват параметрите, но съдържат някаква
грешка поради непълнотата на информацията.
4) Ние наблюдаваме статистиките. Това са фактите, с които разполагаме и на тяхна база се опитваме на направим извод за параметрите, като използваме вероятностния модел на поведение на статистиките, за да определим с каква вероятност това, което наблюдаваме в извадката се съгласува с нашите теоретични очаквания.

Метод на случайната извадка
Както може да се види от Фигура 1 основната връзка в логическата верига на статистическия извод е случайният подбор на подмножество от елементи на популацията, т.е. изборът на случайна извадка. Съществуват много различни методи за извличане на случайни извадки, някои от които твърде сложни. Тук ще разгледаме само част от тези методи, които могат да се прилагат в археологията. Въпросът за извадките в археологията е специален. Сега ще бъде изложен само дотолкова, доколкото е необходимо за разбирането на материала. Всеки от изброените методи ще бъде кратко

описан и илюстриран с примери. Съществуват достатъчно книги1, към които могат да се насочат читателите, желаещи да задълбочат знанията си по този въпрос.
Прост случаен подбор. Обикновено, когато се прави извод за характеристиките на популацията чрез съответните характеристики на извадката се предполага (явно или неявно), че тази извадка е случайна. Най-често се има предвид един вид вероятностна извадка, наречен проста случайна извадка. Тази извадка се получава чрез използване на прост случаен подбор.
Вероятностната извадка се получава по такъв начин, че всеки един елемент или член на популацията да има известна ненулева вероятност да бъде включен в извадката. Ще обърнем внимание на факта, че според определението на вероятностните извадки не е задължително винаги всички популационни елементи да са с равни вероятности да бъдат избрани. Единственото изискване е тази вероятност да е ненулева, т.е. нито един елемент на популацията да не бъде изцяло изключен от възможността да попадне в извадката.
За да се определи простата случайна извадка трябва да се разграничат две възможни теоретични схеми на получаване на случаите от популацията – подбор със заместване (възвратен подбор) и подбор без заместване (безвъзвратен подбор). Подбор със заместване означава, че ако даден елемент на популацията бъде извлечен, то той се връща отново в популацията след измерването на нужната характеристика и, следователно, на някоя от следващите стъпки може да попадне в извадката отново. В археологията по-често, ако не и винаги, се използва подбор без заместване. При този подход щом елементът бъде веднъж извлечен от популацията, той не се връща обратно и следователно не може да бъде избиран повече. Като използваме концепцията за вероятностна извадка, простия случаен подбор може да се определи по следния начин:
1) всеки елемент или член на

популацията има равна ненулева вероятност да бъде извлечен; 2) всички елементи на извадката се извличат независимо един от друг. Тази схема е валидна изцяло при извадки със заместване. За извадки без заместване 1) се модифицира по следния начин: 1)
Простият случаен подбор е метод за получаване на прости случайни извадки. Простите случайни извадки са извадки, за които всеки елемент и всяка комбинация от фиксиран брой елементи имат равна вероятност да бъдат избрани и изборът на всеки елемент на популацията не зависи от избора на другите елементи.

всяка възможна извадка с фиксиран обем има равна ненулева вероятност да бъде извлечена. Например, тегленето на тиража на ТОТО-2 е илюстрация за прост случаен подбор без връщане. Целта е да се изтеглят 6 числа, т.е. да се получи извадка от 6 елемента от популация, която съдържа общо 49 елемента. При простия случаен подбор без връщане трябва да се осигури равна вероятност за всяка възможна извадка от 6 елемента да бъде извлечена. Известно е, че възможния брой на извадките от 6 елемента от всичко 49 е 13 983 816. Следователно, всяка такава извадка ще има вероятност да бъде извлечена от популацията равна на 1/13983816.
В практиката съществуват няколко популярни процедури за получаване на прости случайни извадки (от двата вида). Да предположим, че трябва да се направи
10%-на извадка от популация, съдържаща 500 елемента. Това значи, че трябва да бъдат извлечени 50 случая. Простият случаен подбор предполага, че всички елементи са

1 Leslie Kish, Survey Sampling. New York: Wiley 1967.
Sidney Sudman, Applied Sampling. New York: Academic Press, 1976
Фрэнк Йетс, Выборочный метод в переписях и обследованиях. Москва: Статистика, 1965. Orton C., Sampling in Archaeology. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

номерирани последователно (в нашия пример, от 1 до 500). Тогава за извличането на отделните елементи могат да се използват няколко метода: лотариен, таблица на случайните числа или генератор на псевдослучайни числа. При наличието на съвременни бази данни, очевидно, използването на компютър за генериране на случайни извадки е за предпочитане.
Систематичен подбор. Систематичният подбор е друга възможна процедура за получаване на вероятностни извадки, който се използва често в практиката и научните изследвания, когато пълен списък на елементите на популацията може да бъде съставен лесно. При систематичния подбор в извадката попада всеки k-ти елемент от популацията по следната схема. Процедурата изисква най-напред да се определи обема на извадката и стъпката за систематичния подбор. Стъпката се определя като се раздели броя на елентите в популацията на броя на елементите, които трябва да бъдат извлечени. Например, нека популацията да съдържа 15000 елемента, извадката – 300. Тогава стъпката ще е 15000/300=50. Това значи, че в извадкта ще попадне всеки 50 популационен елемент. Следващото действие е да се избере случайно стартово число между 1 и стъпката, в случая, между 1 и 50. Да кажем, че това число е 23. Първият елемент на извадкта ще бъде с номер 23. Номерата на другите елементи на извадкта се получават като прибавяме последователно, започвайки от 23, стъпката, докато не достигнем нужния ни брой. Следователно, вторият елемент в примера ще е елементът с номер 73, третият – с номер 123 и т.н.
Систематичният подбор е по-удобен от простия случаен подбор, когато разполагаме с пълен списък на популацията. Възниква проблем, когато стъпката е дробно число. Начинът, по който трябва да се закръгли това число зависи от конкретния случай.
Съществува едно явление, свързано със систематичния подбор, което се нарича цикличност. То е свързано с начина, по които е подредена популацията. Ако елементите в списъка са

разположени съвършенно случайно, то систематичната извадка е еквивалентна на простата случайна. Понякога елементите в списъка могат да са наредени в съответствие
Систематичната извадка е вероятностна
извадка, при която се извлича всеки k-ти елемент на популацията, започвайки със случайно избран елемент с номер между 1 и k.

с някакъв критерий. Тогава съществува възможност от зацикляне, т.е. стъпката да се получи така, че в извадката да попадат елемети, които не представляват популацията като цяло, а само известна нейна част. Например, нека обект на интерес са семейства с
2 родители и 2 деца. Да предполо