Задачи от приложения на ОС при решаване на ОДУ

1
§14. Задачи от приложения на ОС при решаване на ОДУ

Съдържание
1. Намиране L-изображение на решение на обикновено диференциално уравнение
при зададени начални условия.
2. Намиране на решение на обикновено диференциално уравнение като обратно
L-изображение.

ТЕОРИЯ
Нека е дадено диференциалното уравнение с постоянни коефициенти

[]
() ( )
()tfxcxcxcxcxL
n
n
n
n
=+′+++≡
−
− 01
1
1
L ,
при
0≥t с начални условия

()
0
0
0xx=,
()
1
0
0xx=, ...,
()
()
1
0
1
0
−−
=
nn
xx .
Тук се предполага, че функцията ()tf изпълнява условията за оригинал.
Тогава даденото уравнение с началните условия може да се решава посредством
операционен метод, който се състои в преобразуване по Лаплас на уравнението,
намиране на образа на решението ()px и възстановяване на решението по някой
от разгледаните методи.
Уравнението се преобразува чрез формулите за производните. Имаме

(){}
()pFtfL =,
(){} ()pxtxL = ,

(){}
()
0
0
xpxptxL −=′,

(){}
()
1
0
0
0
2
xpxpxptxL −−=′′,

(){}
()
2
0
1
0
0
0
23
xpxxppxptxL −−−=′′′,
...

()
(){}
()
1
0
2
0
1
0
20
0
1−−−−
−−−−−=
nnnnnn
xpxxpxppxptxLL .
Като заместим в уравнението намираме
()() ()()pApFcpcpcpcpx
n
n
n
n
+=++++
−
−
01
1
1
L ,
където
()pA е полинома

()
( )
()

.............................
...
...
0
01
2
0
3
0
1
0
30
0
2
1
1
0
2
0
1
0
20
0
1
yc
ypyypypc
ypyypypcpA
nnnn
n
nnnn
n
+
++
++++++
++++++=
−−−−
−
−−−−
.

Полагайки

()
01
1
1cpcpcpcpL
n
n
n
n
++++=
−
−
L ,
можем да препишем преобразуваното уравнение във вида

()() () () pApFpLpx += ,
откъдето за образа
()pY получаваме

()
() ()
()pL
pApF
px
+
= ,

2
от което възстановяваме търсения оригинал ()tx. Тук не е необходимо да се
помнят някакви формули, а само принципът, по който се стига до решението.

ЗАДАЧИ
Задача 1. Като използвате L –изображение на функция, намерете частно решение
на следните диференциални уравнения, което да удовлетворява съответните
начални условия:
1.1. 14=′+′′′xx при начални условия
()()()0000 =′′=′= xxx .
1.2. 074=+′−′′xxx при начални условия () ()10;00 =′=xx .
1.3.
t
xxx l8384 −=−′−′′−′′′ при начални условия ()()()1000 =′′=′= xxx .
1.4. txx =′+′′ при начални условия ()()000 =′=xx .
1.5. 08910 =+′−′′ xxx при начални условия () ()10;00 =′=xx .
1.6.
t
xxxl=+′−′′ 23 при начални условия ()()000 =′=xx .
1.7. txxx sin52 =+′+′′ при начални условия () ()20;10 =′=xx .
Решение.
1.1. Нека ()tx е търсеното решение на диференциалното уравнение, а
(){}
()pxtxL = е образът му . Тогава чрез преобразуване на даденото уравнение за
()px се получава
()
{} ( ) ()()[ ]()
()4
1
4
04000.11
223
2
+
=
+
+′′+′++
=
pppp
xxxpxpL
px

Следователно

()
(){}
()
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
==
−−
4
1
22
11
pp
LpxLtx


() ()
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−+
=
−−−
4
1
4
11
4
1
4
4
4
1
2
1
2
1
22
22
1
p
L
p
L
pp
pp
L
tt 2sin
8
1
.
4
1
− .
1.2. По същия начин се получава решението
()
{} ( ) ()[] ()
74
1
74
0.400..10
22
+−
=
+− −′++
=
pppp
xxxpL
px

()
(){} =
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−
==
−−
74
1
2
11
pp
LpxLtx


()
() ()
t
p
L
p
L
t
3sin
3
1
32
3
3
1
32
1
2
2
2
1
2
1
l=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−
=
−−

1.3.

()
{} () ()()[ ] ()()[ ]()
=
−−−
−′+−′′+′++−
=
384
000.8000.48
23
2
ppp
xxpxxxpxpL
px
t
l


() ()
()() 1
1
3841
384
384
11814
1
1
8
23
23
23
2
−
=
−−−−
−−−
=
−−−
−+−+++
−
−
=
ppppp
ppp
ppp
ppp
p

()
t
p
Ltx
l=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
−
1
1
1

3
1.4.

()
()1
1
3
+
=
pp
px

()
()
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−+
=
−
1
1
3
33
1
pp
pp
Ltx


=−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ +−
=
−−−−−− t
p
L
p
L
p
L
p
L
p
pp
L l
3
1
2
111
3
2
1
111
1
11

t
tt
−
−+−= l
2
2
1
1
1.5.

()
()()[] ()
()
222
85
1
8910
01000.1
+−
=
+−
−′+
=
ppp
xxxp
px

()
()
t
p
Ltx
t
8sin
8
1
85
1
5
22
1
l=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−
=
−

1.6.

()
{} () ()[] ()
()( ) ()( ) 21
1
21
1
1
23
0300.1
22
−−
=
−−
−
=
+−
−′++
=
pppp
p
pp
xxxpL
px
t
l


()
()( )
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−−
=
−
21
1
2
1
pp
Ltx

() ()
ttt
CBAt
p
C
L
p
B
L
p
A
L
211
2
1
211
lll ++=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
−−− ttt
t
2
lll +−−=
1.7.

()
{} () ()()
=
++
+′++
=
52
0200sin
2
pp
xxpxtL
px

()()
=
+++
+++
=
++
+++
+
=
152
54
52
22
1
1
22
23
2
2
ppp
ppp
pp
p
p


t
CD
tCtBtA
tt
2sin
2
2cossincos
−− −
+++= ll

()
()()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
++
+
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+++
+++
=
−−−
521152
54
2
1
2
1
22
23
1
pp
DCp
L
p
BAp
L
ppp
ppp
Ltx

След определяне на константите се получава

()
tttttx
tt
2sin
20
29
2cos
10
11
sin
5
1
cos
10
1
−−
+++−= ll