Интегриране на ирационални и тригонометрични функции

§8. Интегриране на ирационални и тригонометрични функции

Съдържание
1. Пресмятане на неопределен интеграл от ирационални функции
2. Пресмятане на неопределен интеграл от тригонометрични функции

ТЕОРИЯ
Интегриране на ирационални функции. Интегралите от вида
∫ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
dx
dcx
bax
dcx
bax
dcx
bax
xR
nrrr
,,,,
21
K
където степените
1
r,
2
r, ...,
n
r са рационални числа, 0
≠−bcad, могат при определение
условия да се сведат до интеграли от рационални функции след полагането

p
t
dcx
bax
=
+
+
където
p е най-малкото общо кратно на знаменателите на
1
r,
2
r, ...,
nr.
Интегриране на тригонометрични функции. Интеграли от вида

()∫
dxxxR cos,sin
могат да бъдат преобразувани чрез
универсалната субституция. За такива интеграли
полагаме

2
tg
x
t
=
при която имаме

txarctg2=

2
1
2
arctg2
t
dt
tddx
+
== .
От тъждествата

2
tg1
2
tg2
sin
2x
x
x
+
= ,
2
tg1
2
tg1
cos
2
2x
x
x
+
−
=
получаваме

2
1
2
sin
t
t
x
+
= ,
2
2
1
1
t
t
xcos
+
−
=
Тогава

()
22
2
2
1
2
1
1
,
1
2
cos,sin
t
dt
t
t
t
t
RdxxxR
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
∫∫

е интеграл от рационална функция.
ЗАДАЧИ
Да се решат следните интеграли.
Задача 1.

()
dx
xxx
x∫
+
3
3

Решение.

()
=
+∫
dx
xxx
x
3
3

(полагаме
23356
, ,6 txtxdttdxtx ===⇒= )
() ()
C
x
x
C
t
t
dt
tt
dt
ttt
t
+
+
=+
+
=
+
=
+
=∫∫ 6
6
326
7
1
ln6
1
ln6
1
1
66


Задача 2.

()
dx
xxx
1
43∫
+

Решение.

()
dx
xxx
1
43∫
+
=
(полагаме
344361112
, , ,12 txtxtxdttdxtx ====⇒= )
=
()
()
() =+++
−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+−=
+
=
+∫∫∫
Ct
t
dt
t
tdt
t
t
dt
ttt
t
1ln12
2
1
12
1
1
112
1
12
.
12
22
346
11

=
() ( )Cxx +++− 1ln1216
12
2
12

Задача 3.
dx
x1
x1x
3
2∫
+
++

Решение.

dx
x1
x1x
3
2∫
+
++
=
(полагаме
()
2335666
1 1 61 11 tx,tx,dtttddx,txtx =+=+=−=−=⇒=+ )
=
()
()[] ()∫∫∫
=++−=++−=
+−
dtttttdtttttdtt
t
tt
63915336125
2
3
2
6
26.1266.
1

=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−= C
ttt
tC
tttt
4
1
7516
6
7410
.2
16
6
3612
6
741016


()
()
C
xxx
x +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
−
+
+=
4
1
7
1
5
1
16
1
16
2
3
2

Задача 4.
x
dx
x
x
∫
+
−
1
1

Решение.

=
+
−∫
x
dx
x
x
1
1

(полагаме
()
t
t
t
, dx
t
t
xt
x
x
2
2
2
2
2
1
4
1
1
1
1
+
−=
−
−
=⇒=
+
−
)
=
()
() ()()
()()
()()
=
+−
++−
=
+−
=
+
−
−
+∫∫∫
dt
tt
tt
dt
tt
t
dt
t
t
t
t
t
11
11
2
11
4
1
4
1
1
22
22
22
2
2
2
2
2


C
t
t
tdt
t
dt
t
+
+
−
+=
−
+
+∫∫
1
1
lnarctg2
1
1
2
1
1
2
22

където

x
x
t
+
−
=
1
1

Забележка. Важно е да се запомни в кой случай каква смяна на интеграционната
променлива да се направи.
Задача 5.

∫
+− xx
dx
cos3sin45

Решение.
∫
=
+− xx
dx
cos3sin45
(полагаме
2
2
22
1
1
cos,
1
2
sin,
1
2
2
tg
t
t
x
t
t
x
ttg
dt
dx
x
t
+
−
=
+
=
+
=⇒=
)
()
2
2
tg
1
2
1
2
2
−
−=
−
−=
−
=
∫
x
C
t
C
t
dt

Задача 6.

∫
+
−
dx
x
x
cos2
sin2

Решение.

=
+
−∫
dx
x
x
cos2
sin2
(
полагаме
2
2
22
1
1
cos,
1
2
sin,
1
2
2
tg
t
t
x
t
t
x
ttg
dt
dx
x
t
+
−
=
+
=
+
=⇒=
)
=
()()
()()
=
++
−
+
=
++
+−∫∫∫
dt
tt
t
t
dt
dt
tt
tt
13
4
3
4
13
1
4
22222
2


()()
C
1
3
ln
3
t
arctg
3
4
13
13
3
arctg
3
4
2
2
2
22
22
+
+
+
+=
++
−−+
−∫
t
t
dt
tt
ttt

където
2
tg
x
t= .

Задача 7.

()
∫
+xx
dx
cos2sin

Решение. Задачата може да се реши като се направи универсалната субституция

2
tg
x
t=
но по-лесно е да се процедира така:

()
() () ()
=
+−
=
+
=
+∫∫∫
xx
xd
xx
xdx
xx
dx
cos2.1cos
cos
cos2sin
sin
cos2sin
22

(полагаме
xtcos= )
()()( )
=++++−−=
++−
=∫
C2ln
3
1
1ln
2
1
1ln
6
1
211
ttt
ttt
dt

() () () Ccos2ln
3
1
cos1ln
2
1
cos1ln
6
1
++++−−= xxx

Задача 8.
∫
−xx
dx
tg2cos

Решение. И тази задача може да се реши като се направи универсалната субституция, но
може да се процедира и така:
∫∫∫
=
−−
=
−
=
− xx
xd
xx
dxx
xx
dx
sin2sin1
sin
sin2cos
cos
tg2cos
22

(полагаме
xtsin=)

()
C
t
t
C
t
t
t
dt
tt
dt
+
−−
+−
=+
+−
−−
−=
−+
−=
−+
−∫∫
21
21
ln
22
1
21
21
ln
22
1
2112
22

C
x
x
+
−−
+−
21sin
21sin
ln
22
1
Задача 9.

∫
+ xx
dx
22
sin25cos9

Решение.
∫
+ xx
dx
22
sin25cos9

Тук полагаме
, arctgtg t xxt =⇒=
1
2
t
dt
dx
+
=

22
2
22
2
2
1
1
tg1
1
cos
cossin
1
cos
1
1
cos
tx
x
xx
x
x
+
=
+
=
+
==


2
2
2
2
222
1tg1
tg
costgsin
t
t
x
x
xxx
+
=
+
==

след което за интеграла намираме
=
()
()
()
C
t
t
td
t
dt
t
t
t
t
dt
+=
+
=
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+∫∫∫
3
5
arctg
3.5
1
53
5
5
1
259
1
25
1
9
1
222
2
2
2
2 =

C
x
C
t
+=+=
3
tg5
arctg
15
1
3
5
arctg
15
1
Задачата може да се реши по-бързо ако преобразуваме подинтегралната функция така

=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
+∫∫
x
x
x
dx
xx
dx
2
2
2
22
cos
sin
259cos
sin25cos9

(внасяме
x
2
cos
1
под диференциала)

()
()
=
+
=
+
=∫∫ 22
tg59
tg5
5
1
tg259
tg
x
xd
x
xd


C
x
C
x
+=+=
3
tg5
arctg
15
1
3
tg5
arctg
3.5
1

Забележка. Интеграли от рационални функции на тригонометрични функции могат да се
сведат до интегриране на рационални функции чрез универсалната субституция, но има
случаи, при които могат да се използват други субституции. Правилно подбрана субституция
предопределя по-лесно решаване на интеграла.
Задача 10.

∫
dxxx8cos6sin
Решение. Преобразуваме подинтегралната функция в сбор по формулата

()()[] βαβαβα−++= sinsin
2
1
cossin
Получаваме
()()[] ∫∫∫∫
=−=−++= xdxxdxdxxxxxxdxx 2sin
2
1
14sin
2
1
86sin86sin
2
1
8cos6sin
() () Cxxxdxxdx ++−=−=∫∫
2cos
4
1
14cos
28
1
22sin
2.2
1
1414sin
14.2
1
Забележка. Полезно е за други задачи да си припомним формулите

()()[] βαβαβα−++= coscos
2
1
coscos
()()[] βαβαβα+−−= coscos
2
1
sinsin

2
2cos1
sin
2
α
α
−
=

2
2cos1
cos
2
α
α
+
=