Задачи от пресмятане на неопределен интеграл

§5. Задачи от пресмятане на неопределен интеграл

Съдържание
1. Пресмятане на неопределен интеграл чрез привеждане към формула от табличните
интеграли
2. Пресмятане на неопределен интеграл по части и чрез субституция

ТЕОРИЯ
Ако производната на
()xF е равна на дадена функция
()xf, то ()xF се нарича примитивна
на
()xf. Множеството от всички примитивни на
()xf се нарича неопределен интеграл от
()xf и се означава с ()∫
dxxf.

() () CxFdxxf +=∫

Неопределеният интеграл притежава свойствата:

()() ()xfdxxf =
′∫


()
( )()xdfdxxfd=∫


() () Cxfdxxf+=′∫


()()
()Cxfxfd+=∫


() ()∫∫
= dxxfAdxxfA, където А е константа

() ()[] ()
()∫∫∫
±=± dxxdxxfdxxxfϕϕ
Ако

() () CxFdxxf+=∫

и
()tgx= е произволна диференцируема функция то

()( ) () () () CtgFdttgtgf+=′∫

Формула за интегриране по части

∫
∫
−=vduuvudv
При преобразуване на диференциал може да се използват свойствата:
()axddx +=, където a е константа
()baxd
a
dx +=
1
където 0≠a и b са константи
() () xdfdxxf =′- това преобразуване се нарича внасяне на функция под знака на
диференциала и означава, че функцията()xf′, която се внася, трябва да се интегрира и
след знака
d да се запише резултата
()xf от интегрирането.

За да се усвои техниката за непосредствено интегриране, трябва посочените по-
горе правила да се запомнят наизуст!

ТАБЛИЧНИ ИНТЕГРАЛИ
Ако
()xu е диференцируема
функция на x и 0>a, то
∫
+
+
=
+
,
1
1
C
n
x
dxx
n
n
при 1
−≠n ∫
+
+
=
+
,
1
1
C
n
u
duu
n
n
при 1
−≠n
∫
+= Cx
x
dx
ln ∫
+= Cu
u
du
ln

∫
+= C
a
a
dxa
x
x
ln
()1≠a ∫
+= C
a
a
dua
u
u
ln

∫
+= Cdx
xx
ll ∫
+= Cdu
uu
ll
∫
+−= Cxxdxcossin ∫
+−= Cuuducossin
∫
+= Cxxdxsincos ∫
+= Cuudusincos
∫
+= Cx
x
dxtg
cos
2
∫
+= Cu
u
dutg
cos
2

∫
+−= Cx
x
dxctg
sin
2
∫
+−= Cu
u
ductg
sin
2


∫
⎩
⎨
⎧
+−
+
=
− Cx
Cx
x
dx
arccos
arcsin
1
2
∫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−
+
=
− C
a
u
C
a
u
ua
du
arccos
arcsin
22


∫
⎩
⎨
⎧
+−
+
=
+ Cx
Cx
x
dx
arcctg
arctg
1
2

∫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−
+
=
+
C
a
u
a
C
a
u
a
ua
du
arcctg
1
arctg
1
22

( )∫
+++=
+
Cxax
xa
dx
22
22
ln ( )∫
+++=
+
Cuau
ua
du
22
22
ln
∫
+= Cx
x
dx
2 ∫
+= Cu
u
du
2

ЗАДАЧИ
Да се пресметнат неопределените интеграли.
Задача 1.
()∫
+− dxxx 549
2

Решение.
Използваме свойствата

() ()∫∫
= dxxfAdxxfA
където А е константа и

() ()[] ()
()∫∫∫
±=± dxxdxxfdxxxfϕϕ
Тогава
()
CxxxCx
xx
dxxdxdxxdxxx ++−=++−=+−=+−∫∫∫∫
5235
2
4
3
.9549549
23
23
22

Задача 2.

()
∫
−
dx
x
x
2
2
1

Решение. Преобразуваме числителя като прилагаме формулата за разлика, повдигната на
квадрат и получената дроб представяме като сбор (разлика) от дроби.

()
∫∫∫ ∫∫∫
=+−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
+−
=
−
dx
x
xdxdxxdx
x
xxdx
x
xx
dx
x
x 1
2
1
2
121
33
24
2
2


Cxx
x
++−= ln
4
2
4

Задача 3.
()
dx
xx
x∫
+
+
22
2
1
21

Решение.
Групираме подинтегралната функция по подходящ начин и представяме дробта
като сбор от дроби

() () () ()
=
+
+
+
+
=
+
++
=
+
+∫∫∫∫
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
xx
dx
xx
x
22
2
22
2
22
22
22
2
11
1
1
1
1
21

()
Carctgx
x
arctgxdxxdx
x
dx
x
++−=+=
+
+=∫∫∫
− 1
1
11
2
22

Задача 4.
()
()
dx
xx
x∫
+
+
2
2
1
1

Решение.
По същия начин както в предната задача получаваме последователно

()
()
() () ()
=
+
+
+
+
=
+
++
=
+
+∫∫∫∫
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
xx
dx
xx
x
22
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
21
1
1


Cxx
x
dx
x
dx
++=
+
+=∫∫
arctg2ln
1
2
2

Задача 5.

∫
dx
xx
x
22
sin.cos
2cos

Решение. Преобразуваме числителя по формула от тригонометрията и прилагаме съшия
метод както в предните задачи

=−=
−
=∫∫∫∫
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
xx
dx
xx
x
22
2
22
2
22
22
22
sin.cos
sin
sin.cos
cos
sin.cos
sincos
sin.cos
2cos

Ctgxgxdx
x
dx
x
+−−=−=∫∫
cot
cos
1
sin
1
22

Задача 6.

∫
+− 127
2
xx
dx

Решение. Разлагаме знаменателя на множители и представяме числителя на подинтегралната
функция чрез тях

()
()() ()()
()
()()
=
−−
−
−
−−
−
=
−−
−−−
=
+−
∫∫∫∫
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
xx
xx
dx
43
4
43
3
43
43
127
2


() ()
∫∫∫∫
+
−
−
=+−−−=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
= C
x
x
Cxx
x
xd
x
xd
x
dx
x
dx
3
4
ln3ln4ln
3
3
4
4
34
По-късно ще решим същата задача по друг начин като използваме решението на
следващата задача.
Задача 7 . Да се реши интеграла

∫
−
22
ax
dx

където
0>a е константа.
Решение. Разлагаме знаменателя на множители и представяме числителя на подинтегралната
функция чрез тях

()()
()
()()
∫∫∫
=
+−
−−+
=
+−
=
−
dx
axax
axax
aaxax
dx
ax
dx
.2
1
.
22

()()
()
()() () ()
∫∫∫∫
=
+
−
−
=
+−
−
−
+−
+
= dx
axa
dx
axa
dx
axax
ax
a
dx
axax
ax
a
1
2
11
2
1
.2
1
.2
1

()
()
()
()∫∫
=+
+
−−
−
= axd
axa
axd
axa
1
2
11
2
1

() () C
ax
ax
a
Cax
a
ax
a
+
+
−
=++−−= ln
2
1
ln
2
1
ln
2
1
Задача 8.
∫
−−
2
28 xx
dx

Решение. Преобразуваме знаменателя и подготвяме числителя, за да получим табличен
интеграл

()
()
C
x
x
xd
dx
xxxx
dx
+
+
=
+−
+
=
−−−+
=
−−∫∫∫
3
1
arcsin
19
1
2118
1
28
222

Задача 9.
∫
++ 134
2
xx
dx

Решение. Преобразуваме знаменателя и подготвяме числителя, за да получим табличен
интеграл
()
()
()
() Cx
x
xd
x
dx
xx
dx
xx
dx
++=
++
+
=
++
=
+++
=
++∫∫∫∫
2arctg
3
1
32
2
92944134
22222

Задача 10. ∫
xdxxcossin
4
.
Решение. Внасяме
xcos под знака на диференциала, а това означава да го интегрираме
∫∫
+== C
x
xdxxdxx
5
sin
sinsincossin
5
44

Задача 11. ∫
dxx
4
sin
Решение. Преобразуваме подинтегралната функция чрез формули от тригонометрията

()
()∫∫ ∫ ∫
=+−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
== dxxxdx
x
dxxxdx 2cos2cos21
4
1
2
2cos1
sinsin
2
2
2
24

∫
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+−= dx
x
x
2
4cos1
2cos21
4
1
C
xx
xx +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−
8
4sin
2
2sin
4
1 .
Задача 12. ∫ xdx3tg
Решение.
Cx
x
xd
dx
x
x
xdx +−=−==∫∫ ∫
3cosln
3
1
3cos
3cos
3
1
3cos
3sin
3tg

Задача 13. ∫
xdxtg
2

Решение.
∫∫
+−=
−
= Cxxdx
x
x
xdx tg
cos
cos1
tg
2
2
2
Задача 14
∫
+
dx
x
x
2
cos1
2sin

Решение.

=
+
=
+∫∫
dx x
xx
dx
x
x
22
cos1
cossin2
cos1
2sin


( )
() Cx
x
xd
x
xxd
++−=
+
+
−=
+
−=
∫∫
2
2
2
2
cos1ln
cos1
cos1
cos1
coscos
2
Задача 15.
∫
+
dx
x
x
4
2
l
l

Решение.

()
Carctg
d
dx
x
x
x
x
x
+=
+
=
+∫∫
22
1
24
2
2
2
l
l
l
l
l

Задача 16. dx
x
xx∫
−
−
2
3
91
3arccos

Решение.

=
−
−
−
=
−
−∫∫∫
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
xx
2
3
22
3
91
3arccos
9191
3arccos


=
−
−
−
=∫∫
xd
x
x
dx
x
3
91
3arccos
3
1
91
1
2
1
2
3
2
2


()
=+
−
−
−=∫∫
xxd
x
xd
3arccos3arccos
3
1
91
91
18
1
3
2
2


Cx3arccos
12
1
x91
9
1
42
++−−=
Задача 17.
dxx
x
x
x
xx∫ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−
+
−
4cos
cos5
2sin
9
2
26
52

Решение.

∫∫∫∫
=+
+
−
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−
+
−
xdxdx
x
x
dx
x
xx
dxx
x
x
x
xx
4cos
cos5
2sin
9
4cos
cos5
2sin
9
2
26
52
2
26
52

∫∫∫∫
=
+
+
+
−
+
−
+
= dx
x
dx
x
xx
dx
x
x
dx
x
x
2
8cos1
cos5
cos.sin2
99
26
5
6
2


()
=++
+
+
+
−
+
=∫∫∫∫∫
xdxdx
x
xdx
x
dx
x
dx
88cos
16
1
2
1
cos5
coscos
2
96
1
33
1
26
6
2
32
3


() =++
+
++−=∫
16
8sin
2cos5
cos
9ln
6
1
arctg
9
1
2
2
63
xx
x
xd
xx


() ( ) C
xx
xxx ++++++−=
16
8sin
2
cos5ln9ln
6
1
arctg
9
1
263